第2有限元分析的力學基礎

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容o 2.1 彈性力學同有限元分析的關系彈性力學同有限元分析的關系o 2.2 彈性體的基本假設彈性體的基本假設o 2.3 彈性力學的基本變量彈性力學的基本變量o 2.4 平面問題的基本力學方程平面問題的基本力學方程o 2.5 空間問題的基本力學方程空間問題的基本力學方程o 2.6 彈性問題中的能量表達彈性問題中的能量表達o 2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論o 2.8 變形體的構形、剛體位移及體積應變變形體的構形、剛體位移及體積應變要點要點o 變形體的三大類基本變量變形體的三大類基本變量o 變形體的三大類基本方程及兩類邊界條件變形體的三大類基本方程及兩類邊界條件o 彈性

2、問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o 平面應力、平面應變、剛體位移的特征及表達平面應力、平面應變、剛體位移的特征及表達o 應力及應變的分解應力及應變的分解2.1彈性力學同有限元分析的關系彈性力學同有限元分析的關系o 彈性力學彈性力學（Elasticity）：彈性力學也稱彈性理論，是固）：彈性力學也稱彈性理論，是固體力學的重要分支。主要研究體力學的重要分支。主要研究彈性體彈性體在外力作用或溫度在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的變化等外界因素下所產(chǎn)生的應力應力、應變應變和和位移位移，從而解，從而解決各類工程中所提出的強度、剛度和穩(wěn)定問題。決各類工程中所提出的強度、剛度和穩(wěn)定問題。o 彈性彈

3、性，幾乎是所有固體的一種固有的物理屬性，而，幾乎是所有固體的一種固有的物理屬性，而完全完全彈性彈性，則是指在引起其變形的外界因素消失以后能完全，則是指在引起其變形的外界因素消失以后能完全恢復原狀的物體，簡稱為恢復原狀的物體，簡稱為彈性體彈性體。o 彈性力學基本規(guī)律：彈性力學基本規(guī)律：變形連續(xù)規(guī)律變形連續(xù)規(guī)律、應力應力- -應變關系應變關系和和運動運動( (或平衡或平衡) )規(guī)律規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學三大基本，它們有時被稱為彈性力學三大基本規(guī)律。彈性力學中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從規(guī)律。彈性力學中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導出來。三大基本規(guī)律推導出來。應力應力 /

4、Sigma/應變應變 /Epsilon/位移位移 U 2.1彈性力學同有限元分析的關系彈性力學同有限元分析的關系o彈性力學同材料力學的比較彈性力學同材料力學的比較1、彈性力學的任務是要解決構件的強度、剛度和穩(wěn)定問題，彈性力學的任務是要解決構件的強度、剛度和穩(wěn)定問題，而材料力學還涉及到疲勞、蠕變、塑性變形以及構建破壞而材料力學還涉及到疲勞、蠕變、塑性變形以及構建破壞規(guī)律等問題規(guī)律等問題2、研究的對象：材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等、研究的對象：材料力學基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構件，即長度遠大于寬度和厚度的構件；彈性力學雖桿狀構件，即長度遠大于寬度和厚度的構件；彈性力學雖然也研究桿狀

5、構件，但還研究材料力學無法研究的板與殼然也研究桿狀構件，但還研究材料力學無法研究的板與殼及其它實體結(jié)構，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個及其它實體結(jié)構，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當?shù)臉嫾?。尺寸相當?shù)臉嫾?.1彈性力學同有限元分析的關系彈性力學同有限元分析的關系o彈性力學同材料力學的比較彈性力學同材料力學的比較3、研究的方法研究的方法： 彈性力學根據(jù)六條基本假設，從問題的靜力學、幾何學彈性力學根據(jù)六條基本假設，從問題的靜力學、幾何學和物理學三方面出發(fā)，經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導，得到彈性力和物理學三方面出發(fā)，經(jīng)過嚴密的數(shù)學推導，得到彈性力學的基本方程和各類邊界條件，從而把問題歸結(jié)為線性

6、偏學的基本方程和各類邊界條件，從而把問題歸結(jié)為線性偏微分方程組的邊界問題。微分方程組的邊界問題。 材料力學在研究桿狀構建的拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)和彎曲問材料力學在研究桿狀構建的拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)和彎曲問題時，也要用到彈性力學的六條基本假設。同時也要從問題時，也要用到彈性力學的六條基本假設。同時也要從問題的靜力學、幾何學和物理學三方面出發(fā)，但為了簡化計題的靜力學、幾何學和物理學三方面出發(fā)，但為了簡化計算，大都還對構建的應力分布和變形狀態(tài)作出某些附加的算，大都還對構建的應力分布和變形狀態(tài)作出某些附加的假設假設2.1彈性力學同有限元分析的關系彈性力學同有限元分析的關系 從幾何形狀復雜程度來考慮可以分為：從幾

7、何形狀復雜程度來考慮可以分為： 1 1）簡單形狀變形體）簡單形狀變形體材料力學材料力學 2 2）任意形狀變形體）任意形狀變形體彈性力學彈性力學 任意變形體是任意變形體是有限元方法有限元方法處理的對象，因而，彈性力學處理的對象，因而，彈性力學中有關變量和方程的描述是有限元方法的重要基礎。中有關變量和方程的描述是有限元方法的重要基礎。 彈性力學的弱點：彈性力學的弱點：由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處由于研究對象的變形狀態(tài)較復雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了學運算。但為了簡化計

