全國各地2014年中考數(shù)學(xué)真題分類解析匯編27圖形的相似與位似

1、圖形的相似與位似一、選擇題1. （ 2014省,第 9 題 4 分）如圖，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，動點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移動，記 PA=x，點(diǎn) D 到直線 PA 的距離為 y，則 y 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象大致是（）ABCD考點(diǎn)： 動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象分析： 點(diǎn) P 在 AB 上時，點(diǎn) D 到 AP 的距離為 AD 的長度，點(diǎn) P 在 BC 上時，根據(jù)同角的余角相等求出APB=PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到 y 與 x 的關(guān)系式，從而得解解答：解：點(diǎn) P 在 AB 上時，0 x3，點(diǎn) D 到 AP 的距離為 AD 的長度，是

2、定值 4；點(diǎn) P 在 BC 上時，3x5，APB+BAP=90，PAD+BAP=90，APB=PAD，又B=DEA=90，ABPDEA，=，即 = ，y=，縱觀各選項(xiàng)，只有 B 選項(xiàng)圖形符合故選 B點(diǎn)評： 本題考查了動點(diǎn)問題函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于根據(jù)點(diǎn) P 的位置分兩種情況2. （2014廣西玉林市、防城港市，第 7 題 3 分）ABC 與ABC是位似圖形，且ABC與ABC的位似比是 1：2，已知ABC 的面積是 3，則ABC的面積是（）A3B6C9D12考點(diǎn)：位似變換分析：利用位似圖形的面積比等于位似比的平方，進(jìn)而得出解答：解：ABC 與ABC是位似圖形，且AB

3、C 與ABC的位似比是 1：2，ABC 的面積是 3，ABC 與ABC的面積比為：1：4，則ABC的面積是：12故選：D點(diǎn)評：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用位似圖形的面積比等于位似比的平方得出是解題關(guān)鍵3(2014 年市，第 8 題 3 分)如圖，在ABCD 中，點(diǎn) E 是邊 AD 的中點(diǎn)，EC 交對角線 BD于點(diǎn) F，則 EF：FC 等于（）A3：2B 3：1C 1：1 D 1：2考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)題意得出DEFBCF，進(jìn)而得出=，利用點(diǎn) E 是邊 AD 的中點(diǎn)得出即可解：ABCD，故 ADBC，解答：DEFBCF，=，點(diǎn) E 是邊 AD 的中點(diǎn)，A

4、E=DE=AD，=故選：D點(diǎn)評： 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出DEFBCF 是解題關(guān)鍵4.（2014畢節(jié)地區(qū)，第 12 題 3 分）如圖，ABC 中，AE 交 BC 于點(diǎn) D，C=E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，則 DC 的長等于（ ）ABCD考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)已知條件得出ADCBDE，然后依據(jù)對應(yīng)邊成比例即可求得解答：解：C=E，ADC=BDE，ADCBDE，=，又AD：DE=3：5，AE=8，AD=3，DE=5，BD=4，=，DC=，故應(yīng)選 A點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：對應(yīng)角相等的三角形是相似三角形，相似

5、三角形對應(yīng)邊成比例5.（2014，第 6 題 3 分）如圖，線段 AB 兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A（6，6），B（8，2），以原點(diǎn) O 為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段 AB 縮小為原來的 后得到線段 CD，則端點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（）A（3，3）B（4，3）C（3，1）D（4，1）考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合兩圖形的位似比進(jìn)而得出 C 點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：線段 AB 的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（6，6），B（8，2），以原點(diǎn) O 為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段 AB 縮小為原來的后得到線段 CD，端點(diǎn) C 的坐標(biāo)為：（3，3）故選：A點(diǎn)評：此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，利用兩

6、圖形的位似比得出對應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)關(guān)系是解題關(guān)鍵6. （2014 年江蘇南京，第 3 題，2 分）若ABCABC，相似比為 1：2，則ABC與ABC的面積的比為（）A1：2B 2：1C 1：4D 4：1考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)分析：根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方計(jì)算即解解答：ABCABC，相似比為 1：2，ABC 與ABC的面積的比為 1：4故選 C點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵7. （2014 年江蘇南京，第 6 題，2 分）如圖，在矩形 AOBC 中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（2，1），點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)是 4，則 B、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）

7、（第 2 題圖）A（，3）、（，4）B （，3）、（，4）C（，）、（，4）D（，）、（，4）考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)。分析：首先過點(diǎn) A 作 ADx 軸于點(diǎn) D，過點(diǎn) B 作 BEx 軸于點(diǎn) E，過點(diǎn) C 作 CFy 軸，過點(diǎn) A 作 AFx 軸，交點(diǎn)為 F，易得CAFBOE，AODOBE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得解答：過點(diǎn) A 作 ADx 軸于點(diǎn) D，過點(diǎn) B 作 BEx 軸于點(diǎn) E，過點(diǎn) C 作 CFy 軸，過點(diǎn) A作 AFx 軸，交點(diǎn)為 F，四邊形 AOBC 是矩形，ACOB，AC=OB，CAF=BOE，在ACF 和OBE 中，CA

8、FBOE（AAS），BE=CF=41=3，AOD+BOE=BOE+OBE=90，AOD=OBE，ADO=OEB=90，AODOBE，即，OE=，即點(diǎn) B（，3），AF=OE=，點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為：（2）=，點(diǎn) D（，4）故選 B點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用8（2014 年山東泰安，第 10 題 3 分）在ABC 和A1B1C1 中，下列四個命題：（1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，則ABCA1B1C1；（2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，則ABCA1B1C1

