高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)培優(yōu)專(zhuān)練4

1、試卷第 =page 3 3頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)試卷第 =page 2 2頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)高中數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)培優(yōu)專(zhuān)練4第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明一、單選題1若，則（ ）ABCD2形如(n是非負(fù)整數(shù))的數(shù)稱(chēng)為費(fèi)馬數(shù)，記為數(shù)學(xué)家費(fèi)馬根據(jù)都是質(zhì)數(shù)提出了猜想:費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學(xué)家歐拉計(jì)算出不是質(zhì)數(shù)，那的位數(shù)是（ ）(參考數(shù)據(jù): lg20.3010 )A9B10C11D123音樂(lè)是有不同頻率的聲音組成的，若音1（do）的頻率為f，則簡(jiǎn)譜中七個(gè)音1（do）、2（er）、3（mi）、4（

2、fa）、5（so）、6（la）、7（si）組成的音階頻率分別是f、其中相鄰兩個(gè)音的頻率比是一個(gè)到另一個(gè)音的臺(tái)階，上述“七聲音階”只有兩個(gè)不同的值，記為、（），稱(chēng)為全階，稱(chēng)為半音，則下列關(guān)系式成立的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg20.3010、lg30.4771）A2B2C|lglg|0.01D|lg2lg|0.014方程的解集是A2，8BCD5若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）ABCD6若在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD二、多選題7關(guān)于函數(shù)（），下列說(shuō)法正確的有（ ）A，至少有兩個(gè)零點(diǎn)B，只有兩個(gè)零點(diǎn)C，只有一個(gè)零點(diǎn)D，有三個(gè)零點(diǎn)8下列函數(shù)對(duì)任意的正數(shù)，滿(mǎn)足的有ABCD第II

3、卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題9若x，y，z滿(mǎn)足；上述關(guān)系中可能成立的序號(hào)是_（把符合要求的序號(hào)都填上）10若函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則函數(shù)的極大值為_(kāi)11如圖所示，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱(chēng)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列有關(guān)說(shuō)法中：函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)；函數(shù)是圓O：的一個(gè)太極函數(shù)所有正確的是_12設(shè)函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有_個(gè).四、解答題13設(shè)非空實(shí)數(shù)集中存在最大元素和最小元素，記.（1）

4、已知，且，求實(shí)數(shù).（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)，若不存在說(shuō)明理由.（3）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上值域記為，若對(duì)任意，函數(shù)都滿(mǎn)足，求的取值范圍.14已知函數(shù)是其定義域內(nèi)的偶函數(shù).（1）求的值；（2）若函數(shù)，求不等式的解集.15（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的方程；（2）當(dāng)時(shí)，要使對(duì)數(shù)有意義，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程有且僅有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍16對(duì)于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)使得，那么稱(chēng)為的生成函數(shù).（1）設(shè)，生成函數(shù)為，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，是否能夠生成一個(gè)函數(shù)，且同時(shí)滿(mǎn)足：是偶函數(shù)；在區(qū)間上的最小值為.若能，求函數(shù)的解析式；若不能，說(shuō)明理由.答案第

5、 = page 15 15頁(yè)，共 = sectionpages 15 15頁(yè)答案第 = page 14 14頁(yè)，共 = sectionpages 15 15頁(yè)參考答案1B【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗裕?，所?，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.2B【分析】,設(shè),兩邊取常用對(duì)數(shù)估算的位數(shù)即可.【詳解】,設(shè)，則兩邊取常用對(duì)數(shù)得.，故的位數(shù)是10，故選：B【點(diǎn)睛】解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的常用方法：(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)

6、行化簡(jiǎn)(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用(4)利用常用對(duì)數(shù)中的簡(jiǎn)化計(jì)算.3D【分析】由題意先求出相鄰兩個(gè)音的頻率比，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)依次判斷四個(gè)選即可【詳解】由題意可知，相鄰兩個(gè)音的頻率比分別為：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由0.02870.01，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；|12lg319lg2|0.00620.01，故選項(xiàng)D正確故選：D4B【分析】分類(lèi)討論絕對(duì)值內(nèi)正負(fù)，再解決對(duì)數(shù)方程【詳解】分類(lèi)討論：（1）當(dāng)，即時(shí)，原式得，即-1=0，無(wú)解（2）當(dāng)，即時(shí)，原式得，即，無(wú)解（3）當(dāng)，即時(shí)，原式得，解得故選B【點(diǎn)睛

7、】絕對(duì)值方程的解題方法，主要是分類(lèi)討論，絕對(duì)值內(nèi)正負(fù)，再求解5C【分析】把不等式變形為，分和情況討論，數(shù)形結(jié)合求出答案.【詳解】變形為：，即在上恒成立，若，此時(shí)在上單調(diào)遞減，而當(dāng)時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，要想滿(mǎn)足在上恒成立，只需，即，解得：，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C6D【分析】先對(duì)不等式變形為，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，得到，再畫(huà)出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出a的取值范圍【詳解】由在內(nèi)恒成立，得在內(nèi)恒成立，因?yàn)樵谏虾愠闪?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，故舍去，所以可知才能滿(mǎn)足令，作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象如圖D-6-24所示令，得，要使在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 故選：D7CD【