8、算，便于數(shù)學處理，它仍然保留了材料力學中關于材料性質(zhì)的假定。材料力學中關于材料性質(zhì)的假定。2.2 彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定o 連續(xù)性假設連續(xù)性假設：將可變形的固體看作是連續(xù)密實的物體，：將可變形的固體看作是連續(xù)密實的物體，即組成物體的質(zhì)點之間不存在任何空隙。通過該假設，即組成物體的質(zhì)點之間不存在任何空隙。通過該假設，可以認為應力、應變和位移是連續(xù)的，它們可以表示成可以認為應力、應變和位移是連續(xù)的，它們可以表示成坐標的連續(xù)函數(shù)，因而在作數(shù)學推導時可以用到連續(xù)和坐標的連續(xù)函數(shù)，因而在作數(shù)學推導時可以用到連續(xù)和極限的概念。極限的概念。o 完全彈性假設完全彈性假設：又稱

9、：又稱物理線性假設物理線性假設。亦即當使物體產(chǎn)生。亦即當使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原形，而不變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原形，而不留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬留任何殘余變形。這樣，當溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力 ，與它，與它過去的受力情況無關。應力和應變呈線性關系，各個彈過去的受力情況無關。應力和應變呈線性關系，各個彈性常數(shù)不隨應力或應變的大小而改變。性常數(shù)不隨應力或應變的大小而改變。o 各向同性假設各向同性假設：假設物體在不同的方向上具有相同的物：假設物體在不同的方

10、向上具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)不隨坐標方向的改變而改理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)不隨坐標方向的改變而改變。變。o 均勻性假設均勻性假設：假設所研究的物體使用同一類型的均勻材：假設所研究的物體使用同一類型的均勻材料組成的，因此各部分的物理性質(zhì)（如彈性）都是相同料組成的，因此各部分的物理性質(zhì)（如彈性）都是相同的，并不會隨著坐標位置的改變而發(fā)生變化。根據(jù)這個的，并不會隨著坐標位置的改變而發(fā)生變化。根據(jù)這個假設，我們在處理問題時可以去除物體內(nèi)部任一部分進假設，我們在處理問題時可以去除物體內(nèi)部任一部分進行分析，然后將分析的結(jié)果用于整個物體。行分析，然后將分析的結(jié)果用于整個物體。2.2 彈性力學

11、中關于材料性質(zhì)的假定彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定o 小變形假設小變形假設：又稱幾何線性的假設。假設物體在力和溫：又稱幾何線性的假設。假設物體在力和溫度變化等外界因素作用下所產(chǎn)生的位移遠小于物體原來度變化等外界因素作用下所產(chǎn)生的位移遠小于物體原來的尺寸，因而應變分量和轉(zhuǎn)角都遠小于的尺寸，因而應變分量和轉(zhuǎn)角都遠小于1 1。這樣，在研。這樣，在研究物體平衡時，可不考慮由于變形引起的物體尺寸和位究物體平衡時，可不考慮由于變形引起的物體尺寸和位置的變化；在建立幾何方程和物理方程時，可略去應變、置的變化；在建立幾何方程和物理方程時，可略去應變、轉(zhuǎn)角的二次冪或是二次乘積以上的項。轉(zhuǎn)角的二次冪或是二次乘積以上

12、的項。o 無初始應力假設無初始應力假設：假設物體處于自然狀態(tài)，即在力和溫：假設物體處于自然狀態(tài)，即在力和溫度變化等外界因素作用之前，物體內(nèi)部是設有應力的。度變化等外界因素作用之前，物體內(nèi)部是設有應力的。根據(jù)該假設，由彈性力學求得的應力僅僅是由外力或溫根據(jù)該假設，由彈性力學求得的應力僅僅是由外力或溫度變化所引起的。度變化所引起的。2.2 彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定彈性力學中關于材料性質(zhì)的假定2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o 基本變量2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o 外力外力：指其他物體對研究對象（彈性體）的作用力?？芍钙渌矬w對研究對象（彈性體）的作用力?？梢苑譃橐苑譃轶w積

13、力體積力（體力）（體力）和和表面力表面力（面力）（面力） 1 1、面力面力：是分布于物體表面的力，如靜水壓力、風力、一：是分布于物體表面的力，如靜水壓力、風力、一物體與另一物體之間的接觸壓力等。（單位：物體與另一物體之間的接觸壓力等。（單位：N/mN/m2 2）2 2、體力體力：是分布于物體體積內(nèi)所有質(zhì)點上的力，如重力、：是分布于物體體積內(nèi)所有質(zhì)點上的力，如重力、磁力、慣性力等。（單位：磁力、慣性力等。（單位：N/mN/m3 3）均為矢量。均為矢量。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應力（內(nèi)力）應力（內(nèi)力）設設作用于作用于 上的內(nèi)力為上的內(nèi)力為 , , 則內(nèi)力則內(nèi)力的

