數(shù)學分析中近似計算的探討畢業(yè)論文

1、題 目： 數(shù)學分析中近似計算的探討 姓 名： 學 號： 學 院： 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 年級班級： 指導教師： 2015年 4月 18日畢業(yè)論文(設(shè)計)作者聲明本人鄭重聲明:所成交的畢業(yè)論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所取得的研究成果除了文中特別加以標注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品本人完全了解有關(guān)保障、使用畢業(yè)論文的規(guī)定，同意學校保留并向有關(guān)畢業(yè)論文管理機構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版同意省級優(yōu)秀畢業(yè)論文評選機構(gòu)將本畢業(yè)論文通過影印、縮印、掃描等方式進行保存、摘編或匯編;同意本論文被編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索和查閱 本畢業(yè)論文內(nèi)容不涉及國

2、家機密 論文題目:數(shù)學分析中近似計算的探討 作者單位:數(shù)學與統(tǒng)計學院 2016年 4月 15日目 錄摘要：1關(guān)鍵詞：1引言21.用微分法近似計算32.利用泰勒公式求近似值42.1 帶有皮亞諾型余項的泰勒公式42.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式53.數(shù)列的極限近似計算74.定積分的近似計算84.1.矩形法84.2梯形法84.3拋物線法85.方程的根的近似計算106.冪級數(shù)展開式近似計算11結(jié)束語12參考文獻13數(shù)學分析中近似計算的探討摘要：近似計算是一個比較常用且特殊的解決問題的方法，它在解決數(shù)學問題中有著重要的作用， 是獲取果影響極小的結(jié)果的有力工具。在數(shù)學分析中，這種方法的運用很廣泛，如在

3、定積分中的應(yīng)用、微分中的應(yīng)用、函數(shù)冪級數(shù)的應(yīng)用等.本文主要研究近似計算在數(shù)學分析中的應(yīng)用以及用具體實例來說明對這種方法的運用.  關(guān)鍵詞：近似計算 數(shù)學分析 微分 函數(shù) 冪級數(shù) 定積分 Abstract：Key words： 引言 近似計算是一種對計算的結(jié)果影響不大,但能很大程度的簡化計算的過程。一直被廣泛用于各個領(lǐng)域.在數(shù)學分析中,本文從在微分中、在定積分中、在求方程的解以及函數(shù)冪級數(shù)中的應(yīng)用出發(fā),然后分別簡單介紹這幾方面的一些有關(guān)內(nèi)容及有關(guān)概念,并且針對近似計算在這些方面的應(yīng)用列舉出實例來加以解釋說明這種方法的實用性,并且說明其與精確結(jié)果之間產(chǎn)生的誤差。1.用微分法近似計算微分是

4、在數(shù)學分析中的一個非常重要概念, 它所反映的是當函數(shù)自變量有非常微小變化時 , 函數(shù)大體上變化多少 ,利用微分和函數(shù)增量的關(guān)系可以進行一些近似計算。根據(jù)微分的相關(guān)定義和其可微的充分必要條件知,當函數(shù)在點處的導數(shù) 且 非常小時,有 幾因此得到如下個近似公式： （1） （2） （3） （1）(2)(3)式在近似計算中的作用：若、容易計算時，那么(1)式可用于近似計算函數(shù)在處的增量。(2)式可用于近似計算函數(shù)在附近的函數(shù)值。(3)式表明：只要充分接近函數(shù)可用線性函數(shù) 來替代。運用上述（2）（3）公式近似計算時,選擇,應(yīng)有以下標準：1.、容易計算；2.的大小要遠小于的絕對值。例1 家里有一個鋁制的半徑

5、為20cm圓片，在受熱的情況下半徑會增加0.03cm，求鋁制圓片的面積約增加了多少?解 鋁制圓片的面積 由于的值很小，因此可以利用公式（1）得到的面積增量： 例2 求的近似值。解 由于 ，因此?。?，又由（2）式得 = 0.743（sin 48°的真值為0.743144）2.利用泰勒公式求近似值在數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。2.1 帶有皮亞諾型余項的泰勒公式若函

6、數(shù)在存在直至階導數(shù)特別的，若，則其中，表示的n階導數(shù)，多項式稱為函數(shù)在a處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小。2.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式對于正整數(shù)，若函數(shù)在閉區(qū)間上階連續(xù)可導，且在上階可導。任取是一定點，則對任意成立下式：拉格朗日（Lagrange）余項： 若，則 由以上可知泰勒公式的實質(zhì)是使用一個n次多項式近一個已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點具有相同的直到n階的導數(shù)。在應(yīng)用泰勒公式做計算時，往往使用帶有拉格朗日型余項的泰勒展開，其余項可以具體的估計出用泰勒公式幾似近似計算地表示一個函數(shù)時所產(chǎn)生的誤差。由拉格朗日余項 可知，如果，為定值，則其余項不會超

7、過,故可估計出近似的計算某數(shù)值的誤差。例 3 求的近似值（精確到 ）解 由于，設(shè)將其在處展成帶拉格朗日型余項的泰勒公式 ，其中 ，令，則要使 ，只需取n=3，則例4 計算的近似計算（精度到）解 設(shè)，則將其在處展成帶拉格朗日型余項的泰勒公式，其中 因為 所以有，可見，為使精度達到，在上式子的泰勒展開式中取，此時 ，所以用泰勒多項式作近似計算，在精度要求不高，泰勒多項式的項數(shù)不多（如 10 項之內(nèi)）的情形下，一般只考慮截斷誤差（由泰勒余項決定），不考慮各項的舍入誤差，具體計算時，原始數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)所取的小數(shù)位數(shù)比精確度要求的小數(shù)位數(shù)多取一位，最后結(jié)果的小數(shù)位數(shù)和精確度的小數(shù)位數(shù)相同。3.數(shù)列的極限