9、；（3）若A=A1，C=C1，則ABCA1B1C1；（4）若 AC：A1C1=CB：C1B1，C=C1，則ABCA1B1C1其中真命題的個數(shù)為（）A4 個B 3 個C 2 個D 1 個分析：分別利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷即到正確的選項(xiàng)解：（1）若 AB=A1B1，AC=A1C1，A=A1，能用 SAS 定理判定ABCA1B1C1，正確；（2）若 AB=A1B1，AC=A1C1，B=B1，不能判定ABCA1B1C1，錯誤；（3）若A=A1，C=C1，能判定ABCA1B1C1，正確；（4）若 AC：A1C1=CB：C1B1，C=C1，能利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角相等的兩三

10、角形相似判定ABCA1B1C1，正確故選 B點(diǎn)評：本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等和相似的判定方法二.填空題1.（2014邵陽，第 14 題 3 分）如圖，在ABCD 中，F(xiàn) 是 BC 上的一點(diǎn)，直線 DF 與 AB 的延長線相交于點(diǎn) E，BPDF，且與 AD 相交于點(diǎn) P，請從圖中找出一組相似的三角形：ABPAED 考點(diǎn)：相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)專題：開放型分析：可利用平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所的三角形與原三角形相似判斷ABPAED解答：解：BPDF，ABPAED故為ABPAED點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形的一邊的直線與

11、其他兩邊相交，所的三角形與原三角形相似；2（2014云南，第 14 題 3 分）如圖，將邊長為 6cm 的正方形 ABCD 折疊，使點(diǎn) D 落在AB 邊的中點(diǎn) E 處，折痕為 FH，點(diǎn) C 落在 Q 處，EQ 與 BC 交于點(diǎn) G，則EBG 的周長是cm考點(diǎn)：折疊、勾股定理、三角形相似分析：根據(jù)折疊性質(zhì)，先由勾股定理求出 AF、EF 的長度，再根據(jù)解答：解：根據(jù)折疊性質(zhì)，設(shè)則，在 RtAEF 中，即，解得：，所以根據(jù)所以EBG 的周長為 3+4+5=12。故填 12點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用及三角形相似問題.3. （2014泰州，第 15 題，3 分）如圖，A、B、C、D 依次

12、為一直線上 4 個點(diǎn)，BC=2，BCE為等邊三角形，O 過 A、D、E3 點(diǎn)，且AOD=120設(shè) AB=x，CD=y，則 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為y=（x0）（第 1 題圖）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理，即，所以，可求出 EG、BG 的長度分析：連接 AE，DE，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求得AED=120，然后求得ABEECD根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例即可表示出 x 與 y 的關(guān)系，從而不難求解解答：解：連接 AE，DE，AOD=120，為 240，AED=120，BCE 為等邊三角形，BEC=60；AEB+CED=60；又EAB+AEB=6

13、0，EAB=CED，ABE=ECD=120；=，即=，y=（x0）點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生圓周角定理以及對相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用能力4.（2014濱州，第 15 題 4 分）如圖，平行于 BC 的直線 DE 把ABC 分成的兩部分面積相等，則=考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)分析：根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，解答：解：DEBC，ADEABCSADE=S 四邊形 BCDE，故為：點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行于三角形一邊截三角形另外兩邊所得的三角形與原三角形相似，相似三角形面積的比等于相似比三.解答題1. （ 2014省,第 17 題 8 分）如圖，在邊長為 1 個

14、長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）（1）將ABC 向上平移 3 個得到A1B1C1，請畫出A1B1C1；（2）請畫一個格點(diǎn)A2B2C2，使A2B2C2ABC，且相似比不為 1考點(diǎn)： 作圖相似變換；作圖-平移變換分析：（1）利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出；（2）利用相似圖形的性質(zhì)，將各邊擴(kuò)大 2 倍，進(jìn)而得出：A1B1C1 即為所求；解答：解：（1）（2）：A2B2C2 即為所求點(diǎn)評：此題主要考查了相似變換和平移變換，得出變換后圖形對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵2. （ 2014省,第 18 題 8 分）如圖，在同一平面內(nèi)，兩條平行高速公路 l1 和 l2 間有一條

15、“Z”型道路連通，其中 AB 段與高速公路 l1 成 30角，長為 20km；BC 段與 AB、CD 段都垂直，長為 10km，CD 段長為 30km，求兩高速公路間的距離（結(jié)果保留根號）考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用分析：過 B 點(diǎn)作 BEl1，交 l1 于 E，CD 于 F，l2 于 G在 RtABE 中，根據(jù)三角函數(shù)求得BE，在 RtBCF 中，根據(jù)三角函數(shù)求得 BF，在 RtDFG 中，根據(jù)三角函數(shù)求得 FG，再根據(jù)EG=BE+BF+FG 即可求解解答：解：過 B 點(diǎn)作 BEl1，交 l1 于 E，CD 于 F，l2 于 G在 RtABE 中，BE=ABsin30=20=10km，在 Rt