14、平均集度的平均集度, ,即即平均應力平均應力, ,為為 2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o 內(nèi)力內(nèi)力：一個在外界因素（外力、溫度變化）作用下的一個在外界因素（外力、溫度變化）作用下的物體，其內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生相互的作用。這種物物體，其內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生相互的作用。這種物體內(nèi)的一部分與其相鄰的另一部分之間相互作用的力。體內(nèi)的一部分與其相鄰的另一部分之間相互作用的力。 F/FSS0limvSFfS 這個這個極限矢量極限矢量f fv v，就是物體在就是物體在截截面面mnmn上、上、MM點的點的應力應力。應力就是彈性體內(nèi)某一點作用于某截面單位面積上的內(nèi)力應力就是彈性體內(nèi)某一點作用于某截面單

15、位面積上的內(nèi)力2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量zyx yzzxyxzyxzxy 每一個面上的應力分解為一個正應力每一個面上的應力分解為一個正應力和兩個切應力和兩個切應力正應力下標表示作用在垂直于軸的面正應力下標表示作用在垂直于軸的面上同時也沿著軸方向作用的上同時也沿著軸方向作用的剪應力加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一剪應力加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài) 凡提到應力應該指出它是對物體內(nèi)那一點并過該

16、點哪凡提到應力應該指出它是對物體內(nèi)那一點并過該點哪一個微分平面來說的。我們把物體內(nèi)部同一點各微分面上一個微分平面來說的。我們把物體內(nèi)部同一點各微分面上的應力情況，稱為一點的應力狀態(tài)。的應力情況，稱為一點的應力狀態(tài)。為了表示一點的應力狀態(tài)，過物體內(nèi)部某一點為了表示一點的應力狀態(tài)，過物體內(nèi)部某一點MM分別作分別作3 3個彼此垂直的微分面?zhèn)€彼此垂直的微分面2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài) 通過對通過對MM點的點的3 3個微分面上的應力矢量分解以后，總共得個微分面上的應力矢量分解以后，總共得到到9 9個分量，它們作為一個整體稱為個分量，它們作為一個整體稱為應力張量

17、應力張量，而其中每一，而其中每一個量稱為個量稱為應力分量應力分量. .假設它們是坐標假設它們是坐標x x，y y，z z的連續(xù)函數(shù)，的連續(xù)函數(shù)，而且具有連續(xù)到二階的偏導數(shù)，則有：而且具有連續(xù)到二階的偏導數(shù)，則有：()xxyxzijyxyyzzxzyz結(jié)論結(jié)論：只要知道了一點的：只要知道了一點的9 9個應力分量，就可以求出通過該個應力分量，就可以求出通過該點的各個微分面上的應力，也就是說點的各個微分面上的應力，也就是說9 9個應力分量將完全確個應力分量將完全確定一點的應力狀態(tài)定一點的應力狀態(tài)2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o 正面（外法線是沿著坐標軸的正方向）正面（外法線是沿著坐標軸的正

18、方向）o 負面（外法線是沿著坐標軸的負方向）負面（外法線是沿著坐標軸的負方向）o 正面上的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向正面上的應力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負為負o 負面上的應力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向負面上的應力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負為負正應力以拉應力為正，壓應力為負正應力以拉應力為正，壓應力為負2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o 剪應力互等定律剪應力互等定律：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力是互等的。于該兩面交線的剪應力是互等的。( (大小相等，正負號也大小相等，正負號也相同相

19、同) )。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調(diào)。因此剪應力記號的兩個角碼可以對調(diào)。yxxyxzzxzyyz,zzyzxyzyyxxzxyx 不同的坐標表示不同的坐標表示zzyzxzyyxyzxyxx zzyzxyzyyxxzxyxij 應力張量應力張量一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)應變和位移應變和位移 為了分析物體在其某一點 P 的形變狀態(tài), 在這一點沿著坐標軸x , y , z 的正方向取三個微小的線段 PA, PB, PC。 2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量正應變正應變各線段的每單位長度的伸縮,即單位伸縮或相對伸縮。以伸長為正、縮短為負 剪剪應變應變各線段之間的直角的改變,用弧度表示。以

20、直角減小為正、增大為負。zyx zxyzxy 2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量現(xiàn)在考慮任意一個微現(xiàn)在考慮任意一個微分平行六面體，設其分平行六面體，設其中變形前的三條棱邊中變形前的三條棱邊分別為分別為MA，MB，MC，變形后變?yōu)?，變形后變?yōu)镸A， MB ， MC，那么可以得到正應，那么可以得到正應變和剪應變分別為：變和剪應變分別為：這這6個分量中的每一個分量中的每一個都稱為應變分量。個都稱為應變分量。2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量物體內(nèi)任意一點的位移物體內(nèi)任意一點的位移, ,用它在用它在x, y, z三軸上的三軸上的投影投影 ， ， 來表示來表示以正標向為正以正標向為正。uvw

21、 一般而論一般而論, , 彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面力彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面力分量、應力分量、應變分量和位移分量分量、應力分量、應變分量和位移分量, ,都是隨著該都是隨著該點的位置而變的點的位置而變的, , 因而都是因而都是。 ( , , )( , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o建立應變分量和位移分量之間的關系建立應變分量和位移分量之間的關系由于我們考慮的是小變形，在不包括純屬物體位置變化（由于我們考慮的是小變形，在不包括純屬物體位置變化（即剛體運動）的那個部分，也就是說，物體內(nèi)各點的位移即剛體運動）的

