電動力學(xué)2.1 靜電場的基本方程

1、第二章 靜電場2.1 靜電場的基本方程2.2 用分離變量法求解靜電問題2.3 靜電鏡像法2.5 電多極矩展開場2.1 靜電場的基本方程穩(wěn)恒電磁場只討論電場2.1.1 靜電場的基本方程和邊值關(guān)系2.1.2 分界面上的邊值關(guān)系2.1.3 電勢滿足的方程因故考慮各向同性線性介質(zhì)故電勢滿足Poisson方程在無源區(qū)域( ),有2.1.4 分界面上電勢的邊值關(guān)系(a)(b)(a)式為Laplace方程等價于(b)式可由 得到靜電平衡時,導(dǎo)體的靜電條件為2.1.5 導(dǎo)體介質(zhì)(3.1.12)(1) 導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，即(2)導(dǎo)體是等勢體,表面為等勢面(3) 導(dǎo)體內(nèi)部不帶電,電荷分布于導(dǎo)體表面邊值關(guān)系(b)化

2、為導(dǎo)體表面所帶電荷總量1.Laplace方程的通解電勢滿足的Laplace方程為設(shè)代入上式得2.2 用分離變量法求解靜電問題2.2.1 直角坐標(biāo)系中的分離變量法令需滿足以 為例給出解的形式。(1)當(dāng)(2)當(dāng)(3)當(dāng)此時方程為注：不能同時大(小)于零其中例：若則解的形式為例：若則解的形式為一般的形式2.實例矩形六面體其余五個面已知求六面體內(nèi)部的電勢分布解：邊界條件：電勢滿足的Laplace方程為設(shè)代入邊界條件有對于 ，解的形式有三種：(1)當(dāng)代入邊界條件有(3)當(dāng)(2)當(dāng)所以即又有所以即又由給出這樣所以同理其中因為因為即綜合給出電勢的通解為在 平面上，即這里可由三角函數(shù)的正交性求出故電勢的通解為

3、由三角函數(shù)的正交性，有1.Laplace方程的通解Laplace方程為其通解為2.2.2 球坐標(biāo)系中的分離變量法其中取對稱軸為極軸,電勢 與 無關(guān)對于軸對稱性的問題:取 的面為對稱面對于面對稱性的問題:加上均勻外電場 后,求電勢分布2 分離變量法實例分析例1、均勻外場中的電介質(zhì)球一線性均勻、各向同性的電介質(zhì)球 置于另一線性均勻、各向同性的電介質(zhì) 中,取 的方向為極軸z的方向球內(nèi)外電勢均滿足Laplace方程:由(2.2.39)式,兩個區(qū)域的通解分別為邊界條件:(1)無窮遠(yuǎn)處,V外V內(nèi)因而(1a)(1b)(2a)(2) 處, 應(yīng)為有限值,因此(2b)(3)在介質(zhì)球面上 ,將(2a)和(2b)代入到上兩式,得(3a)(3b)比較 的系數(shù)得:可解出比較其它 項的系數(shù)得:因此問題的解為V外V內(nèi)(4a)(4b)討論:(1)球外電場: 第一項為均勻外電場產(chǎn)生的勢。其產(chǎn)生電場為第二項:相當(dāng)于放在原點的電偶極子產(chǎn)生的電勢為球外電場為其產(chǎn)生的電場第二項可改寫為極化電荷產(chǎn)生的場