8、分析】舉出特例，當(dāng)，時(shí)，即可得到答案；【詳解】函數(shù)（）有零點(diǎn)有解，有解，令，方程有解，對(duì)C，當(dāng)，即時(shí)，與沒(méi)有交點(diǎn)，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的圖象可得：方程有1個(gè)解，故C正確；對(duì)D， 當(dāng)，即時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的圖象可得：方程有3個(gè)解，故D正確；根據(jù)簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)可知A,B錯(cuò)誤；故選：CD8ABD【分析】根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)證明不等式成立或舉反例說(shuō)明不成立(舉反例時(shí)中讓)【詳解】A，A正確；B，B正確；C時(shí)，C錯(cuò)；D，D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)，正確的需進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的可舉一反例說(shuō)明9【分析】令，則，從而，再分，三種情況討論可得；

9、【詳解】解：因?yàn)?，令，則，從而，當(dāng)時(shí)，故正確；由于，；，；綜上可得，當(dāng)時(shí)，故正確；當(dāng)時(shí)，故正確；即正確的有；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.10【解析】分析：利用反函數(shù)的性質(zhì)可得，從而可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性可得結(jié)果.詳解：是與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，與應(yīng)為反函數(shù)，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又與垂直，與的中點(diǎn)就是與的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，在在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)在處取得極大值，即函數(shù)的極大值為，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求函數(shù)極值的步驟：(1) 確

10、定函數(shù)的定義域；(2) 求導(dǎo)數(shù)；(3) 解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4) 列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值. 11【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，作出每個(gè)函數(shù)的圖像，探討每個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而得到答案.【詳解】?jī)汕€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心均為點(diǎn)，且兩曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，所以能把圓一分為二，如圖，故正確；函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)圓的圓心，且兩曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，如圖：所以函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故正確；函數(shù)為奇函數(shù)，如圖：所以函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故正確；函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，如圖，所以函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)，故正確故答案為：.1

11、28【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和平移規(guī)律得到時(shí)的圖象，再根據(jù)時(shí)，將時(shí)，的圖象逐次向右平移1個(gè)單位，得到時(shí)的圖象，在同一坐標(biāo)系中再做出的圖象，注意時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，考察兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】解：時(shí)時(shí)的圖象是由時(shí)的的圖象向右平移1個(gè)單位得到，當(dāng)時(shí)，,將其中(0,1之間的一段向右平移1個(gè)單位得到上的圖象，由的的圖象逐次向右平移1個(gè)單位，得到在時(shí)的整個(gè)圖象如圖所示，注意在時(shí)，當(dāng)時(shí)，.作出圖像，由圖象可得，共有8個(gè)公共點(diǎn)，即有8個(gè)零點(diǎn).故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵思路，根據(jù)函數(shù)f(x)解析式和時(shí)的意義，利用圖象的

12、平移變換得到在時(shí)的圖象是解決問(wèn)題的難點(diǎn).13（1）.（2）存在，.（3）.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)新定義有，即可求實(shí)數(shù).（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論、求的最值，結(jié)合定義求滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，即可確定存在性.（3）根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知在，上遞減，由題設(shè)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求的取值范圍.（1）由題設(shè)有：，可得.（2）當(dāng)時(shí)，可得與前提矛盾；當(dāng)，即時(shí)，可得與前提矛盾；當(dāng)，即時(shí)，要使，則，若，可得，則，易知，滿(mǎn)足條件；若，可得，同上也滿(mǎn)足條件；綜上，存在使.（3）令，易知：在，上遞減，而遞增，在，上遞減，要使，即，整理得，又，在上恒成立，且開(kāi)口向上、對(duì)稱(chēng)軸，只需，可得.【點(diǎn)睛

13、】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)，判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性并求最值，根據(jù)新定義及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式在給定閉區(qū)間上恒成立，求參數(shù)范圍.14（1）；（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）整理可得不等式可化為，即，討論的范圍即可解出.【詳解】（1）是偶函數(shù)，即，則，可得，解得；（2），兩邊乘以可得，即，整理得，當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為恒成立，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，此時(shí)，則不等式恒成立，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為恒成立，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得.綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為R；當(dāng)

14、時(shí)，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查指數(shù)型不等式的求解，解題的關(guān)鍵是將不等式化簡(jiǎn)得出，再討論的取值范圍結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.15（1）；（2）或；（3）【分析】（1）解對(duì)數(shù)方程，其中；（2）有意義，要求真數(shù)大于0；（3）通過(guò)化簡(jiǎn)變?yōu)橛星覂H有一個(gè)解，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，注意變形中的真數(shù)要始終成立，所以要檢驗(yàn).【詳解】（1）（2）對(duì)數(shù)有意義，則，解得：或，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為或；（3）即=方程兩邊同乘x得：即當(dāng)時(shí)，方程的解為，此時(shí)代入式，符合要求當(dāng)時(shí)，方程的解為，此時(shí)代入式，符合要求當(dāng)且時(shí)方程的解為或，若是方程的解，則，即若是方程的解，則，即則要使方程有且僅有一個(gè)解，則綜上：方程有且僅有一個(gè)解，實(shí)數(shù)a的取值范圍是16（1）-1；（2）能生成，.【分析】（1）求出函數(shù)和，再換元并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可計(jì)算得解.（2）假定能生成一個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足條件，由此探求m與n的關(guān)系，借助對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可計(jì)算作答.（1）依題意，則，令，則，于是得，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，