22、那個部分，也就是說，物體內(nèi)各點的位移全部由自己的大小和形狀的變化引起的，則物體內(nèi)各自的全部由自己的大小和形狀的變化引起的，則物體內(nèi)各自的轉(zhuǎn)角是極其微小的。因此在討論一個問題時，可以利用物轉(zhuǎn)角是極其微小的。因此在討論一個問題時，可以利用物體在各個平面上的投影來代替它們的實際長度，這樣就可體在各個平面上的投影來代替它們的實際長度，這樣就可以使問題簡化。以使問題簡化。2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量利用利用mama，mbmb表示表示MAMA，MBMB在在OxyOxy平面上的投影平面上的投影。用。用u u（x x，y y，z z），），v v（x x，y y，z z）表示表示MM點的位移矢量分

23、點的位移矢量分別在別在OxOx和和OyOy軸上的分軸上的分量，則量，則A A點和點和B B點的相點的相應位移分別為：應位移分別為：2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量),(),(),(),(zdyyxvzdyyxuzydxxvzydxxu2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量按照多元函數(shù)泰勒級數(shù)按照多元函數(shù)泰勒級數(shù)展開，略去二階以上的展開，略去二階以上的無窮小量，則無窮小量，則A A點和點和B B點點的位移矢量在的位移矢量在OxOx和和OyOy軸軸上的分量可以表示為：上的分量可以表示為：dyyvvdyyuudxxvvdxxuu,ma在在Ox軸上的投影軸上的投影ma 為為：dxxudxud

24、xxuudxam 2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量這樣我們就能得到沿這樣我們就能得到沿Ox軸的應變分量為：軸的應變分量為：xudxdxdxxudxdxdxamx 同理：同理：zwyvzy,這樣我們就得到了物體內(nèi)任一點這樣我們就得到了物體內(nèi)任一點M分別與分別與3個坐標軸平行的個坐標軸平行的微分線段的伸長率微分線段的伸長率正應變正應變當正應變分量大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。當正應變分量大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。剪應變分量：剪應變分量：2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量yxxyxyamb22.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量xuxvdxxudxvdxxvvam

25、aayxyx1tan 因為小變形下因為小變形下 與與1相比是一小量，可以忽略，于是有：相比是一小量，可以忽略，于是有：xu /,yxxyvuxy這樣就得到剪應變分量：這樣就得到剪應變分量： ，同理可以得到余，同理可以得到余下的兩個剪應變分量：下的兩個剪應變分量：yuxvxyzvywxwzuyzxz,這樣就得到這樣就得到6 6個關系式：個關系式：2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量strain-displacement relations.strain-displacement relations.（幾何方程又稱柯西方程）（幾何方程又稱柯西方程）將上式的右側(cè)一列的將上式的右側(cè)一列的3 3個式

26、子兩邊同除以個式子兩邊同除以2 2，并令，并令xyxyxzxzyzyz21,21,21)(21,ijjijiuuo 位移與應變的關系應變應變位移位移剛體剛體位移位移位移位移剛體剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動oiiijjijjuudxw dx2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量zxyzxyzyxzxyzxyzyx應力分量的矩陣表示稱為應力列陣或應力向量。 彈性體在載荷作用下，將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動和形狀的改變。彈性體內(nèi)任一點的位移可由沿直角坐標軸方向的3個位移分量 來表示。它的矩陣形式是：稱作位移列陣或位移向量。U,o應力和應變的關系應力和應變的關系 廣義胡可定律廣義胡可定律應力和應變關系的一般

27、表達式：應力和應變關系的一般表達式：2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量這里的函數(shù)這里的函數(shù)f取決于材料本身的物理特性，這里我們不去取決于材料本身的物理特性，這里我們不去研究如何確立最一般情況下的應力與應變關系，僅僅考慮研究如何確立最一般情況下的應力與應變關系，僅僅考慮彈性體小變形的情況彈性體小變形的情況其中其中E E為彈性模量，為彈性模量，G G為剪切模量，為剪切模量， 為為PoissionPoission比。比。xyxyyxzzxzxzzxyyyzyzzyxxEEEEEE)1 (2),(1)1 (2),(1)1 (2),(1廣義胡克定律可以寫成以下形式：廣義胡克定律可以寫成以下形式：2

28、.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量E E稱為稱為彈性模量彈性模量，反映材料對于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。，反映材料對于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。 是是泊松系數(shù)泊松系數(shù)，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。)1 (2EGo 基本方程基本方程 受外部作用的任意形狀變形體，在其微小體元受外部作用的任意形狀變形體，在其微小體元d dx xd dy yd dz z中中，基于位移、應變和應力這三大類變量，可以建立以下三基于位移、應變和應力這三大類變量，可以建立以下三大類方程大類方程 平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關系平衡方程：外力和內(nèi)力

