數(shù)學(xué)分析中近似計(jì)算的探討畢業(yè)論文

1、題 目： 數(shù)學(xué)分析中近似計(jì)算的探討 姓 名： 學(xué) 號(hào)： 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí)班級(jí)： 指導(dǎo)教師： 2015年 4月 18日畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))作者聲明本人鄭重聲明:所成交的畢業(yè)論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品本人完全了解有關(guān)保障、使用畢業(yè)論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)畢業(yè)論文管理機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版同意省級(jí)優(yōu)秀畢業(yè)論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本畢業(yè)論文通過影印、縮印、掃描等方式進(jìn)行保存、摘編或匯編;同意本論文被編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索和查閱 本畢業(yè)論文內(nèi)容不涉及國(guó)

2、家機(jī)密 論文題目:數(shù)學(xué)分析中近似計(jì)算的探討 作者單位:數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2016年 4月 15日目 錄摘要：1關(guān)鍵詞：1引言21.用微分法近似計(jì)算32.利用泰勒公式求近似值42.1 帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式42.2 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式53.數(shù)列的極限近似計(jì)算74.定積分的近似計(jì)算84.1.矩形法84.2梯形法84.3拋物線法85.方程的根的近似計(jì)算106.冪級(jí)數(shù)展開式近似計(jì)算11結(jié)束語(yǔ)12參考文獻(xiàn)13數(shù)學(xué)分析中近似計(jì)算的探討摘要：近似計(jì)算是一個(gè)比較常用且特殊的解決問題的方法，它在解決數(shù)學(xué)問題中有著重要的作用， 是獲取果影響極小的結(jié)果的有力工具。在數(shù)學(xué)分析中，這種方法的運(yùn)用很廣泛，如在

3、定積分中的應(yīng)用、微分中的應(yīng)用、函數(shù)冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用等.本文主要研究近似計(jì)算在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用以及用具體實(shí)例來說明對(duì)這種方法的運(yùn)用.  關(guān)鍵詞：近似計(jì)算 數(shù)學(xué)分析 微分 函數(shù) 冪級(jí)數(shù) 定積分 Abstract：Key words： 引言 近似計(jì)算是一種對(duì)計(jì)算的結(jié)果影響不大,但能很大程度的簡(jiǎn)化計(jì)算的過程。一直被廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域.在數(shù)學(xué)分析中,本文從在微分中、在定積分中、在求方程的解以及函數(shù)冪級(jí)數(shù)中的應(yīng)用出發(fā),然后分別簡(jiǎn)單介紹這幾方面的一些有關(guān)內(nèi)容及有關(guān)概念,并且針對(duì)近似計(jì)算在這些方面的應(yīng)用列舉出實(shí)例來加以解釋說明這種方法的實(shí)用性,并且說明其與精確結(jié)果之間產(chǎn)生的誤差。1.用微分法近似計(jì)算微分是

4、在數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)非常重要概念, 它所反映的是當(dāng)函數(shù)自變量有非常微小變化時(shí) , 函數(shù)大體上變化多少 ,利用微分和函數(shù)增量的關(guān)系可以進(jìn)行一些近似計(jì)算。根據(jù)微分的相關(guān)定義和其可微的充分必要條件知,當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 且 非常小時(shí),有 幾因此得到如下個(gè)近似公式： （1） （2） （3） （1）(2)(3)式在近似計(jì)算中的作用：若、容易計(jì)算時(shí)，那么(1)式可用于近似計(jì)算函數(shù)在處的增量。(2)式可用于近似計(jì)算函數(shù)在附近的函數(shù)值。(3)式表明：只要充分接近函數(shù)可用線性函數(shù) 來替代。運(yùn)用上述（2）（3）公式近似計(jì)算時(shí),選擇,應(yīng)有以下標(biāo)準(zhǔn)：1.、容易計(jì)算；2.的大小要遠(yuǎn)小于的絕對(duì)值。例1 家里有一個(gè)鋁制的半徑

