圓的標準方程教案（精編版）

1、圓的標準方程教學(xué)設(shè)計精心整理一、教材分析學(xué)習了“曲線與方程”之后，作為一般曲線典型例子，安排 了本節(jié)的“圓的方程” 。圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中曾經(jīng)學(xué)習過圓的有關(guān)知識，本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的 基礎(chǔ)上，進一步運用解析法研究它的方程，它與其他圖形的位置 關(guān)系及其應(yīng)用 王新敞 同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習了圓的方程，就為后面學(xué)習其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ)王新敞 也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應(yīng)用。二、學(xué)情分析學(xué)生在初中的學(xué)習中已初步了解了圓的有關(guān)知識，本節(jié)將在 上章學(xué)習了曲線與方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習在平面

2、直角坐標系中建立 圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系， 了解空間直角坐標系， 在這個過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想， 形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力。三、教學(xué)目標(一)知識與技能目標（1） 會推導(dǎo)圓的標準方程。（2） 能運用圓的標準方程正確地求出其圓心和半徑。（3） 掌握圓的標準方程的特點， 能根據(jù)所給有關(guān)圓心、 半徑的具體條件準確地寫出圓的標準方程。( 二) 過程與方法目標精心整理精心整理（1） 體會數(shù)形結(jié)合思想，初步形成代數(shù)方法處理幾何問題能力。（2） 能根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求圓的標準方程。(三)情感與態(tài)度目標圓是基于初中的知識，同時又是初中的知識的加深，

3、使學(xué)生懂得知識的連續(xù)性；圓在生活中很常見，通過圓的標準方程，說明理論既來源于實踐，又服務(wù)于實踐，可以適時進行辯證唯物主義思想教育四、重點、難點、疑點及解決辦法1、重點：圓的標準方程的推導(dǎo)過程和圓標準方程特征的理解與掌握。2、難點：圓的標準方程的應(yīng)用。3、解決辦法：充分利用課本提供的2 個例題，通過例題的解決使學(xué)生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。五、教學(xué)過程首先通過課件展示生活中的圓，那么我們今天從另一個角度來研究圓。(一)復(fù)習提問在初中，大家學(xué)習了圓的概念，哪一位同學(xué)來回答？ 問題 1：具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓(教師在課件上畫圓)精心整理問題

4、2：圖哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？圓心 C 是定點，圓周上的點 M 是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r ，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小問題 3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為：(1) 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，?x，y)表示曲線上任意點 M 的坐標，簡稱建系設(shè)點；（如圖）(2) 寫出適合條件 P 的點 M 的集合 P=M|P(M)| ，簡稱寫點集 ； (3)用坐標表示條件P(M)，列出方程 f(x，y)=0，簡稱列方程； (4)化方程f(x，y)=0 為最簡形式，簡稱化簡方程；(5)證

5、明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明其中步驟 (1)(3)(4)必不可少下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標準方程(二)建立圓的標準方程1建系設(shè)點由學(xué)生在黑板上板演，并問有無不同建立坐標系的方法教師指出：這兩種建立坐標系的方法都對，原點在圓心這是特殊情況， 現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo)因為C 是定點，可設(shè) C(a，b)、半徑 r， 且設(shè)圓上任一點M 坐標為 (x，y)2. 寫點集根據(jù)定義，圓就是集合P=M|MC|=r3. 列方程由兩點間的距離公式得：4. 化簡方程將上式兩邊平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圓心是 C(a，b)、半徑是 r 的圓的方程我們把它叫做

6、圓的標準方程這時，請大家思考下面一個問題問題 4：圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時，圓的方程是什么？這是二元二次方程，展開后沒有xy 項，括號內(nèi)變數(shù)x，y 的系數(shù)都是 1點(a，b)、r 分別表示圓心的坐標和圓的半徑當圓心在原點即 C(0，0)時，方程為 x2+y2=r2教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r 三個量確定了且r0，圓的方程就給定了這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件注 意，確定 a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決(三)圓的標準方程的應(yīng)用學(xué)生練習一 ：1 說出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答 ) (1)(x-3)

7、2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y4)2=8；(3)(x+2)2+y2=m2（m0）教師指出：已知圓的標準方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑2、(1)圓心是（ 3，3），半徑是 2 的圓是 .（2）以（ 3，4）為圓心，且過點（ 0，0）的圓的方程為（） Ax 2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3) 2+(y-4) 2=25教師糾錯，分別給出正確答案：2、(1)(x-3)2+(y3)2=4；（ 2）D.指出：要求能夠用圓心坐標、 半徑長熟練地寫出圓的標準方程例 1 求滿足下列條件各圓的方程：（1） 求以 C(1,3)為圓心，并且和直線y