29、之間的平衡關系 幾何方程：描述的是位移和應變之間關系幾何方程：描述的是位移和應變之間關系 物理方程：應力和應變之間的關系物理方程：應力和應變之間的關系2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量2.3 彈性力學基本變量彈性力學基本變量o 平衡方程平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關系：外力和內(nèi)力之間的平衡關系o 幾何方程幾何方程：描述的是位移和應變之間關系：描述的是位移和應變之間關系o 物理方程物理方程：應力和應變之間的關系：應力和應變之間的關系o 邊界條件邊界條件：o 三大類方程三大類方程 力平衡方程力平衡方程 幾何形變方程幾何形變方程 材料的物理方程材料的物理方程o 邊界條件邊界條件 位移方面位移

30、方面 外力方面外力方面2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 （1 1）三大類方程之一）三大類方程之一 力平衡方程力平衡方程2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 o各個側(cè)面的應力表達應該注意以下幾點：各個側(cè)面的應力表達應該注意以下幾點：有有4 4個側(cè)面；個側(cè)面；應力分解為所在平面的法線方向和切線方向向量，前應力分解為所在平面的法線方向和切線方向向量，前者稱為正應力，后者稱為剪應力；者稱為正應力，后者稱為剪應力；應力在經(jīng)過應力在經(jīng)過dxdx或或dydy變化后的位置上有增量表達；變化后的位置上有增量表達；約定：正應力沿發(fā)現(xiàn)方向為正，剪應力方向如圖；約定

31、：正應力沿發(fā)現(xiàn)方向為正，剪應力方向如圖；應力在應力在dxdx，dydy平面上均勻分布。平面上均勻分布。2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 o 增量的計算（由增量的計算（由TaylorTaylor級數(shù)展開）級數(shù)展開）2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 約去二階以上微量約去二階以上微量注：注：bc_tbc_t表示表示bcbc邊與厚度邊與厚度t t組成的面組成的面o微單元體的幾個平衡關系微單元體的幾個平衡關系我們要考慮以下幾個平衡關系：我們要考慮以下幾個平衡關系：沿沿x方向所有合力平衡方向所有合力平衡沿沿y方向所有合力平衡方向所有合力平衡所有合力關

32、于任一點的力矩平衡所有合力關于任一點的力矩平衡分別記為：分別記為：2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 oyxMFF,o x x方向合力的平衡方程方向合力的平衡方程2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 簡化后簡化后o 沿沿y y方向合力的平衡方程方向合力的平衡方程同理可得，沿同理可得，沿y y方向合力方向合力可得：可得：o 沿沿中心點中心點o o的力矩的力矩平衡方程平衡方程可得：可得：2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 0yF0oM在略去高階次項后，我們得到：在略去高階次項后，我們得到：這就是前面講到的剪應力互等定律，以

33、后可以不加區(qū)分，這就是前面講到的剪應力互等定律，以后可以不加區(qū)分，但要注意剪應力的方向。但要注意剪應力的方向。這樣，我們就得到了力平衡方程的表達形式：這樣，我們就得到了力平衡方程的表達形式：2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 yxxy（2 2）三大類方程之一）三大類方程之一 幾何變形方程幾何變形方程2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 o從以下幾個方面來描述位移的變化量從以下幾個方面來描述位移的變化量定義定義x x方向的伸長量方向的伸長量定義定義y y方向的伸長量方向的伸長量定義夾角的變化定義夾角的變化2.4 平面平面( (2D) )問題的基本

34、方程問題的基本方程 （3 3）三大類方程之一）三大類方程之一 材料的物理方程材料的物理方程由廣義由廣義HookeHooke定理，二維平面應力情況下的物理方程：定理，二維平面應力情況下的物理方程：2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 逆形式逆形式其中其中 和和 為指定的沿為指定的沿x x方向和方向和y y方向的位移，方向的位移， 為給為給定的位移邊界。定的位移邊界。o邊界條件（位移邊界條件、力的邊界條件）邊界條件（位移邊界條件、力的邊界條件）位移邊界條件位移邊界條件平面問題中有關平面問題中有關x x方向和方向和y y方向方向位移的邊界條件：位移的邊界條件： 2.4 平面平

35、面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 uvuS力的邊界條件力的邊界條件在力的邊界取微元體在力的邊界取微元體dxdydxdy2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 由微體由微體x x方向的平衡，有：方向的平衡，有：將上式簡化得到：將上式簡化得到：其中：其中：將微體的三個平衡方程匯總：將微體的三個平衡方程匯總：其中其中S Sp p為給定的力邊界為給定的力邊界2.4 平面平面( (2D) )問題的基本方程問題的基本方程 o 將將2D2D問題的基本方程擴展至問題的基本方程擴展至3D3D問題問題2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o X方向負面o

36、 X方向正面o Y方向負面o Y方向正面o Z方向負面o Z方向正面+d+d+dyxxxzxxxyxzxxxxxxxdddxyyyzyxyyyzyyyyyyyzz+d+d+dzyzxzzxyzzzzzzzz2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 平衡方程平衡方程o X方向力平衡o 化簡得xzxzz+d -d dd -d d +d -d d+d d d0 xyxxxxxyxyxxxxy zyx zzx yxyzfx y zz+0zxyxxxxfxy2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o Y方向力平衡o 化簡得d -d d+d -d d +d -d

37、dz+d d d0yxyyyzyxyxyyyyzyzyxy zyx zzx yxyfx y zy+0zyxyyzyfxy2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o Z方向力平衡o 化簡得zzzzz+d -d d +d -d d+d -d dz+d d d0zyxzxxzyzyzxzxy zyx zzx yxyfx y zz0zyzxzzfxyz2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o 如果這六個量在某點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應力和剪應力，因此，這六個量可以完全確定該點的應力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應力分量。o 一般說來，彈性體內(nèi)