16、BCF 中，BF=BCcos30=10km，=CF=BFsin30=km，=DF=CDCF=（30）km，在 RtDFG 中，F(xiàn)G=DFsin30=（30）=（15）km，EG=BE+BF+FG=（25+5）km）km故兩高速公路間的距離為（25+5點(diǎn)評： 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算3（ 2014省,第 19 題 10 分）如圖，在O 中，半徑 OC 與弦 AB 垂直，垂足為 E，以O(shè)C 為直徑的圓與弦 AB 的一個交點(diǎn)為 F，D 是 CF 延長線與O 的交點(diǎn)若 OE=4，OF=6，求O的半徑和 CD 的長考點(diǎn)：垂徑定理；

17、勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：由OEAB 得到OEF=90，再根據(jù)圓周角定理由OC 為小圓的直徑得到OFC=90，則可證明 RtOEFRtOFC，然后利用相似比可計(jì)算出O 的半徑 OC=9；接著在 RtOCF中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出 C=3，由于 OFCD，根據(jù)垂徑定理得 CF=DF，所以 CD=2CF=6解答：解：OEAB，OEF=90，OC 為小圓的直徑，OFC=90，而EOF=FOC，RtOEFRtOFC，OE：OF=OF：OC，即 4：6=6：OC，O 的半徑 OC=9；在 RtOCF 中，OF=6，OC=9，CF=3，OFCD，CF=DF，CD=2CF

18、=6點(diǎn)評： 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)4. （ 2014福建，第 25 題 12 分）如圖，在銳角三角形紙片 ABC 中，ACBC，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別在邊 AB，BC，CA 上（1）已知：DEAC，DFBC判斷四邊形 DECF 一定是什么形狀？裁剪當(dāng) AC=24cm，BC=20cm，ACB=45時，請你探索：如何剪四邊形 DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；（2）折疊請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn) D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說明你的折法和理由考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）根據(jù)有兩組

19、對邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，根據(jù)ADFABC推出對應(yīng)邊的相似比，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即出 h 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積 S 關(guān)于 h 的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就出面積 s最大時 h 的值（2）第一步，沿ABC 的對角線對折，使 C 與 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1對折，使 DA1BB1解答：解：（1）DEAC，DFBC，四邊形 DECF 是平行四邊形作 AGBC，交 BC 于 G，交 DF 于 H，ACB=45，AC=24cmAG=12，設(shè) DF=EC=x，平行四邊形的高為 h，則 AH=12h，DFBC，=，BC

20、=20cm，即：=x=20，h2S=xh=x20=20h=6，AH=12，AF=FC，在 AC 中點(diǎn)處剪四邊形 DECF，能使它的面積最大（2）第一步，沿ABC 的對角線對折，使 C 與 C1 重合，得到三角形 ABB1，第二步，沿 B1 對折，使 DA1BB1理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，即可求出結(jié)論5.（ 2014，第 25 題 9 分）如圖，在ABC 中，AB=AC，ADAB 于點(diǎn) D，BC=10cm，AD=8cm點(diǎn)P 從點(diǎn) B 出發(fā)，段 B

21、C 上以每秒 3cm 的速度向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動，與此同時，垂直于 AD 的直線 m 從底邊 BC 出發(fā)，以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向勻速平移，分別交 AB、AC、AD 于 E、F、H，當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) C 時，點(diǎn) P 與直線 m 同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t 秒（t0）（1）當(dāng) t=2 時，連接 DE、DF，求證：四邊形 AEDF 為菱形；（2）在整個運(yùn)動過程中，所形成的PEF 的面積存在最大值，當(dāng)PEF 的面積最大時，求線段 BP 的長；（3）是否存在某一時刻 t，使PEF 為直角三角形？若存在，請求出此時刻 t 的值；若不存在，請說明理由考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）如答圖 1

22、所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖 2 所示，首先求出PEF 的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如答圖 3 所示，分三種情形，需要分類，分別求解解答：（1）證明：當(dāng) t=2 時，DH=AH=2，則 H 為 AD 的中點(diǎn)，如答圖 1 所示又EFAD，EF 為 AD 的垂直平分線，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB 于點(diǎn) D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四邊形 AEDF 為菱形（2）解：如答圖 2 所示，由（1）知 EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPEF=EFDH=t）2t=t2

23、+10t=（t2）2+10（10當(dāng) t=2 秒時，SPEF 存在最大值，最大值為 10，此時 BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若點(diǎn) E 為直角頂點(diǎn)，如答圖 3所示，此時 PEE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此種情形不存在；若點(diǎn) F 為直角頂點(diǎn)，如答圖 3所示，此時 PEF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得 t=；若點(diǎn) P 為直角頂點(diǎn)，如答圖 3所示過點(diǎn) E 作 EMBC 于點(diǎn) M，過點(diǎn) F 作 FNBC 于點(diǎn) N，則 EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得 BM=t，PM=BPBM=3tt=t在 RtEMP 中，由勾股定理

24、得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，解得 CN=t，即103tt=10t在 RtFNP 中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在 RtPEF 中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，t2）+（t285t+100）t）2=（即：（10t235t=0，化簡得：解得：t=或 t=0（舍去）t=綜上所述，當(dāng) t=秒或 t=秒時，PEF 為直角三角形點(diǎn)評：本題是運(yùn)動型綜合題，涉及動點(diǎn)與動線兩種運(yùn)動類型第（1）問考查了菱形的定義；第（2）問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數(shù)的極值；第（3）問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等

