專題講座小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何

1、. 專題講座小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何(吳正憲小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何話題一【課程簡介】小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何課標解讀及教學(xué)思考，主要介紹“數(shù)學(xué)課程標準“關(guān)于“圖形與幾何容的規(guī)定，包括核心概念、容主線、具體要求。本模塊主要包括以下四個話題：1如何在觀察、操作中“認識圖形抽象出圖形特征，開展空間觀念？2如何以“圖形的測量為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，了解掌握測量的根本方法，并在具體問題中進展恰當?shù)墓罍y？從而開展學(xué)生的空間觀念與推理能力？3如何通過“圖形的運動探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質(zhì)的不同方法，開展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣？4如何通過學(xué)習(xí)“確定圖形位

2、置的方法，開展學(xué)生的空間觀念和推理能力？【學(xué)習(xí)要求】1.請教師們認真觀看視頻，明確以下觀點：1了解數(shù)據(jù)“幾何直觀、“空間觀念的涵，在教學(xué)中如何開展學(xué)生的“幾何直觀和“空間觀念；2圖形與幾何的容變化及主線分析；3圖形與幾何學(xué)習(xí)的教學(xué)策略。2.結(jié)合自己的教學(xué)實踐完成下面兩項作業(yè)：1線段、射線和直線的認識中，直線概念建立是兒童學(xué)習(xí)的難點，為什么？怎么突破？2選擇1個對您啟發(fā)最大的容，做一次教學(xué)實踐教學(xué)設(shè)計、教學(xué)案例、學(xué)生調(diào)研等。2011版課標終于要公布了，新課標修訂后有哪些變化。這一講主要講“圖形與幾何這個領(lǐng)域的變化。新課標在圖形與幾何領(lǐng)域有幾個核心概念。主要有空間觀念、幾何直觀、推理能力等?？臻g觀

3、念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。更直觀的理解如以下圖：幾何直觀主要是指利用圖形的描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，變得簡明形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果，探索思路預(yù)測結(jié)果。案例：“打“如果你是教師，有件緊急的事情要通知給同學(xué)，用打的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜想一下。下面是學(xué)生借助圖形研究的例子。這些學(xué)生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打來通知這件事情，設(shè)計方案。通過這個數(shù)圖就把這個復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系

4、，很簡明很直觀的呈現(xiàn)出來，而且從這個圖本身，就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，就是一分鐘通知一個人，第二次通知的新的人數(shù)，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。通過線段、點，以及圖形，把通知過程很簡捷的表現(xiàn)出來，把它們之間的關(guān)系，提醒得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。推理能力的開展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的根本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)歷和直覺，通過歸納和類比等推斷*些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實包括定義、公理、定理等和確定的規(guī)則包括運算的定義、法則、順序等出發(fā)，按照邏輯推理

5、的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。通過對一線教師的訪談，查閱資料，把教師們的困惑集中起來，歸結(jié)為四個大話題。討論話題：1如何在觀察、操作中“認識圖形抽象出圖形特征，開展空間觀念？2如何以“圖形的測量為載體，滲透度量意識，體會測量的意義，認識度量單位及其實際意義，了解掌握測量的根本方法，并在具體問題中進展恰當?shù)墓罍y？從而開展學(xué)生的空間觀念與推理能力？3如何通過“圖形的運動探索發(fā)現(xiàn)，體會研究圖形性質(zhì)的不同方法，開展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生研究圖形性質(zhì)的興趣？4如何通過學(xué)習(xí)“確定圖形位置的方法，開展學(xué)生

6、的空間觀念和推理能力？話題一、圖形的認識抽象圖形特征，開展空間觀念問題一、新的課程標準在圖形的認識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？這次新課標修訂后圖形的認識局部都包括哪些容？有什么新的變化？課標修訂前后立體圖形的認識局部容的比照：修訂前修訂后第一學(xué)段1通過實物和模型識別長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形。2識別從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡單物體的形狀。參見例13識別長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4通過觀察、操作，能用自己的語言描述長方形、正方形的特征。5會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。6結(jié)合生活情境認識角，會識別直角、銳角和鈍角。7能對簡單幾何體和圖形進展

7、分類。1.能通過實物和模型識別長方體、正方體、圓柱和球等幾何體。2.能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖識別從不同角度觀察到的簡單物體參見例11。3.能識別長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4.通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征。5.會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。6.結(jié)合生活情境認識角，了解直角、銳角和鈍角。7.能對簡單幾何體和圖形進展分類參見例20。第二學(xué)段1了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點。2能區(qū)分直線、線段和射線。3體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。4知道周角、平角的概念及周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。5結(jié)合生活