38、各點的應力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應力狀態(tài)的上述六個應力分量并不是常量，而是坐標x、y、z的函數(shù)。o 六個應力分量的總體，可以用一個列矩陣來表示： zzzxy=xxyyyzx2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 xyzyxzzxyuvwxzyvuwyzxwuvzyx幾何方程幾何方程vudxdyA AB BC CD Ddxxuudxxvvdyyuudyyvv ABCDDBx xy y0 0圖 1-5工程應變2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o 寫成矩陣形式為000000 xyzyzxzxyxyuzvwzyzxyx B2.5 空間空間(

39、(3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o 幾何方程可見，當彈性體的幾何方程可見，當彈性體的位移分量完全確定時，應變位移分量完全確定時，應變分量是完全確定的。反過來，分量是完全確定的。反過來，當應變分量完全確定時，位當應變分量完全確定時，位移分量卻不完全確定；這是移分量卻不完全確定；這是因為，具有確定形狀的物體，因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移?？赡馨l(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點，試命：為了說明這一點，試命： 0Bxyzyxzzxyuvwxzyvuwyzxwuvzyxxywwzxvvyzuuyxxzzy000式中的u0, v0, w0, x, y, z是積分常數(shù)。2.5

40、空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 r rx xy yo oz zx xy yP Pxzyz圖 1-6u0彈性體沿x方向的剛體移動v0 彈性體沿y方向的剛體移動 w0 彈性體沿z方向的剛體移動x 彈性體繞x軸的剛體轉(zhuǎn)動y 彈性體繞y軸的剛體轉(zhuǎn)動z 彈性體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當?shù)募s束條件來確定這六個剛體位移。2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o 變形協(xié)調(diào)條件222222222222222222222xyyyzxyxxxzyzyyyzxyxzzyzxyxzxxzzzx yy zxxyzyxy zx zyxyzzyx z

41、x yzxyzzx 當6個應變分量滿足以上應變協(xié)調(diào)方程時，就能保證得到單值連續(xù)的位移函數(shù)。2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 當沿當沿x x軸方向的兩個對面受有均勻分布的正軸方向的兩個對面受有均勻分布的正應力時，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件應力時，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應力不會引起角度的任何改變，而下，正應力不會引起角度的任何改變，而其在其在x x方向的單位伸長則可表以方程方向的單位伸長則可表以方程 彈性體在彈性體在x x方向的伸長還伴隨有側(cè)向收縮，方向的伸長還伴隨有側(cè)向收縮，即在即在y y和和z z方向的單位縮短可表示為：方向的單位縮短可表示為：方程既可

42、用于簡單拉伸，也可用于簡單壓方程既可用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈性模量和波桑系數(shù)相同。性模量和波桑系數(shù)相同。 z zy yx x0 0 xxyyzz應力分量與應變分量之間的關系-Hooke定律 ExxEExzxy，物理方程物理方程2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 設圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應力，則合設圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應力，則合成應變的分量可用前面兩式求得。實驗證明，只須將三個成應變的分量可用前面兩式求得。實驗證明，只須將三個應力中的每一應力所引起的應變分量疊加

43、，就得到合成應應力中的每一應力所引起的應變分量疊加，就得到合成應變的分量。變的分量。單位伸長與應力之間的關系完全由兩個物理常數(shù)單位伸長與應力之間的關系完全由兩個物理常數(shù)E E及及 所確所確定。兩個常數(shù)也可用來確定剪應力與剪應變之間的關系。定。兩個常數(shù)也可用來確定剪應力與剪應變之間的關系。)(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE 在線彈性范圍內(nèi),小 變形條件下, 各向同性材料。2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 如果彈性體的各面有剪應力作用任何兩坐標軸的夾角的改變僅與平行如果彈性體的各面有剪應力作用任何兩坐標軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應力分量有關，即得到

44、：于這兩軸的剪應力分量有關，即得到： zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(1zxzxyzyzxyxyGGG111， )1 (2EG正應變與剪應變是各自獨立的。因此，正應變與剪應變是各自獨立的。因此，由三個正應力分量與三個剪應力分量引由三個正應力分量與三個剪應力分量引起的一般情形的應變，可用疊加法求得；起的一般情形的應變，可用疊加法求得；即將六個關系式寫在一起，得彈性方程即將六個關系式寫在一起，得彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應力應變或物理方程，這種空間狀態(tài)的應力應變關系稱為廣義關系稱為廣義Hooke定律。定律。2.5 空間空間( (3D) )問

45、題的基本方程問題的基本方程 )1 (221000000)1 (221000000)1 (221000000111000111000111)21)(1 ()1 (zxyzxyzyxzxyzxyzyxE寫成矩陣形式為D2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 邊界條件邊界條件xyxzxNxyyzyNxzyzzNlmnXlmnYlmnZX XN N, ,Y YN N, ,Z ZN N分別為作用在某一任意分別為作用在某一任意平面上的沿三個坐標軸方向的分平面上的沿三個坐標軸方向的分量。對于已知應力邊界條件的情量。對于已知應力邊界條件的情況，相應的應力邊界條件為況，相應的應力邊界條件為