25、知識點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類的數(shù)學(xué)6. （ 2014，第 18 題 7 分）如圖，在 RtABC 中，BAC=90，AB=4，AC=3，線段AB 為半圓 O 的直徑，將 RtABC 沿射線 AB 方向平移，使斜邊與半圓 O 相切于點(diǎn) G，得DEF，DF 與 BC 交于點(diǎn) H（1）求 BE 的長；（2）求 RtABC 與DEF（陰影）部分的面積考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；平移的性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：（1）連結(jié) OG，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出 BC=5，再根據(jù)平移的性質(zhì)得 AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，EDF=BAC=90，由于 EF 與半圓 O 相切于點(diǎn) G，根據(jù)切線的性質(zhì)得 OGEF

26、，然后證明 RtEOGRtEFD，利用相似比可計(jì)算出 OE=，所以 BE=OEOB=；（2）求出 BD 的長度，然后利用相似比例式求出 DH 的長度，從而求出BDH，即陰影部分的面積解答：解：（1）連結(jié) OG，如圖，BAC=90，AB=4，AC=3，BC=5，RtABC 沿射線 AB 方向平移，使斜邊與半圓 O 相切于點(diǎn) G，得DEF，AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，EDF=BAC=90，EF 與半圓 O 相切于點(diǎn) G，OGEF，AB=4，線段 AB 為半圓 O 的直徑，OB=OG=2，GEO=DEF，RtEOGRtEFD，=，即=，解得 OE=，BE=OEOB=2=；（2）BD=

27、DEBE=4=DFAC，即，解得：DH=2S 陰影=SBDH=BDDH=2=，即 RtABC 與DEF（陰影）部分的面積為點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑也考查了平移的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)7. （ 2014，第 21 題 9 分）如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 在邊 AD 上，點(diǎn) F 在邊 BC的延長線上，連結(jié) EF 與邊 CD 相交于點(diǎn) G，連結(jié) BE 與對角線 AC 相交于點(diǎn) H，AE=CF，BE=EG（1）求證：EFAC；（2）求BEF 大小；（3）求證：=考點(diǎn)：四邊形綜合題分析：（1）根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定（

28、2）先確定三角形 GCF 是等腰直角三角形，得出 CG=AE，然后通過BAEBCG，得出BE=BG=EG，即可求得（3）因?yàn)槿切?BEG 是等邊三角形，ABC=90，ABE=CBG，從而求得ABE=15，然后通過求得AHBFGB，即可求得解答：解：（1）四邊形 ABCD 是正方形，ADBF，AE=CF，四邊形 ACFE 是平行四邊形，EFAC，（2）連接 BG，EFAC，F(xiàn)=ACB=45，GCF=90，CGF=F=45，CG=CF，AE=CF，AE=CG，在BAE 與BCG 中，BAEBCG（SAS）BE=BG，BE=EG，BEG 是等邊三角形，BEF=60，（3）BAEBCG，ABE=CB

29、G，BAC=F=45，AHBFGB，=，EBG=60ABE=CBG，ABC=90，ABE=15，=點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，求得三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，連接 BG 是本題的關(guān)鍵8. （ 2014廣西玉林市、防城港市，第 23 題 9 分）如圖的O 中，AB 為直徑，OCAB，弦CD 與 OB 交于點(diǎn) F，過點(diǎn) D、A 分別作O 的切線交于點(diǎn) G，并與 AB 延長線交于點(diǎn) E（1）求證：1=2（2）已知：OF：OB=1：3，O 的半徑為 3，求 AG 的長考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：（1）連結(jié) OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得

30、ODDE，則2+ODC=90，而C=ODC，則2+C=90，由 OCOB 得C+3=90，所以2=3，而1=3，所以1=2；（2）由 OF：OB=1：3，O 的半徑為 3 得到 OF=1，由（1）中1=2 得 EF=ED，在 RtODE中，DE=x，則 EF=x，OE=1+x，根據(jù)勾股定理得 32+t2=（t+1）2，解得 t=4，則 DE=4，OE=5，根據(jù)切線的性質(zhì)由 AG 為O 的切線得GAE=90，再證明 RtEODRtEGA，利用相似比可計(jì)算出 AG解答：（1）證明：連結(jié) OD，如圖，DE 為O 的切線，ODDE，ODE=90，即2+ODC=90，OC=OD，C=ODC，2+C=90

31、，而 OCOB，C+3=90，2=3，1=3，1=2；（2）解：OF：OB=1：3，O 的半徑為 3，OF=1，1=2，EF=ED，在 RtODE 中，OD=3，DE=x，則 EF=x，OE=1+x，OD2+DE2=OE2，32+t2=（t+1）2，解得 t=4，DE=4，OE=5，AG 為O 的切線，AGAE，GAE=90，而OED=GEA，RtEODRtEGA，=，即=，AG=6點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)9. （ 2014廣西玉林市、防城港市，第 25 題 10 分）如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) M 是 BC邊上的任

32、一點(diǎn)，連接 AM 并將線段 AM 繞 M 順時針旋轉(zhuǎn) 90得到線段 MN，在 CD 邊上取點(diǎn) P使 CP=BM，連接 NP，BP（1）求證：四邊形 BMNP 是平行四邊形；（2）線段 MN 與 CD 交于點(diǎn) Q，連接 AQ，若MCQAMQ，則 BM 與 MC 存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)AB=BC，ABC=B，然后利用“邊角邊”證明ABM 和BCP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等AM=BP，BAM=CBP，再求出 AMBP，從而得到MNBP，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2

