圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案（精編版）

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)精心整理一、教材分析學(xué)習(xí)了“曲線與方程”之后，作為一般曲線典型例子，安排 了本節(jié)的“圓的方程” 。圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)圓的有關(guān)知識(shí)，本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識(shí)及前幾節(jié)內(nèi)容的 基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用解析法研究它的方程，它與其他圖形的位置 關(guān)系及其應(yīng)用 王新敞 同時(shí)，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ)王新敞 也就是說(shuō)，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實(shí)際問(wèn)題中也有著廣泛的應(yīng)用。二、學(xué)情分析學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中已初步了解了圓的有關(guān)知識(shí)，本節(jié)將在 上章學(xué)習(xí)了曲線與方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)在平面

2、直角坐標(biāo)系中建立 圓的代數(shù)方程，運(yùn)用代數(shù)方法研究直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系， 了解空間直角坐標(biāo)系， 在這個(gè)過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想， 形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力。三、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能目標(biāo)（1） 會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2） 能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑。（3） 掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)， 能根據(jù)所給有關(guān)圓心、 半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。( 二) 過(guò)程與方法目標(biāo)精心整理精心整理（1） 體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，初步形成代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題能力。（2） 能根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(三)情感與態(tài)度目標(biāo)圓是基于初中的知識(shí)，同時(shí)又是初中的知識(shí)的加深，

3、使學(xué)生懂得知識(shí)的連續(xù)性；圓在生活中很常見(jiàn)，通過(guò)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，說(shuō)明理論既來(lái)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，可以適時(shí)進(jìn)行辯證唯物主義思想教育四、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法1、重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程和圓標(biāo)準(zhǔn)方程特征的理解與掌握。2、難點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。3、解決辦法：充分利用課本提供的2 個(gè)例題，通過(guò)例題的解決使學(xué)生初步熟悉圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的用途和用法。五、教學(xué)過(guò)程首先通過(guò)課件展示生活中的圓，那么我們今天從另一個(gè)角度來(lái)研究圓。(一)復(fù)習(xí)提問(wèn)在初中，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來(lái)回答？ 問(wèn)題 1：具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱為圓？平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱為圓(教師在課件上畫(huà)圓)精心整理問(wèn)題

4、2：圖哪個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)？動(dòng)點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？圓心 C 是定點(diǎn)，圓周上的點(diǎn) M 是動(dòng)點(diǎn)，它們到圓心距離等于定長(zhǎng)|MC|=r ，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小問(wèn)題 3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為：(1) 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點(diǎn) M 的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱建系設(shè)點(diǎn)；（如圖）(2) 寫(xiě)出適合條件 P 的點(diǎn) M 的集合 P=M|P(M)| ，簡(jiǎn)稱寫(xiě)點(diǎn)集 ； (3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程 f(x，y)=0，簡(jiǎn)稱列方程； (4)化方程f(x，y)=0 為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱化簡(jiǎn)方程；(5)證

5、明化簡(jiǎn)后的方程就是所求曲線的方程，簡(jiǎn)稱證明其中步驟 (1)(3)(4)必不可少下面我們用求曲線方程的一般步驟來(lái)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(二)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1建系設(shè)點(diǎn)由學(xué)生在黑板上板演，并問(wèn)有無(wú)不同建立坐標(biāo)系的方法教師指出：這兩種建立坐標(biāo)系的方法都對(duì)，原點(diǎn)在圓心這是特殊情況， 現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo)因?yàn)镃 是定點(diǎn)，可設(shè) C(a，b)、半徑 r， 且設(shè)圓上任一點(diǎn)M 坐標(biāo)為 (x，y)2. 寫(xiě)點(diǎn)集根據(jù)定義，圓就是集合P=M|MC|=r3. 列方程由兩點(diǎn)間的距離公式得：4. 化簡(jiǎn)方程將上式兩邊平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圓心是 C(a，b)、半徑是 r 的圓的方程我們把它叫做