46、 xyxzxxxyyzyyxzyzzzlmnqlmnqlmnqnznmynlxn,cos,cos,cos2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 o2D2D問題：問題： 2 2個位移分量，個位移分量，3 3個應力分量，個應力分量，3 3個應變分量個應變分量 2 2個平衡方程，個平衡方程，3 3個幾何方程，個幾何方程，3 3個物理方程個物理方程o3D3D問題：問題： 3 3個位移分量，個位移分量，6 6個應力分量，個應力分量，6 6個應變分量個應變分量 3 3個平衡方程，個平衡方程，6 6個幾何方程，個幾何方程，6 6個物理方程個物理方程 我們得到的變量和方程都是從任意變形體

47、中所取出來的微單元體我們得到的變量和方程都是從任意變形體中所取出來的微單元體來建立的，因此無論對象的幾何形狀和邊界條件如何不同，其基來建立的，因此無論對象的幾何形狀和邊界條件如何不同，其基本變量和基本方程是完全相同，不同之處在于邊界條件，所以求本變量和基本方程是完全相同，不同之處在于邊界條件，所以求解的難度是如何處理邊界條件（幾何形狀）。解的難度是如何處理邊界條件（幾何形狀）。2.5 空間空間( (3D) )問題的基本方程問題的基本方程 2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o能量分類能量分類彈性問題中的自然能量分為兩類：彈性問題中的自然能量分為兩類：1 1）外力功外力功：施加外力在

48、可能：施加外力在可能位移位移上所作的功上所作的功( (即外力在即外力在彈性變形過程中所做的功彈性變形過程中所做的功) )。2 2）應變能應變能：變形體由于：變形體由于變形變形而存儲的能量而存儲的能量( (即由于變形即由于變形而儲存于彈性體內(nèi)的能量而儲存于彈性體內(nèi)的能量) )。 應變能，以位移為基本變量表達。應變能，以位移為基本變量表達。 應變余能，以應力為基本變量表達。應變余能，以應力為基本變量表達。除此之外，還有出于研究的需要，定義一下由自然能除此之外，還有出于研究的需要，定義一下由自然能量所組合的物理量，如是勢能、余能等。量所組合的物理量，如是勢能、余能等。o 外力功（外力功（work b

49、y forcework by force） 施加外力在可能位移上所作的功，外力有兩種，包括施加外力在可能位移上所作的功，外力有兩種，包括作用在物體上的面力和體力，這些力被假設為與變形作用在物體上的面力和體力，這些力被假設為與變形無關的不變力系（保守力），則外力功包括這兩部分無關的不變力系（保守力），則外力功包括這兩部分力在可能位移上所作的功。力在可能位移上所作的功。2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o外力功分為兩個部分外力功分為兩個部分Part1Part1：在力的邊界條件上，由外力（面力）：在力的邊界條件上，由外力（面力） 在對應的位在對應的位移移u ui i上所做的功（在上所做

50、的功（在SpSp上）上）Part2Part2：在問題內(nèi)部，由體積力：在問題內(nèi)部，由體積力 在對應位移在對應位移u ui i上所做的功上所做的功（在（在 內(nèi)部）內(nèi)部）2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示ipibo 應變能應變能 以位移（或應變）為基本變量所表達的變形能叫做應變以位移（或應變）為基本變量所表達的變形能叫做應變能（能（strain energystrain energy）。）。3D3D情形下變形體的應力與應變的情形下變形體的應力與應變的對應關系為：對應關系為： 它也包括兩部分：它也包括兩部分： 1 1）對應于正應力與正應變的應變能）對應于正應力與正應變的應變能 2 2）對

51、應于剪應力和剪應變的應變能）對應于剪應力和剪應變的應變能2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o 對應于正應力與正應變的應變能對應于正應力與正應變的應變能如圖，在如圖，在xoyxoy平面內(nèi)考察由于主應變和主應力的作用所產(chǎn)平面內(nèi)考察由于主應變和主應力的作用所產(chǎn)生應變能。生應變能。2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示假設微小體元假設微小體元d d =dxdydz=dxdydz上只有上只有 xxxx與與 xxxx，這時微體的厚，這時微體的厚度為度為dzdz，則由圖中力與位移的關系，即，則由圖中力與位移的關系，即F F u u曲線（可由試曲線（可由試驗所的），可以求得微體上的應變

52、能為：驗所的），可以求得微體上的應變能為：則在整個體積上，應變能為：則在整個體積上，應變能為：在另外兩個方向上的主應力和主應變（在另外兩個方向上的主應力和主應變（ yyyy與與 yyyy， zzzz與與 zzzz）所產(chǎn)生的應變能與上面的計算公式類似。）所產(chǎn)生的應變能與上面的計算公式類似。2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o對應于剪應力和剪應變的應變能對應于剪應力和剪應變的應變能先考察一對剪應力與剪應變，如圖所示，假設在微小體先考察一對剪應力與剪應變，如圖所示，假設在微小體元元dxdydzdxdydz上只做用有上只做用有 xyxy與與 xyxy，這時微體的厚度為，這時微體的厚度為d