5、為20cm圓片，在受熱的情況下半徑會(huì)增加0.03cm，求鋁制圓片的面積約增加了多少?解 鋁制圓片的面積 由于的值很小，因此可以利用公式（1）得到的面積增量： 例2 求的近似值。解 由于 ，因此?。?，又由（2）式得 = 0.743（sin 48°的真值為0.743144）2.利用泰勒公式求近似值在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。2.1 帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式若函

6、數(shù)在存在直至階導(dǎo)數(shù)特別的，若，則其中，表示的n階導(dǎo)數(shù)，多項(xiàng)式稱為函數(shù)在a處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無窮小。2.2 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式對(duì)于正整數(shù)，若函數(shù)在閉區(qū)間上階連續(xù)可導(dǎo)，且在上階可導(dǎo)。任取是一定點(diǎn)，則對(duì)任意成立下式：拉格朗日（Lagrange）余項(xiàng)： 若，則 由以上可知泰勒公式的實(shí)質(zhì)是使用一個(gè)n次多項(xiàng)式近一個(gè)已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到n階的導(dǎo)數(shù)。在應(yīng)用泰勒公式做計(jì)算時(shí)，往往使用帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒展開，其余項(xiàng)可以具體的估計(jì)出用泰勒公式幾似近似計(jì)算地表示一個(gè)函數(shù)時(shí)所產(chǎn)生的誤差。由拉格朗日余項(xiàng) 可知，如果，為定值，則其余項(xiàng)不會(huì)超

7、過,故可估計(jì)出近似的計(jì)算某數(shù)值的誤差。例 3 求的近似值（精確到 ）解 由于，設(shè)將其在處展成帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式 ，其中 ，令，則要使 ，只需取n=3，則例4 計(jì)算的近似計(jì)算（精度到）解 設(shè)，則將其在處展成帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，其中 因?yàn)?所以有，可見，為使精度達(dá)到，在上式子的泰勒展開式中取，此時(shí) ，所以用泰勒多項(xiàng)式作近似計(jì)算，在精度要求不高，泰勒多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)不多（如 10 項(xiàng)之內(nèi)）的情形下，一般只考慮截?cái)嗾`差（由泰勒余項(xiàng)決定），不考慮各項(xiàng)的舍入誤差，具體計(jì)算時(shí)，原始數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)所取的小數(shù)位數(shù)比精確度要求的小數(shù)位數(shù)多取一位，最后結(jié)果的小數(shù)位數(shù)和精確度的小數(shù)位數(shù)相同。3.數(shù)列的極限

8、近似計(jì)算當(dāng)一個(gè)數(shù)列收斂的時(shí)候，數(shù)列是存在極限的，有一部分?jǐn)?shù)列的極限我們很容易求出，那還有一部分極限雖然存在我們卻不能求出它的定值，那么這時(shí)我們就要借助近似計(jì)算進(jìn)行求解.下面講解一下定義法求解數(shù)列極限。定義1 設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)。若對(duì)任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)時(shí)有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作或例5 證明.分析 由于 .因此，對(duì)任給的，只要，便有.即當(dāng)時(shí)， 成立，又由于故取.證 任給，取。據(jù)分析，當(dāng)時(shí)有 成立。于是本題得證。4.定積分的近似計(jì)算在許多實(shí)際問題中，常常需要計(jì)算定積分的值。根據(jù)微分學(xué)基本定理，若被積函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，只需要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)F(

9、x)，就可以用牛頓-萊布尼茨公式求出定積分值。 在求定積分 的數(shù)值時(shí)，f( x) 的原函數(shù)不能用普通的初等函數(shù)表示出來。就是這樣的積分要計(jì)算這類積分，就只能借助于近似計(jì)算的思想和方法 此時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生由定積分的幾何意義出發(fā)，找到適當(dāng)?shù)慕品椒?，下面介紹一些有關(guān)定積分近似計(jì)算的公式：4.1.矩形法定積分的幾何意義是計(jì)算曲邊梯形的面積，如果將區(qū)間a,bn等分，每個(gè)小區(qū)間上都是一個(gè)小的曲邊梯形，用一個(gè)個(gè)小矩形代替這些小曲邊梯形，然后把所有小矩形的面積加起來就近似等于整個(gè)曲邊梯形的面積，這樣便求出了定積分的近似值。這是矩形法的基本原理 （或）4.2梯形法將積分區(qū)間a,bn等分，用線段依次連接各分點(diǎn)，每段