6、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這時(shí)，請(qǐng)大家思考下面一個(gè)問(wèn)題問(wèn)題 4：圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程是什么？這是二元二次方程，展開(kāi)后沒(méi)有xy 項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)變數(shù)x，y 的系數(shù)都是 1點(diǎn)(a，b)、r 分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑當(dāng)圓心在原點(diǎn)即 C(0，0)時(shí)，方程為 x2+y2=r2教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r 三個(gè)量確定了且r0，圓的方程就給定了這就是說(shuō)要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件注 意，確定 a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來(lái)解決(三)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用學(xué)生練習(xí)一 ：1 說(shuō)出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答 ) (1)(x-3)

7、2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y4)2=8；(3)(x+2)2+y2=m2（m0）教師指出：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑2、(1)圓心是（ 3，3），半徑是 2 的圓是 .（2）以（ 3，4）為圓心，且過(guò)點(diǎn)（ 0，0）的圓的方程為（） Ax 2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3) 2+(y-4) 2=25教師糾錯(cuò)，分別給出正確答案：2、(1)(x-3)2+(y3)2=4；（ 2）D.指出：要求能夠用圓心坐標(biāo)、 半徑長(zhǎng)熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例 1 求滿足下列條件各圓的方程：（1） 求以 C(1,3)為圓心，并且和直線y

8、C(1,3)3 x4 y70 相切的圓的方程r（2） 圓心在 x 軸上，半徑為 5 且過(guò)點(diǎn)（2，3）的圓。MO3x-4y-7=0x解：（1）已知圓心坐標(biāo)C(1,3)，故只要求出圓的半徑，就能寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 王新敞 因?yàn)閳AC 和直線 3x4 y70 相切，所以半徑 r 就等于圓心 C到這條直線的距離 王新敞 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是（2）設(shè)圓心在 x 軸上半徑為 5 的圓的方程為 (x-a)2+y2=25點(diǎn) A（2，3）在圓上 (2a)2+32=25a=-2 或 6所求圓的方程為 (x2)2+y2=25 或(x-6)2+y2=25這時(shí)，教師小結(jié)本題：求圓的方程的方法(1

9、) 定義法(2) 待定系數(shù)法，確定a，b，r；學(xué)生練習(xí)二：1、 以 C（3，-5）為圓心，且和直線 3x-7y+2=0 相切的圓的方程 .教師糾錯(cuò)，分別給出正確答案：(x3)2+(y+5) 2=32。例 2 已知圓的方程 x 2y2點(diǎn)M ( x0 , y0 ) 的切線方程 王新敞r 2 ，求經(jīng)過(guò)圓上y一M解：如圖，設(shè)切線的斜率為k ，半徑 OM的斜rOx率為k1 王新敞 因?yàn)閳A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，于是k1k1 k1王新敞y0kx0王新敞 ( 讓學(xué)生注意斜率不存在時(shí)和為0 的情況)x0y0經(jīng)過(guò)點(diǎn) M的切線方程是 yy0x0 ( x y0x0 ) ，整理得x0 xy0 yx0y0王新敞22因

10、為點(diǎn)M ( x0 , y0 ) 在圓上，所以 x0y0r 2 ，所求切線方程是x0 xy0 yr222法二：勾股定理法三：向量變式一：已知圓的方程為x2+y2=1，求過(guò)點(diǎn) (2,2)的切線方程。變式二：已知圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1，求過(guò)點(diǎn) (2,2)的切線方程。學(xué)生練習(xí)三：1. 已知圓x 2y 225 王新敞 求：（1） 過(guò)點(diǎn) A（4，-3 ）的切線方程是 .（2） 過(guò)點(diǎn) B（-5 ，2）的切線方程 王新敞 是 教 師 糾 錯(cuò)， 分別 給出 正確 答 案 ： (1)4x-3y=25； (2)x=-5或21x-20y+145=0(四)本課小結(jié) 1圓的方程的推導(dǎo)步驟；2. 圓的方程