53、zdz，由于，由于 xyxy是剪應力對，即為是剪應力對，即為 xyxy與與 yx yx ，將其分解為兩組情況分別計，將其分解為兩組情況分別計算變形能。算變形能。2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示由于由于 xyxy與與 xyxy的作用，在微體上產(chǎn)生的應變能為：的作用，在微體上產(chǎn)生的應變能為：在整個物體在整個物體 上，上， xyxy與與 xyxy產(chǎn)生的應變能為：產(chǎn)生的應變能為： yzyz與與 yzyz，與，與 zxzx與與 zxzx所產(chǎn)生的應變能與上面的計算公式類似所產(chǎn)生的應變能與上面的計算公式類似2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o整體應變能整體應變能由疊加原理，將各

54、個方向的正應力與正應變、剪應力與由疊加原理，將各個方向的正應力與正應變、剪應力與剪應變所產(chǎn)生的應變能相加，可得到整體應變能：剪應變所產(chǎn)生的應變能相加，可得到整體應變能：若用指標形式來寫成變形體的應變能，則有：若用指標形式來寫成變形體的應變能，則有：2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o 系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能對于受外力作用的變形體，基于它的外力功和應變能的對于受外力作用的變形體，基于它的外力功和應變能的表達，定義系統(tǒng)的勢能表達，定義系統(tǒng)的勢能(potential energy)(potential energy)為：為：2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示o 舉例說明舉例

55、說明一個左端固定的拉桿在其右端承受一個外力一個左端固定的拉桿在其右端承受一個外力P P，該拉桿，該拉桿的長度為的長度為l l，截面積為，截面積為A A，彈性模量為，彈性模量為E E，如圖所示：，如圖所示：2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示2.6 彈性問題中的能量表示彈性問題中的能量表示應變能：應變能：外力功：外力功：勢能：勢能：在實際的問題中，經(jīng)常有一些比較典型的情在實際的問題中，經(jīng)常有一些比較典型的情況，需要有針對性地進行處理，如厚度較薄的況，需要有針對性地進行處理，如厚度較薄的平面問題、厚度較厚的等截面平面應變問題、平面問題、厚度較厚的等截面平面應變問題、物體的剛體移動、物體

56、形變后的體積變化等物體的剛體移動、物體形變后的體積變化等2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論o 平面應力平面應力假設有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在假設有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在oxyoxy平面，平面，且不隨且不隨z z變化，這種狀況叫做平面應力（變化，這種狀況叫做平面應力（plane stressplane stress）。在）。在薄板的內(nèi)外表面上，所有沿薄板的內(nèi)外表面上，所有沿z z方向應力為零，即方向應力為零，即2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論 由于板很薄，可近似認為在整個由于板很薄，可近似認為在整個板內(nèi)部處處有：板內(nèi)部處處有：由上述可知，該問題下所有力

57、學變量都是由上述可知，該問題下所有力學變量都是x x、y y的函數(shù)，的函數(shù)，不隨不隨z z變化，由物理方程可知：變化，由物理方程可知：則對原則對原3D3D問題進行簡化，有基本變量為：問題進行簡化，有基本變量為：位移：位移：u u，v v應力：應力： x x， x x ， xyxy應變：應變： x x， y y ， xyxy2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論由于由于 zzzz=0=0，則相應的，則相應的3D3D問題物理方程中的一個方程：問題物理方程中的一個方程：2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論平衡方程平衡方程2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論幾何方程幾何方程物理方

58、程物理方程2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論邊界條件邊界條件o 平面應變平面應變假設有一無限長等截面柱形體，所承受外載不隨假設有一無限長等截面柱形體，所承受外載不隨z z變化變化，如圖所示，這種狀況叫做平面應變（，如圖所示，這種狀況叫做平面應變（plane strainplane strain）。由于）。由于任意一橫截面都為對稱面，則有沿任意一橫截面都為對稱面，則有沿z z方向的位移和應變?yōu)榱惴较虻奈灰坪蛻優(yōu)榱恪t有：則有：由物理方程可知，所對應的由物理方程可知，所對應的2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論在此情況下，所有的變量均是在此情況下，所有的變量均是x x，y y的

59、函數(shù)，不隨的函數(shù)，不隨z z變化，變化，其基本變量為：其基本變量為：位移：位移：u u，v v應力：應力： x x， y y ， xyxy應變：應變： x x， y y， xyxy由于由于w w=0=0，則，則 z z=0=0，相應的，相應的3D3D物理方程中的一個方程變物理方程中的一個方程變?yōu)椋簽椋?.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論平衡方程平衡方程2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論幾何方程幾何方程物理方程物理方程2.7 幾種特殊問題的討論幾種特殊問題的討論邊界條件邊界條件由兩種平面問題的比較可以知道，除了物理方程以外，其他方程相同。由兩種平面問題的比較可以知道，除了物理方程以外，其他方程相同。o 變形體的構形變形體的構形所謂構形（所謂構形（configurationconfiguration），是指由坐標系所描述的），是指由坐標系所描述的病形體的幾何形貌。變形前的幾何形貌叫做初始構形病形體的幾何形貌。變形前的幾何形貌叫做初始構形（initial configurationinitial configuration），而變形后的幾何形貌叫做當前），而變形后的幾何形貌叫做當前構形（構形（present con