33、）根據(jù)同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM 和MCQ 相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例=，再求出AMQABM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例=，從而得到=，即解解答：（1）證明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=B，在ABM 和BCP 中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM 并將線段 AM 繞 M 順時針旋轉(zhuǎn) 90得到線段 MN，AMMN，且 AM=MN，MNBP，四邊形 BMNP 是平行四邊形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又B=C=90，

34、ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，（1）求出兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)相似于同一個三角形的兩個三角形相似求出AMQABM 是解題的關(guān)鍵10(2014 年資陽，第 23 題 11 分)如圖，已知直線 l1l2，線段 AB 在直線 l1 上，BC 垂直于 l1 交 l2 于點(diǎn) C，且 AB=BC，P 是線段 BC 上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 的直線分別交 l2、l1 于點(diǎn) D、E（點(diǎn) A、E 位于點(diǎn) B 的兩側(cè)），滿足 BP=BE，連接 AP、CE（1）求證：

35、ABPCBE；（2）連結(jié) AD、BD，BD 與 AP 相交于點(diǎn) F如圖 2=2 時，求證：APBD；當(dāng)=n（n1）時，設(shè)PAD 的面積為 S1，PCE 的面積為 S2，求當(dāng)?shù)闹悼键c(diǎn)： 相似形綜合題分析：（1）求出ABP=CBE，根據(jù) SAS 推出即可；（2）延長 AP 交 CE 于點(diǎn) H，求出 APCE，證出CPDBPE，推出 DP=PE，求出平行四邊形 BDCE，推出 CEBD 即可；分別用 S 表示出PAD 和PCE 的面積，代入求出即可解答：（1）證明：BC直線 l1，ABP=CBE，在ABP 和CBE 中ABPCBE（SAS）；（2）證明：延長 AP 交 CE 于點(diǎn) H，ABPCBE，

36、PAB=ECB，PAB+AEE=ECB+AEH=90，APCE，=2，即 P 為 BC 的中點(diǎn)，直線 l1直線 l2，CPDBPE，=，DP=PE，四邊形 BDCE 是平行四邊形，CEBD，APCE，APBD；=N解：BC=nBP，CP=（n1）BP，CDBE，CPDBPE，=n1，即 S2=（n1）S，SPAB=SBCE=nS，PAE=（n+1）S，=n1，=S1=（n+1）（n1）S，=n+1=點(diǎn)評： 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度11.（2014，第 24 題 10 分）如圖，Rt

37、ABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，動點(diǎn)P 從點(diǎn) B 出發(fā)，在 BA 邊上以每秒 5cm 的速度向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，在CB 邊上以每秒 4cm 的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為 t 秒（0t2），連接 PQ（1）若BPQ 與ABC 相似，求 t 的值；（2）連接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值；（3）試證明：PQ 的中點(diǎn)在ABC 的一條中位線上考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）分兩種情況：當(dāng)BPQBAC 時，=，當(dāng)BPQBCA 時，=，再根據(jù) BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可；（2）過 P 作 PMBC

38、于點(diǎn) M，AQ，CP 交于點(diǎn) N，則有 PB=5t，PM=3t，MC=84t，根據(jù)ACQCMP，得出=，代入計(jì)算即可；（3）作 PEAC 于點(diǎn) E，DFAC 于點(diǎn) F，先得出 DF=，再把 QC=4t，PE=8BM=84t代入求出 DF，過 BC 的中點(diǎn) R 作直線平行于 AC，得出 RC=DF，D 在過 R 的中位線上，從而證出 PQ 的中點(diǎn)在ABC 的一條中位線上解答：解：（1）當(dāng)BPQBAC 時，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，=，t=1；當(dāng)BPQBCA 時，=，=，t=，t=1 或時，BPQ 與ABC 相似；（2），過 P 作 PMBC 于點(diǎn) M，AQ，CP 交于

39、點(diǎn) N，則有 PB=5t，PM=3t，MC=84t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM 且ACQ=PMC=90，ACQCMP，=，=，解得：t=；（3）如圖，仍有 PMBC 于點(diǎn) M，PQ 的中點(diǎn)設(shè)為 D 點(diǎn)，再作 PEAC 于點(diǎn) E，DFAC 于點(diǎn) F，ACB=90，DF 為梯形 PECQ 的中位線，DF=，QC=4t，PE=8BM=84t，DF=4，BC=8，過 BC 的中點(diǎn) R 作直線平行于 AC，RC=成立，D 在過 R 的中位線上，PQ 的中點(diǎn)在ABC 的一條中位線上點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等，關(guān)鍵是畫出圖

40、形作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分兩種情況12（2014自貢，第 23 題 12 分）閱讀理解：如圖，在四邊形 ABCD 的邊 AB 上任取一點(diǎn) E（點(diǎn) E 不與 A、B 重合），分別連接 ED、EC，可以把四邊形 ABCD 分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似就把 E 叫做四邊形 ABCD的邊 AB 上的“相似點(diǎn)”；如果這三個三角形都相似，就把 E 叫做四邊形 ABCD 的邊 AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”解決問題：（1）如圖，A=B=DEC=45，試判斷點(diǎn) E 是否是四邊形 ABCD 的邊 AB 上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖，在矩形 ABCD 中，A、B、C、D 四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中