10、都形成一個(gè)小的直角梯形。如果用這些小直角梯形面積之和代替原來的小曲邊梯形面積之和，就可求得定積分的近似值。這是梯形法的基本原理。 亦即： 4.3拋物線法用對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線上的一段弧來近似代替原來的曲線弧,從而算出定積分的近似值.這種方法稱為拋物線法,也稱為辛普森(Simpson)法. 即：例4 計(jì)算定積分的近似值解 將區(qū)間0,1分成十等分，各個(gè)分點(diǎn)上被積函數(shù)的值列表如下（取七位小數(shù)）：表1 標(biāo)題00.10.20.30.40.510.99009900.96153850.91743120.86206900.80000000.60.70.80.910.73529410.67114090.60

11、975610.55248620.5用矩形法計(jì)算：（取四位小數(shù)） （或）用梯形法計(jì)算：（取四位小數(shù)） 用拋物線法計(jì)算：（取七位小數(shù)）用準(zhǔn)確值 與上述近似值相比較，矩形法的結(jié)果只有一位有效數(shù)字是準(zhǔn)確，梯形法的結(jié)果有三位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的，拋物線法的結(jié)果則有六位有效數(shù)字是準(zhǔn)確的?？梢姃佄锞€法明顯優(yōu)于前兩種。5.方程的根的近似計(jì)算定理1：若函數(shù)在在閉區(qū)間a,b上聯(lián)系，且與異號(hào)，則至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，即方程，在上至少有一根。如果我們可以求出有實(shí)根，但是不能直接求出根的具體值，這時(shí)候我們就要借助近似計(jì)算來近似計(jì)算。滿足：在a,b上連續(xù)，在a,b上及不變號(hào).即：在a,b內(nèi)有唯一實(shí)根。牛頓切線法的基本思想：用

12、切線近似代替曲線弧求近似方程根。記縱坐標(biāo)與 同號(hào)的端點(diǎn)為（） ，在此點(diǎn)做切線，其方 程為 令y=0得它與x軸的交點(diǎn)（），其中再在點(diǎn)（）做切線，可得近似根。如此繼續(xù)下去，可得求近似根的迭代公式： （n=1，2，.） 即牛頓迭代公式。例5 用牛頓切線法求方程的近似解，誤差不要超過0.01.解 設(shè) 求得 可以檢驗(yàn)為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，并且，又因 且 所以方程有且只有一個(gè)根。其中，因此，方程的根由于在3，4上，如圖所示從點(diǎn)B（4，7）做切線與x軸相交于 誤差計(jì)算： 而，其中m為在3,4上的最小值。再在點(diǎn)做切線，求得 誤差計(jì)算： 而。因此達(dá)到所要求的精度。6.冪級(jí)數(shù)展開式近似計(jì)算以某個(gè)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為基礎(chǔ)，然后把所需要求的量表達(dá)成無數(shù)級(jí)數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個(gè)量的近似值，誤差用余項(xiàng)估計(jì)。我們先給出一些基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式及其對(duì)應(yīng)的余項(xiàng)。 例6 求的近似值（精確到）解 由于ln1.1=ln（1+），在冪級(jí)數(shù)展開式 中，取得因?yàn)榈诹?xiàng)的值所以前五項(xiàng)的和作為積分的近似值，即：結(jié)束語(yǔ)近似計(jì)算是在解決復(fù)雜問題中常見且適用的一種方法,本文以對(duì)近似計(jì)算的簡(jiǎn)介及其與數(shù)學(xué)分析的聯(lián)系為前提簡(jiǎn)要寫出近似計(jì)算方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用.然后再用具體實(shí)例來說明在數(shù)學(xué)分析中這種方法在某些方面的應(yīng)用.由于這種方法的簡(jiǎn)單、易懂,且能讓人更容易接受、理解,因此這種方法在數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域