8、情境了解平面上兩條直線的平行和相交包括垂直關(guān)系。6通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，會用圓規(guī)畫圓。7認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形角和是180。8認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。9通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。10能識別從不同方位看到的物體的形狀和相對位置。參見例11結(jié)合實例了解線段、射線和直線。2體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。3知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交包括垂直關(guān)系。5

9、通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。6認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形角和是180。7認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。8能識別從不同方向前面、側(cè)面、上面看到的物體的形狀圖參見例32。9通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。從這個表中可以看到，課表修訂前后在圖形的認識局部只有一些細小的變化，圖形與幾何這一模塊原稱空間與圖形，變“空間與圖形為“圖形與幾何；重提幾何直觀、推理能力、運算能力、邏輯思維能力，用詞更加規(guī)，表達了課標的嚴肅。的圖形與幾何第一、二學(xué)段仍分為

10、四局部，具體表示有所變動，1圖形的認識，2測量，3圖形的運動修改稿：圖形與變換，4圖形與位置。圖形的運動強調(diào)了圖形的運動是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。運動也是一種根本的數(shù)學(xué)思想。第二學(xué)段的容標準刪除“兩點確定一條直線和“兩條直線確定一個點?！皥D形與幾何領(lǐng)域，將幾何學(xué)習(xí)的視野拓寬到學(xué)生生活的空間，強調(diào)空間和圖形知識的現(xiàn)實背景，從第一學(xué)段開場使學(xué)生接觸豐富的幾何世界。新“標準“突出用觀察、描述、制作、從不同的角度觀察物體、認識方向、制作模型等活動，開展學(xué)生的空間觀念和圖形設(shè)計與推理合情推理與演繹推理的能力。新“標準“在第二學(xué)段還增加了知道扇形這一容。扇形的認識，“大綱“修訂版教材作為選學(xué)容，“數(shù)學(xué)

11、課程標準“中沒有認識扇形的要求。認識扇形在“課標修改稿“中確實沒有做要求，但在“統(tǒng)計與概率局部卻明確提出了通過實例認識扇形統(tǒng)計圖的容標準，考慮到知識的系統(tǒng)性、邏輯性和連貫性，以及學(xué)生認識扇形統(tǒng)計圖的需要，“課標修訂稿“在認識圓的根底上，增加了初步認識扇形。簡單說對圖形認識的要求主要包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認識。在三個學(xué)段中，認識同一個或同一類圖形的要求有明顯的層次性：從“識別到“初步認識，再從“認識到“探索并證明。例如，對于長方體、正方體、圓柱和球等幾何體，第一學(xué)段要求“識別；第二學(xué)段要求“認識；第三學(xué)段要求了解其中一些幾何體的側(cè)面展開

12、圖。又如，對于平行四邊形，第一學(xué)段要求“識別；第二學(xué)段要求“認識；第三學(xué)段要求“探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理、判定定理。再如，三角形角和的例子：關(guān)于“視圖，第一學(xué)段要求“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖識別從不同角度觀察到的簡單物體；第二學(xué)段要求“能識別從不同方向前面、側(cè)面、上面看到的物體的形狀圖；第三學(xué)段要求“會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體。這種要求的層次性，既表達了從整體到局部的認識過程；也符合學(xué)生的認知特點，逐漸深入、循序漸進。對圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認識，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認識。第一學(xué)

13、段的“了解直角、銳角和鈍角；第二學(xué)段的“體會兩點間所有連線中線段最短；“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系；“了解三角形兩邊之和大于第三邊；第三學(xué)段的“會比擬線段的長短，“能比擬角的大小等，都是對圖形大小關(guān)系的研究。點與直線的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等，是義務(wù)教育階段幾種主要的圖形位置關(guān)系；軸對稱、中心對稱、平移也反映了圖形與圖形之間的位置關(guān)系。圖形的全等、相似都是研究研究圖形之間關(guān)系的課程容，全等研究的是圖形的形狀、大小關(guān)系；圖形的相似研究的是圖形的形狀之間的關(guān)系；而圖形的位似則還涉及到了圖形的位置關(guān)系。在兒童的不同學(xué)段上，形象思維的開

14、展是有層次的，荷蘭.希爾夫婦對學(xué)生幾何思維水平的研究說明了從直觀識別到探索特征是兒童的對圖形的形象思維規(guī)律。他們將學(xué)生的圖形認知水平主要分為五級：水平1：直觀化；水平2：描述/分析；水平3：抽象/關(guān)聯(lián)；水平4：演繹/形式化推理；水平5：嚴密/元數(shù)學(xué)。一二三水平在小學(xué)表達，四五水平是在中學(xué)表達的。這和我們課標的要求也是一致。圖形認識的教學(xué)先明確兩點：一是這局部容屬于圖形認識的哪個水平，前后繼知識各是什么；二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個什么階段，要通過你的教學(xué)到達什么階段。問題二、小學(xué)階段對于“圖形的認識這一容，教材是遵循怎樣一個編排體系的？第一，現(xiàn)在的教材，在圖形的認識當中，是先講立體，再講