41、每個小正方形的邊長為 1）的格點(diǎn)（即每個小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖中畫出矩形 ABCD 的邊 AB 上的強(qiáng)相似點(diǎn)；（3）如圖，將矩形 ABCD 沿 CM 折疊，使點(diǎn) D 落在 AB 邊上的點(diǎn) E 處，若點(diǎn) E 恰好是四邊形ABCM 的邊 AB 上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究 AB 與 BC 的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）要證明點(diǎn) E 是四邊形 ABCD 的 AB 邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明ADEBEC，所以問題得解（2）以 CD 為直徑畫弧，取該弧與 AB 的一個交點(diǎn)即為所求；（3）因?yàn)辄c(diǎn) E 是矩形 ABCD 的 AB 邊上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出

42、現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例，可以判斷出 AE 和 BE 的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解解答：解：（1）A=B=DEC=45，AED+ADE=135，AED+CEB=135ADE=CEB，在ADE 和BCE 中，ADEBCE，點(diǎn) E 是否是四邊形 ABCD 的邊 AB 上的相似點(diǎn)：點(diǎn) E 是四邊形 ABCD 的邊 AB 上的相似點(diǎn)，（2）（3）點(diǎn) E 是四邊形 ABCM 的邊 AB 上的一個強(qiáng)相似點(diǎn)，AEMBCEECM，BCE=ECM=AEM由折疊可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，BCE=BCD=30，BE=，在 RtBCE 中，tanBCE=tan30=，點(diǎn)評：本題是相似三角形

43、綜合題，主要考查了相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解全相似點(diǎn)的定義，判斷出CED=90，從而確定作以 CD 為直徑的圓是解題的關(guān)鍵13. （2014湘潭，第 25 題） ABC 為等邊三角形，邊長為 a，DFAB，EFAC，（1）求證：BDFCEF；（2）若 a=4，設(shè) BF=m，四邊形 ADFE 面積為 S，求出 S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng) m 為何值時 S 取最大值；（3）已知 A、D、F、E 四點(diǎn)共圓，已知 tanEDF=，求此圓直徑（第 1 題圖）考點(diǎn)：相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到兩組對應(yīng)角相等即

44、可（2）四邊形 ADFE 面積 S 可以看成ADF 與AEF 的面積之和，借助三角函數(shù)用 m 表示出 AD、DF、AE、EF 的長，進(jìn)而可以用含 m 的代數(shù)式表示 S，然后通過配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題（3）AF 就是圓的直徑，利用圓周角定理將EDF 轉(zhuǎn)化為EAF在AFC 中，知道tanEAF、C、AC，通過解直角三角形就可求出 AF 長解答：解：（1）DFAB，EFAC，BDF=CEF=90ABC 為等邊三角形，B=C=60BDF=CEF，B=C，BDFCEF（2）BDF=90，B=60，sin60=，cos60=BF=m，DF=m，BD=AB=4，AD=4m2+SADF

45、=ADDF=（4）m=mm2+2同理：SAEF=AEEF=（4）（4m）=m2+（m24m8）S=SADF+SAEF=m+2=（m2）2+3其中 0m4=0，024，當(dāng) m=2 時，S 取最大值，最大值為 3S 與 m 之間的函數(shù)關(guān)系為：（m2）2+3S（其中 0m4）當(dāng) m=2 時，S 取到最大值，最大值為 3（3）如圖 2，A、D、F、E 四點(diǎn)共圓，EDF=EAFADF=AEF=90，AF 是此圓的直徑tanEDF=，tanEAF=C=60，=tan60=設(shè) EC=x，則 EF=x，EA=2xAC=a，2x+x=Ax=EF=，AE=AEF=90，AF=此圓直徑長為點(diǎn)評：本題考查了相似三角形

46、的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)利用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置是解決最后一小題的關(guān)鍵14. （2014湘潭，第 26 題）已知二次函數(shù) y=x2+bx+c 的對稱軸為 x=2，且經(jīng)過原點(diǎn)，直線 AC式為 y=kx+4，（1）求二次函數(shù)式；（2）若=，求 k；（3）若以 BC 為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求 k（第 2 題圖）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）由對稱軸為 x=，且函數(shù)過（0，0），則可推出 b，c，進(jìn)而得函數(shù)式=，考慮計(jì)算方便可作 B，C 對（2）=，且兩三角形為同高不同底的三角形，易得x 軸的垂線，進(jìn)而有 B，C

47、 橫坐標(biāo)的比為=由 B，C 為直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)，則聯(lián)立可求得 B，C 坐標(biāo)由上述倍數(shù)關(guān)系，則 k 易得（3）以 BC 為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，即BOC=90，一般考慮表示邊長，再用勾股定理構(gòu)造方程求解 k這個思路計(jì)算量異常復(fù)雜，基本不考慮，再考慮（2）的思路，發(fā)現(xiàn) B，C 橫縱坐標(biāo)恰好可表示出 EB，EO，OF，OC而由BOC=90，易證EBOFOC，即 EBFC=EOFO有此構(gòu)造方程發(fā)現(xiàn) k 值大多可約去，進(jìn)而k 值解答：解：（1）二次函數(shù) y=x2+bx+c 的對稱軸為 x=2，且經(jīng)過原點(diǎn)，=2，0=0+0+c，b=4，c=0，y=x2+4x（2）如圖 1，連接 OB，OC，過點(diǎn) A 作