8、C(1,3)3 x4 y70 相切的圓的方程r（2） 圓心在 x 軸上，半徑為 5 且過點（2，3）的圓。MO3x-4y-7=0x解：（1）已知圓心坐標C(1,3)，故只要求出圓的半徑，就能寫出圓的標準方程 王新敞 因為圓C 和直線 3x4 y70 相切，所以半徑 r 就等于圓心 C到這條直線的距離 王新敞 根據(jù)點到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是（2）設(shè)圓心在 x 軸上半徑為 5 的圓的方程為 (x-a)2+y2=25點 A（2，3）在圓上 (2a)2+32=25a=-2 或 6所求圓的方程為 (x2)2+y2=25 或(x-6)2+y2=25這時，教師小結(jié)本題：求圓的方程的方法(1

9、) 定義法(2) 待定系數(shù)法，確定a，b，r；學(xué)生練習二：1、 以 C（3，-5）為圓心，且和直線 3x-7y+2=0 相切的圓的方程 .教師糾錯，分別給出正確答案：(x3)2+(y+5) 2=32。例 2 已知圓的方程 x 2y2點M ( x0 , y0 ) 的切線方程 王新敞r 2 ，求經(jīng)過圓上y一M解：如圖，設(shè)切線的斜率為k ，半徑 OM的斜rOx率為k1 王新敞 因為圓的切線垂直于過切點的半徑，于是k1k1 k1王新敞y0kx0王新敞 ( 讓學(xué)生注意斜率不存在時和為0 的情況)x0y0經(jīng)過點 M的切線方程是 yy0x0 ( x y0x0 ) ，整理得x0 xy0 yx0y0王新敞22因

10、為點M ( x0 , y0 ) 在圓上，所以 x0y0r 2 ，所求切線方程是x0 xy0 yr222法二：勾股定理法三：向量變式一：已知圓的方程為x2+y2=1，求過點 (2,2)的切線方程。變式二：已知圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1，求過點 (2,2)的切線方程。學(xué)生練習三：1. 已知圓x 2y 225 王新敞 求：（1） 過點 A（4，-3 ）的切線方程是 .（2） 過點 B（-5 ，2）的切線方程 王新敞 是 教 師 糾 錯， 分別 給出 正確 答 案 ： (1)4x-3y=25； (2)x=-5或21x-20y+145=0(四)本課小結(jié) 1圓的方程的推導(dǎo)步驟；2. 圓的方程

11、的特點：點 (a，b)、r 分別表示圓心坐標和圓的半徑；3. 求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法； (2)定義法4. 數(shù)型結(jié)合的數(shù)學(xué)思想5. 過定點求圓切線方程 .（五）、布置作業(yè)習題7.61，2，3（六）、板書設(shè)計7.6 圓的標準方程一、 建 立 圓 的 標準方程1、圓 的 方 程 的推導(dǎo)(x-a)2+(y-b)2=r22、圓 的 標 準 方程的特點 :圓心（ a,b）定位， r 定型六、教學(xué)反思：二圓 的標準方程的應(yīng)用例 1例 2學(xué)生練習為了激發(fā)學(xué)生的主體意識，教學(xué)生學(xué)會學(xué)習和學(xué)會創(chuàng)造，同 時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”教學(xué)模式 進行教學(xué)設(shè)計 王新敞 所謂“引導(dǎo)探究”

12、是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為若干問題，從而引導(dǎo)學(xué)生進行探究的課堂教學(xué)模式，教師在教學(xué)過程中， 主要著眼于“引” ，啟發(fā)學(xué)生“探” ，把“引”和“探”有機的結(jié)合起來。教師的每項教學(xué)措施，都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情景， 一種動腦、動手、動口并主動參與的學(xué)習機會，激發(fā)學(xué)生的求知 欲，促使學(xué)生解決問題 王新敞 其基本教學(xué)模式是：復(fù)習提出例題反饋點評舊知問題示范練習矯正以舊嘗試探求學(xué)會總結(jié)悟新探究方法應(yīng)用交流圓的標準方程學(xué)案（學(xué)生用）課堂練習1、說出下列圓的圓心和半徑：(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圓心 ,半徑 . (2)(2x+4)2+(2y4)2=8；圓心 ,半徑 . (3)(x+2)2+y2=m2

13、（m0）圓心 ,半徑 .2、(1)圓心是（ 3，4），半徑是 2 的圓是 .（2）以（ 3，4）為圓心，且過點（ 0，0）的圓的方程為（） Ax 2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3) 2+(y-4) 2=253. 以 C（3，-5）為圓心，且和直線3x-7y+2=0相切的圓的方程 .4. 已知圓x 2y 225 王新敞求：（1） 過點 A（4，-3 ）的切線方程是 .（2） 過點 B（-5 ，2）的切線方程 王新敞是 考題在線（思考題）1、（2007 湖南理）圓心為 (1，1) 且與直線 xy4 相切的圓的方程是2、（2006 杭州期末）求與直線y=x相