15、平面，再回到立體。從歷史開展過程上看，實際上我們中國小學(xué)的傳統(tǒng)教材，最初是按點、線、面、體的邏輯關(guān)系講的。到了上個世紀90年代以后，義務(wù)大綱出現(xiàn)就發(fā)生變化了，先講立體以后再講平面，然后又回到立體。為什么當時要改？因為當時很多教師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的識圖的能力比擬低，認識起來比擬困難。這局部是個難點，分階段安排可以分散難點。第二，實際上一個人是生活在三維空間當中，一個嬰兒從出生落地，他所有接觸的東西，看到的東西，實際上都是體，他的奶瓶，他玩的積木都是體，住的大大樓里，所有東西都是體，在這個過程中兒童積累了很多立體的物體，因此所有的幾何體，都具有直觀的實物的模型的。那在這種情

16、況之下，低年級孩子，剛開場初步的認識立體圖形是有可能的。所以一是有必要，二是有可能，再加上兒童的空間觀念的形成，必然是有一個長期的反復(fù)的積累的過程，不能一次到位。所以當時的義務(wù)大綱就打破了傳統(tǒng)的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形?，F(xiàn)在教材也一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求識別，到第二學(xué)段要認識。也就是現(xiàn)在教材是“體形體的混合螺旋編排構(gòu)造問題三、怎樣通過圖形的認識教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念？第一、通過對實物的觀察與操作認識圖形第一學(xué)段要求“能通過實物和模型識別長方體、正方體、圓柱和球等幾何體、“通過觀察、操作，初步

17、認識長方形、正方形的特征；第二學(xué)段要求“結(jié)合實例了解線段、射線和直線、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交包括垂直關(guān)系等，這些要求的共同特點是通過觀察與操作認識圖形，直觀地、整體地認識立體圖形和平面圖形。從對實物的觀察與操作過程中來認識圖形的特征和性質(zhì)，既符合學(xué)生認識事物的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)課程的目標要求。這樣的過程有助于學(xué)生開展能力，初步體會數(shù)學(xué)的思想方法，開展積極的情感與態(tài)度。人們生活在三維的空間中，常見的樓房、積木、各種包裝盒、皮球都給我們以長方體、正方體、圓柱體、球體等直觀形象。基于這樣的生活經(jīng)歷，學(xué)生可以從認識立體圖形開場，“通過實物和模型等識別長方體、正方體、圓柱和球等幾何體

18、。“識別是認識的低級階段，但與以往的經(jīng)歷有所不同，它要經(jīng)歷從實物到幾何圖形的抽象過程。從不同的角度觀察長方體、正方體、圓柱體、球的外表，抽象出長方形、正方形、圓等平面圖形。像這樣從具體到抽象，從實物到圖形，從整體到局部的安排，提醒了立體圖形與平面圖形的關(guān)系，也符合學(xué)生的認知特點。第二學(xué)段要求“結(jié)合實例了解線段、射線和直線、“結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交包括垂直關(guān)系。射線和直線涉及到了無限的概念，與長方體、正方體、長方形、正方形等相比，在現(xiàn)實中沒有“直線的實物原型，這就需要學(xué)生進展抽象與想象。認識線段要容易一些，因為現(xiàn)實生活中有“線段的實物原型。類似的，學(xué)生理解兩條直線平行的位置關(guān)

19、系也比擬困難，可以利用兩根鐵軌作為實物原型來描述，兩根鐵軌不相交以及它們之間的距離處處相等的事實，都提醒了平行線的本質(zhì)，但鐵軌無法總是筆直的延伸，所以在從實物到幾何圖形的抽象過程中還需要想象，這有助于學(xué)生開展抽象能力和空間觀念。第二、基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，開展空間觀念新教材容編排上增加了“視圖和投影、展開與折疊等容。視圖和投影，過去小學(xué)沒有，現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)幾何和圖形當中，增加了觀察物體，這局部在課標上有兩個要求。第一個學(xué)段的要根據(jù)具體事物照片或直觀圖，識別從不同角度觀察到的簡單物體的形狀，這是識別。很多教材里面是這樣，有的是拿個實物，有的是拿熊貓玩具等，讓孩子們從各種角度去看，看的時候，孩子們就發(fā)現(xiàn)，不同角度看到的熊貓不一樣。第二個學(xué)段的要求能識別從不同方向，方向是從前面、側(cè)面或者上面來觀察，從不同方向看到物體的形狀圖，這個形狀圖實際上就是一個平面圖，就是從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個投影，也就是拍照。例如拍照的結(jié)果