48、AEy 軸于 E，過點(diǎn) B 作 BFy 軸于 F，=，=，=，EBFC，=y=kx+4 交 y=x2+4x 于 B，C，kx+4=x2+4x，即 x2+（k4）x+4=0，=（k4）244=k28k，x=，或 x=，xBxC，EB=xB=，F(xiàn)C=xC=，4=，解得 k=9（交點(diǎn)不在 y 軸右邊，不符題意，舍去）或 k=1k=1（3）BOC=90，EOB+FOC=90，EOB+EBO=90，EBO=FOC，BEO=OFC=90，EBOFOC，EBFC=EOFOxB=，xC=，且 B、C 過 y=kx+4，yB=k+4，yC=k+4，EO=yB=k+4，OF=yC=k4，=（k+4）（k4），整理

49、得16k=20，k=點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)、一元二次方程及圓的基本知識題目特殊，貌似思路不難，但若思路不對，計(jì)算異常復(fù)雜，題目所折射出來的，考生應(yīng)好好理解掌握15. （2014益陽，第 21 題，12 分）如圖，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，點(diǎn) P 沿線段 AB 從點(diǎn) A 向點(diǎn) B 運(yùn)動，設(shè) AP=x（1）求 AD 的長；（2）點(diǎn) P 在運(yùn)動過程中，是否存在以 A、P、D 為頂點(diǎn)的三角形與以 P、C、B 為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)與PCB 的外接圓的面積分別為 S1、S2

50、，若 S=S1+S2，求 S 的最小值（第 3 題圖）考點(diǎn)：相似形綜合題分析：（1）過點(diǎn) C 作 CEAB 于 E，根據(jù) CE=BCsinB 求出 CE，再根據(jù) AD=CE 即可求出 AD；（2）若以 A、P、D 為頂點(diǎn)的三角形與以 P、C、B 為頂點(diǎn)的三角形相似，則PCB 必有一個角是直角分兩種情況：當(dāng)PCB=90時，求出 AP，再根據(jù)在 Rt中DPA=60，得出DPA=B，從而得到CPB，當(dāng)CPB=90時，求出 AP=3，根據(jù)且，得出PCB 與不相似（3）先求出 S1=x，再分兩種情況：當(dāng) 2x10 時，作 BC 的垂直平分線交BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分線交 PB

51、 于 N，交 GH 于 M，連結(jié) BM，在 RtGBH 中求x1），在 RtBMN 中，求出 BM2=x2出 BG、BN、GN，在 RtGMN 中，求出 MN=x+（，2最后根據(jù) S1=xBM 代入計(jì)算即可當(dāng) 0 x2 時，S2=x（x2x+），最后根據(jù)）2+S=S1+S2=x（xx 即出 S 的最小值解答：解：（1）過點(diǎn) C 作 CEAB 于 E，在 RtBCE 中，B=60，BC=4，CE=BCsinB=4=2，AD=CE=2（2）存在若以 A、P、D 為頂點(diǎn)的三角形與以 P、C、B 為頂點(diǎn)的三角形相似，則PCB 必有一個角是直角當(dāng)PCB=90時，在 RtPCB 中，BC=4，B=60，P

52、B=8，AP=ABPB=2又由（1）知 AD=2，在 Rt中，tanDPA=，DPA=60，DPA=CPB，CPB，存在與CPB 相似，此時 x=2當(dāng)CPB=90時，在 RtPCB 中，B=60，BC=4，PB=2，PC=2，AP=3，此時PCB 與則且不相似（3）如圖，因?yàn)?Rt外接圓的直徑為斜邊 PD，則 S1=x（）2=x，當(dāng) 2x10 時，作 BC 的垂直平分線交 BC 于 H，交 AB 于 G；作 PB 的垂直平分線交 PB 于 N，交 GH 于 M，連結(jié) BM則 BM 為PCB 外接圓的半徑在 RtGBH 中，BH=BC=2，MGB=30，BG=4，BN=PB=（10 x）=5x，

53、GN=BGBN=x1在 RtGMN 中，MN=GNtanMGN=x1）（在 RtBMN 中，BM2=MN2+BN2=x2x+，2S1=xBM =x（x2x+）x2當(dāng) 0 x2 時，S2=x（x+）也成立，x2）2+S=S1+S2=x+x（x+x（xx）=當(dāng) x=時，S=S1+S2 取得最小值x點(diǎn)評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點(diǎn)是相似三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的最值、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形構(gòu)造相似三角形，注意分類16. （2014株洲，第 23 題，8 分）如圖，PQ 為圓 O 的直徑，點(diǎn) B段 PQ 的延長線上，B=1，動點(diǎn) A 在圓 O 的上半圓運(yùn)動（含 P、Q 兩點(diǎn)），以

54、線段 AB 為邊向上作等邊三角形ABC（1）當(dāng)線段 AB 所在的直線與圓 O 相切時，求ABC 的面積（圖 1）；（2）設(shè)AOB=，當(dāng)線段 AB、與圓 O 只有一個公共點(diǎn)（即 A 點(diǎn)）時，求 的范圍（圖 2，直接寫出）；（3）當(dāng)線段 AB 與圓 O 有兩個公共點(diǎn) A、M 時，如果 AOPM 于點(diǎn) N，求 CM 的長度（圖 3）（第 4 題圖）考點(diǎn)：圓的綜合題；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值分析：（1）連接 OA，如下圖 1，根據(jù)條件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以求出ABC 的面積（2）如下圖 2，首先考慮臨界位置：當(dāng)