14、切，圓心在直線y=3x上， 且過點（ 22 ， 22 ）的圓。3、（2007湖北文）由直線yx則切線長的最小值為（）1 上的一點向圓 ( x3) 2y21 引切線，A 1B 22C 7D 34、已知點M ( x0, y0) 在圓 x2y 2r 2 內(nèi)，則x0 xy0 yr 2 與圓 x 2y 2r 2 的位置關(guān)系是 .圓的標準方程（課堂實錄） 成都市洛帶中學(xué) ?劉德軍師：讓我們來看一下生活中常見的一些事物（通過課件展示生活中的圓），這些都是什么圖形？生：圓。師：對，遠在我們生活中很常見，也代表著很美的東西，完美無缺，十全十美，都是指的圓，圓是很美的曲線，那么我們今天從另一個角度來研究圓。(一)

15、復(fù)習提問師：在初中，大家學(xué)習了圓的概念，哪一位同學(xué)來回答？ 生：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓.師：這是高中的概念。 （教師在課件上畫圓 )改變半徑大小，和圓心的位置，圓發(fā)生了變化，這說明了什么？生：半徑?jīng)Q定大小，圓心決定位置。師：對：圖哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？ 圓心和半徑都反映了圓的什么特點？生：圓心 C 是定點， 圓周上的點 M 是動點， 它們到圓心距離等于定長|MC|=r ，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小。師：求曲線的方程的一般步驟是什么？ 其中哪幾個步驟必不可少？生:求曲線方程的一般步驟為：(1) 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，?x，y)表示曲線上任意點

16、 M 的坐標，簡稱建系設(shè)點；（如圖）(2) 寫出適合條件 P 的點 M 的集合 P=M|P(M)| ，簡稱寫點集 ； (3)用坐標表示條件P(M)，列出方程 f(x，y)=0，簡稱列方程； (4)化方程f(x，y)=0 為最簡形式，簡稱化簡方程；(5)證明化簡后的方程就是所求曲線的方程，簡稱證明 其中步驟 (1)(3)(4)必不可少師：下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標準方程（請一位同學(xué)板演）生：因為 C 是定點，可設(shè) C(a，b)、半徑 r，且設(shè)圓上任一點M坐標為 (x，y)根據(jù)定義，圓就是集合P=M|MC|=r 由兩點間的距離公式得：將上式兩邊平方得： (x-a)2+(y-b)2=

17、r2(1)方程(1)就是圓心是 C(a，b)、半徑是 r 的圓的方程我們把它叫做圓的標準方程師：非常好，有無不同建立坐標系的方法生：有，圓心為坐標原點。師：這兩種建立坐標系的方法都對， 原點在圓心這是特殊情況， 我們主要研究一般情況請大家思考下面一個問題圓的方程形式有什么特點？當圓心在原點時，圓的方程是什么？生：這是二元二次方程，展開后沒有xy 項，括號內(nèi)變數(shù)x，y 的系數(shù)都是 1點(a，b)、r 分別表示圓心的坐標和圓的半徑當圓心在原點即 C(0，0)時，方程為 x2+y2=r2師：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以， 只要 a，b，r 三個量確定了且r0，圓的方程就給定

18、了 這就是說要確定圓的方程， 必須具備三個獨立的條件 注意，確定 a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決那么下面來做一下練習。1 說出下列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答 )(1)(x-3)2+(y-2)2=5； (2)(2x+4)2+(2y4)2=8；(3)(x+2)2+y2=m2（m0）師：已知圓的標準方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑2、(1)圓心是（ 3，3），半徑是 2 的圓是 .（2）以（ 3，4）為圓心，且過點（ 0，0）的圓的方程為（） Ax 2+y2=25Bx2+y2=5C(x+3)2+(y+4)2=25D(x-3) 2+(y-4) 2=25生： (1)(x-3)2+(y

19、3)2=4；（ 2）D.師：要求能夠用圓心坐標、 半徑長熟練地寫出圓的標準方程 那么我們再來看一下這一道題例 1 求滿足下列條件各圓的方程：（3） 求以 C(1,3)為圓心，并且和直線yC(1,3)3 x4 y70 相切的圓的方程r（4） 圓心在 x 軸上，半徑為 5 且過點（2，3）的圓。師：如果要求一個圓，你要找些生么？ 生：圓心和半徑。師：但是（ 2）中能不能直接找到圓心？生：不能。是：那用什么方法呢？ 生：待定系數(shù)法。師：非常好，下面同學(xué)們自己算一算。MO3x-4y-7=0x生（板演）：解：（1）已知圓心坐標 C(1,3)，故只要求出圓的半徑，就能寫出圓的標準方程王新敞 因為圓 C和直線 3 x4 y70 相切，所以半徑 r 就等于圓心C 到這條直線的距離 王新敞 根據(jù)點到直線的距離公式，得因此，所求的圓的方程是（2）設(shè)圓心在 x 軸上半徑為 5 的圓的方程為 (x-a)2+y2=25點 A（2，3）在圓上 (2a)2+32=25a=-2 或 6所求圓的方程為 (x2)2+y2=25 或(x-6)2+y2=25師：求圓的方程的方法(1) 定義法(2) 待定系數(shù)法，要確定a，