11、的特點(diǎn)：點(diǎn) (a，b)、r 分別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑；3. 求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法； (2)定義法4. 數(shù)型結(jié)合的數(shù)學(xué)思想5. 過(guò)定點(diǎn)求圓切線方程 .（五）、布置作業(yè)習(xí)題7.61，2，3（六）、板書(shū)設(shè)計(jì)7.6 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、 建 立 圓 的 標(biāo)準(zhǔn)方程1、圓 的 方 程 的推導(dǎo)(x-a)2+(y-b)2=r22、圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方程的特點(diǎn) :圓心（ a,b）定位， r 定型六、教學(xué)反思：二圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例 1例 2學(xué)生練習(xí)為了激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，教學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和學(xué)會(huì)創(chuàng)造，同 時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”教學(xué)模式 進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì) 王新敞 所謂“引導(dǎo)探究”

12、是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)為若干問(wèn)題，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究的課堂教學(xué)模式，教師在教學(xué)過(guò)程中， 主要著眼于“引” ，啟發(fā)學(xué)生“探” ，把“引”和“探”有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。教師的每項(xiàng)教學(xué)措施，都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情景， 一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口并主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生的求知 欲，促使學(xué)生解決問(wèn)題 王新敞 其基本教學(xué)模式是：復(fù)習(xí)提出例題反饋點(diǎn)評(píng)舊知問(wèn)題示范練習(xí)矯正以舊嘗試探求學(xué)會(huì)總結(jié)悟新探究方法應(yīng)用交流圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案（學(xué)生用）課堂練習(xí)1、說(shuō)出下列圓的圓心和半徑：(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圓心 ,半徑 . (2)(2x+4)2+(2y4)2=8；圓心 ,半徑 . (3)(x+2)2+y2=m2

13、（m0）圓心 ,半徑 .2、(1)圓心是（ 3，4），半徑是 2 的圓是 .（2）以（ 3，4）為圓心，且過(guò)點(diǎn)（ 0，0）的圓的方程為（） Ax 2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3) 2+(y-4) 2=253. 以 C（3，-5）為圓心，且和直線3x-7y+2=0相切的圓的方程 .4. 已知圓x 2y 225 王新敞求：（1） 過(guò)點(diǎn) A（4，-3 ）的切線方程是 .（2） 過(guò)點(diǎn) B（-5 ，2）的切線方程 王新敞是 考題在線（思考題）1、（2007 湖南理）圓心為 (1，1) 且與直線 xy4 相切的圓的方程是2、（2006 杭州期末）求與直線y=x相

14、切，圓心在直線y=3x上， 且過(guò)點(diǎn)（ 22 ， 22 ）的圓。3、（2007湖北文）由直線yx則切線長(zhǎng)的最小值為（）1 上的一點(diǎn)向圓 ( x3) 2y21 引切線，A 1B 22C 7D 34、已知點(diǎn)M ( x0, y0) 在圓 x2y 2r 2 內(nèi)，則x0 xy0 yr 2 與圓 x 2y 2r 2 的位置關(guān)系是 .圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（課堂實(shí)錄） 成都市洛帶中學(xué) ?劉德軍師：讓我們來(lái)看一下生活中常見(jiàn)的一些事物（通過(guò)課件展示生活中的圓），這些都是什么圖形？生：圓。師：對(duì)，遠(yuǎn)在我們生活中很常見(jiàn)，也代表著很美的東西，完美無(wú)缺，十全十美，都是指的圓，圓是很美的曲線，那么我們今天從另一個(gè)角度來(lái)研究圓。(一)

15、復(fù)習(xí)提問(wèn)師：在初中，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來(lái)回答？ 生：平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱為圓.師：這是高中的概念。 （教師在課件上畫(huà)圓 )改變半徑大小，和圓心的位置，圓發(fā)生了變化，這說(shuō)明了什么？生：半徑?jīng)Q定大小，圓心決定位置。師：對(duì)：圖哪個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)？動(dòng)點(diǎn)具有什么性質(zhì)？ 圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？生：圓心 C 是定點(diǎn)， 圓周上的點(diǎn) M 是動(dòng)點(diǎn)， 它們到圓心距離等于定長(zhǎng)|MC|=r ，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小。師：求曲線的方程的一般步驟是什么？ 其中哪幾個(gè)步驟必不可少？生:求曲線方程的一般步驟為：(1) 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x，y)表示曲線上任意點(diǎn)