8、近似計算當一個數(shù)列收斂的時候，數(shù)列是存在極限的，有一部分數(shù)列的極限我們很容易求出，那還有一部分極限雖然存在我們卻不能求出它的定值，那么這時我們就要借助近似計算進行求解.下面講解一下定義法求解數(shù)列極限。定義1 設(shè)為數(shù)列，為定數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N,使得當時有，則稱數(shù)列收斂于，定數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作或例5 證明.分析 由于 .因此，對任給的，只要，便有.即當時， 成立，又由于故取.證 任給，取。據(jù)分析，當時有 成立。于是本題得證。4.定積分的近似計算在許多實際問題中，常常需要計算定積分的值。根據(jù)微分學基本定理，若被積函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，只需要找到被積函數(shù)的一個原函數(shù)F(

9、x)，就可以用牛頓-萊布尼茨公式求出定積分值。 在求定積分 的數(shù)值時，f( x) 的原函數(shù)不能用普通的初等函數(shù)表示出來。就是這樣的積分要計算這類積分，就只能借助于近似計算的思想和方法 此時可引導學生由定積分的幾何意義出發(fā)，找到適當?shù)慕品椒ǎ旅娼榻B一些有關(guān)定積分近似計算的公式：4.1.矩形法定積分的幾何意義是計算曲邊梯形的面積，如果將區(qū)間a,bn等分，每個小區(qū)間上都是一個小的曲邊梯形，用一個個小矩形代替這些小曲邊梯形，然后把所有小矩形的面積加起來就近似等于整個曲邊梯形的面積，這樣便求出了定積分的近似值。這是矩形法的基本原理 （或）4.2梯形法將積分區(qū)間a,bn等分，用線段依次連接各分點，每段

10、都形成一個小的直角梯形。如果用這些小直角梯形面積之和代替原來的小曲邊梯形面積之和，就可求得定積分的近似值。這是梯形法的基本原理。 亦即： 4.3拋物線法用對稱軸平行于y軸的拋物線上的一段弧來近似代替原來的曲線弧,從而算出定積分的近似值.這種方法稱為拋物線法,也稱為辛普森(Simpson)法. 即：例4 計算定積分的近似值解 將區(qū)間0,1分成十等分，各個分點上被積函數(shù)的值列表如下（取七位小數(shù)）：表1 標題00.10.20.30.40.510.99009900.96153850.91743120.86206900.80000000.60.70.80.910.73529410.67114090.60

11、975610.55248620.5用矩形法計算：（取四位小數(shù)） （或）用梯形法計算：（取四位小數(shù)） 用拋物線法計算：（取七位小數(shù)）用準確值 與上述近似值相比較，矩形法的結(jié)果只有一位有效數(shù)字是準確，梯形法的結(jié)果有三位有效數(shù)字是準確的，拋物線法的結(jié)果則有六位有效數(shù)字是準確的?？梢姃佄锞€法明顯優(yōu)于前兩種。5.方程的根的近似計算定理1：若函數(shù)在在閉區(qū)間a,b上聯(lián)系，且與異號，則至少存在一個點，使得，即方程，在上至少有一根。如果我們可以求出有實根，但是不能直接求出根的具體值，這時候我們就要借助近似計算來近似計算。滿足：在a,b上連續(xù)，在a,b上及不變號.即：在a,b內(nèi)有唯一實根。牛頓切線法的基本思想：用

12、切線近似代替曲線弧求近似方程根。記縱坐標與 同號的端點為（） ，在此點做切線，其方 程為 令y=0得它與x軸的交點（），其中再在點（）做切線，可得近似根。如此繼續(xù)下去，可得求近似根的迭代公式： （n=1，2，.） 即牛頓迭代公式。例5 用牛頓切線法求方程的近似解，誤差不要超過0.01.解 設(shè) 求得 可以檢驗為極大值點，為極小值點，并且，又因 且 所以方程有且只有一個根。其中，因此，方程的根由于在3，4上，如圖所示從點B（4，7）做切線與x軸相交于 誤差計算： 而，其中m為在3,4上的最小值。再在點做切線，求得 誤差計算： 而。因此達到所要求的精度。6.冪級數(shù)展開式近似計算以某個初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式為基礎(chǔ)，然后把所需要求的量表達成無數(shù)級數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項估計。我們先給出一些基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式及其對應(yīng)的余項。 例6 求的近似值（精確到）解 由于ln1.1=ln（1+），在冪級數(shù)展開式 中，取得因為第六項的值所以前五項的和作為積分的近似值，即：結(jié)束語近似計算是在解決復(fù)雜問題中常見且適用的一種方法,本文以對近似計算的簡介及其與數(shù)學分析的聯(lián)系為前提簡要寫出近似計算方法在數(shù)學分析中的應(yīng)用.然后再用具體實例來說明在數(shù)學分析中這種方法在某些方面的應(yīng)用.由于這種方法的簡單、易懂,且能讓人更容易接受、理解,因此這種方法在數(shù)學分析乃至整個數(shù)學領(lǐng)域