55、點(diǎn) A 與點(diǎn) Q 重合時，線段 AB 與圓 O 只有一個公共點(diǎn)，此時 =0；當(dāng)線段 AB 所在的直線與圓 O 相切時，線段 AB 與圓 O 只有一個公共點(diǎn)，此時=60從而定出 的范圍（3）設(shè) AO 與 PM 的交點(diǎn)為 D，連接 MQ，如下圖 3，易證 AOMQ，從而得到PDOPMQ，BMQBAO，又 PO=OQ=BQ，從而可以求出 MQ、OD，進(jìn)而求出 PD、DM、AM、CM 的值解答：解：（1）連接 OA，過點(diǎn) B 作 BHAC，垂足為 H，如圖 1 所示AB 與O 相切于點(diǎn) A，OAABOAB=90B=1，OA=1AB=ABC 是等邊三角形，AC=AB=，CAB=60sinHAB=，HB=

56、ABsinHAB=SABC=ACBH=ABC 的面積為（2）當(dāng)點(diǎn) A 與點(diǎn) Q 重合時，線段 AB 與圓 O 只有一個公共點(diǎn)，此時 =0；當(dāng)線段 A1B 所在的直線與圓 O 相切時，如圖 2 所示，線段 A1B 與圓 O 只有一個公共點(diǎn)，此時 OA1BA1，OA1=1，OB=2，cosA1OB=A1OB=60當(dāng)線段 AB 與圓 O 只有一個公共點(diǎn)（即 A 點(diǎn)）時， 的范圍為：060（3）連接 MQ，如圖 3 所示PQ 是O 的直徑，PMQ=90OAPM，PDO=90PDO=PMQPDOPMQ=PO=OQ=PQPD=PM，OD=MQ同理：MQ=AO，BM=ABAO=1，MQ=OD=PDO=90，

57、PO=1，OD=，PD=PM=DM=ADM=90，AD=A0OD=，AM=ABC 是等邊三角形，AC=AB=BC，CAB=60BM=AB，AM=BMCMABAM=，BM=，AB=AC=CM=CM 的長度為點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、直線與圓相切、勾股定理、特殊三角函數(shù)值等知識，考查了用臨界值法求角的取值范圍，綜合性較強(qiáng)17. （2014株洲，第 24 題，10 分）已知拋物線 y=x2（k+2）x+和直線 y=（k+1）x+（k+1）2（1）求證：無論 k 取數(shù)值，拋物線總與 x 軸有兩個不同的交點(diǎn)；（2）拋物線于 x 軸交于點(diǎn) A、B，直線與 x 軸交于點(diǎn) C，

58、設(shè) A、B、C 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是 x1、x2、x3，求 x1x2x3 的最大值；（3）如果拋物線與 x 軸的交點(diǎn) A、B 在原點(diǎn)的右邊，直線與 x 軸的交點(diǎn) C 在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交 y 軸于點(diǎn) D、E，直線 AD 交直線 CE 于點(diǎn) G（如圖），且 CAGE=CGAB，求拋物線的式（第 5 題圖）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）由判別式=（k+2）241=k2k+2=（k）2+0，即可證得無論 k 取數(shù)值，拋物線總與 x 軸有兩個不同的交點(diǎn)；（2）由拋物線于 x 軸交于點(diǎn) A、B，直線與 x 軸交于點(diǎn) C，設(shè) A、B、C 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3，x1x2=，x3=

59、（k+1），繼而可求得；（3）由 CAGE=CGAB，易得CAGCBE，繼而可證得OADOBE，則，又由拋物線與 x 軸的交點(diǎn) A、B 在原點(diǎn)的右邊，直線與 x 軸的交點(diǎn) C 在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、，OE=（k+1）2，繼而求得點(diǎn) B 的直線分別交 y 軸于點(diǎn) D、E，OAOB=，OD=坐標(biāo)為（0，k+1），代入式即可求得解答：（1）證明：=（k+2）241=k2k+2=（k）2+，（k）20，0，無論 k 取數(shù)值，拋物線總與 x 軸有兩個不同的交點(diǎn)；（2）解：拋物線于 x 軸交于點(diǎn) A、B，直線與 x 軸交于點(diǎn) C，設(shè) A、B、C 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是 x1、x2、x3，x1x2=，令 0=

60、（k+1）x+（k+1）2，解得：x=（k+1），即 x3=（k+1），）2+x1x2x3=（k+1）=（k+，x1x2x3 的最大值為：；（3）解：CAGE=CGAB，ACG=BCE，CAGCBE，CAG=CBE，AOD=BOE，OADOBE，拋物線與 x 軸的交點(diǎn) A、B 在原點(diǎn)的右邊，直線與 x 軸的交點(diǎn) C 在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交 y 軸于點(diǎn) D、E，OE=（k+1）2，OAOB=，OD=OAOB=OD，OB2=OE，OB=k+1，點(diǎn) B（k+1，0），將點(diǎn) B 代入拋物線 y=x2（k+2）x+得：（k+1）2（k+2）（k+1）=0，解得：k=2，拋物線的式為：y=x2