16、 M 的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱建系設(shè)點(diǎn)；（如圖）(2) 寫(xiě)出適合條件 P 的點(diǎn) M 的集合 P=M|P(M)| ，簡(jiǎn)稱寫(xiě)點(diǎn)集 ； (3)用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程 f(x，y)=0，簡(jiǎn)稱列方程； (4)化方程f(x，y)=0 為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱化簡(jiǎn)方程；(5)證明化簡(jiǎn)后的方程就是所求曲線的方程，簡(jiǎn)稱證明 其中步驟 (1)(3)(4)必不可少師：下面我們用求曲線方程的一般步驟來(lái)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（請(qǐng)一位同學(xué)板演）生：因?yàn)?C 是定點(diǎn)，可設(shè) C(a，b)、半徑 r，且設(shè)圓上任一點(diǎn)M坐標(biāo)為 (x，y)根據(jù)定義，圓就是集合P=M|MC|=r 由兩點(diǎn)間的距離公式得：將上式兩邊平方得： (x-a)2+(y-b)2=

17、r2(1)方程(1)就是圓心是 C(a，b)、半徑是 r 的圓的方程我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程師：非常好，有無(wú)不同建立坐標(biāo)系的方法生：有，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)。師：這兩種建立坐標(biāo)系的方法都對(duì)， 原點(diǎn)在圓心這是特殊情況， 我們主要研究一般情況請(qǐng)大家思考下面一個(gè)問(wèn)題圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程是什么？生：這是二元二次方程，展開(kāi)后沒(méi)有xy 項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)變數(shù)x，y 的系數(shù)都是 1點(diǎn)(a，b)、r 分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑當(dāng)圓心在原點(diǎn)即 C(0，0)時(shí)，方程為 x2+y2=r2師：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以， 只要 a，b，r 三個(gè)量確定了且r0，圓的方程就給定

18、了 這就是說(shuō)要確定圓的方程， 必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件 注意，確定 a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來(lái)解決那么下面來(lái)做一下練習(xí)。1 說(shuō)出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答 )(1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y4)2=8；(3)(x+2)2+y2=m2（m0）師：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑2、(1)圓心是（ 3，3），半徑是 2 的圓是 .（2）以（ 3，4）為圓心，且過(guò)點(diǎn)（ 0，0）的圓的方程為（） Ax 2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3) 2+(y-4) 2=25生： (1)(x-3)2+(y

19、3)2=4；（ 2）D.師：要求能夠用圓心坐標(biāo)、 半徑長(zhǎng)熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 那么我們?cè)賮?lái)看一下這一道題例 1 求滿足下列條件各圓的方程：（3） 求以 C(1,3)為圓心，并且和直線yC(1,3)3 x4 y70 相切的圓的方程r（4） 圓心在 x 軸上，半徑為 5 且過(guò)點(diǎn)（2，3）的圓。師：如果要求一個(gè)圓，你要找些生么？ 生：圓心和半徑。師：但是（ 2）中能不能直接找到圓心？生：不能。是：那用什么方法呢？ 生：待定系數(shù)法。師：非常好，下面同學(xué)們自己算一算。MO3x-4y-7=0x生（板演）：解：（1）已知圓心坐標(biāo) C(1,3)，故只要求出圓的半徑，就能寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程王新敞 因?yàn)閳A C和直線 3 x4 y70 相切，所以半徑 r 就等于圓心C 到這條直線的距離 王新敞 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是（2）設(shè)圓心在 x 軸上半徑為 5 的圓的方程為 (x-a)2+y2=25點(diǎn) A（2，3）在圓上 (2a)2+32=25a=-2 或 6所求圓的方程為 (x2)2+y2=25 或(x-6)2+y2=25師：求圓的方程的方法(1) 定義法(2) 待定系數(shù)法，要確定a，