第42練 不等式選講

1、第42練不等式選講題型分析高考展望本部分主要考查絕對值不等式的解法.求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式，絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.體驗(yàn)高考1.(2016課標(biāo)全國甲)已知函數(shù)f(x)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(xf(1,2)，M為不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|.(1)解f(x)eq blcrc (avs4al

2、co1(2x，xf(1,2)，,1，f(1,2)xf(1,2)，,2x，xf(1,2).)當(dāng)xeq f(1,2)時(shí)，由f(x)2得2x1，所以1xeq f(1,2)；當(dāng)eq f(1,2)xeq f(1,2)時(shí)，f(x)2；當(dāng)xeq f(1,2)時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1，所以，eq f(1,2)x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)證明由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)a；(3)對形如|xa|xb|c

3、，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解.例1已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值.解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|eq blcrc (avs4alco1(2x6，x2，,2，2x4，,2x6，x4.)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5.(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)eq bl

4、crc (avs4alco1(2a，x0，,4x2a，0 xa，,2a，xa.)由|h(x)|2，解得eq f(a1,2)xeq f(a1,2).又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以eq blcrc (avs4alco1(f(a1,2)1，,f(a1,2)2，)于是a3.點(diǎn)評(1)用零點(diǎn)分段法解絕對值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對值號(hào)；分別解去掉絕對值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值.(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法.變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：3

5、f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集.(1)證明f(x)|x2|x5|eq blcrc (avs4alco1(3，x2，,2x7，2x5，,3，x5.)當(dāng)2x5時(shí)，32x73.所以3f(x)3.(2)解由(1)可知，當(dāng)x2時(shí)，f(x)x28x15的解集為空集；當(dāng)2x5時(shí)，f(x)x28x15的解集為x|5eq r(3)xy.求證：2xeq f(1,x22xyy2)2y3.(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|xy|eq f(1,3)，|2xy|eq f(1,6)，求證：|y|0，y0，xy0，2xeq f(1,x22xyy2)2y2(xy)eq f(1,xy2)(xy)(xy)eq f(

6、1,xy2)3eq r(3,xy2f(1,xy2)3，所以2xeq f(1,x22xyy2)2y3.(2)因?yàn)?|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由題設(shè)知|xy|eq f(1,3)，|2xy|eq f(1,6)，從而3|y|eq f(2,3)eq f(1,6)eq f(5,6)，所以|y|eq f(5,18).點(diǎn)評(1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法.作差法證明不等式的一般步驟：作差；分解因式；與0比較；結(jié)論.關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力.(2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧.變式訓(xùn)練2(1)若a，bR，求證：eq f(|ab|,1|ab|)eq f(|a|

7、,1|a|)eq f(|b|,1|b|).(2)已知a，b，c均為正數(shù)，ab1，求證：eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.證明(1)當(dāng)|ab|0時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)|ab|0時(shí)，由0|ab|a|b|eq f(1,|ab|)eq f(1,|a|b|)，所以eq f(|ab|,1|ab|)eq f(1,f(1,|ab|)1)eq f(1,1f(1,|a|b|)eq f(|a|b|,1|a|b|)eq f(|a|,1|a|)eq f(|b|,1|b|).(2)因?yàn)閑q f(a2,b)b2a，eq f(b2,c)c2b，eq f(c2,a)a2c，故eq f(a2,b)e

8、q f(b2,c)eq f(c2,a)(abc)2(abc)，即eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)abc，所以eq f(a2,b)eq f(b2,c)eq f(c2,a)1.題型三柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立.(2)設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實(shí)數(shù)，則(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1，

9、2，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得aikbi(i1，2，n)時(shí)，等號(hào)成立.例3(2015福建)已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求eq f(1,4)a2eq f(1,9)b2c2的最小值.解(1)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號(hào)成立.又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)a2f(1,9)b2c2)(491)eq blc(rc)(avs4

10、alco1(f(a,2)2f(b,3)3c1)2(abc)216，即eq f(1,4)a2eq f(1,9)b2c2eq f(8,7).當(dāng)且僅當(dāng)eq f(f(1,2)a,2)eq f(f(1,3)b,3)eq f(c,1)，即aeq f(8,7)，beq f(18,7)，ceq f(2,7)時(shí)等號(hào)成立.故eq f(1,4)a2eq f(1,9)b2c2的最小值為eq f(8,7).點(diǎn)評(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明.(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為(aeq oal(2,1)aeq

11、 oal(2,2)aeq oal(2,n)(eq f(1,aoal(2,1)eq f(1,aoal(2,2)eq f(1,aoal(2,n)(111)2n2.在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.變式訓(xùn)練3已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.(1)解因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)2

12、9，即p2q2r23.高考題型精練1.如果關(guān)于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解設(shè)y|x3|x4|，則yeq blcrc (avs4alco1(1，x3，,2x7，3x4，,1，x4)的圖象如圖所示：若|x3|x4|a的解集不是空集，則(|x3|x4|)min1時(shí)，不等式的解集不是空集.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，).2.設(shè)x0，y0，若不等式eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(,xy)0恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.解x0，y0，原不等式可化為(eq f(1,x)eq f(1,y)(xy)2eq f(y,x)eq f(x,y).2eq f(y,x)eq f(x

13、,y)22eq r(f(y,x)f(x,y)4，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立.(eq f(1,x)eq f(1,y)(xy)min4，4，4.即實(shí)數(shù)的最小值是4.3.若不等式|2x1|x2|a2eq f(1,2)a2對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解設(shè)y|2x1|x2|eq blcrc (avs4alco1(3x1，x2，,x3，2xf(1,2)，,3x1，xf(1,2).)當(dāng)x5；當(dāng)2xeq f(5,2)；當(dāng)xeq f(1,2)時(shí)，y3x1eq f(5,2)，故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為eq f(5,2).因?yàn)椴坏仁絴2x1|x2|a2eq f(1,2)a2對任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以e

14、q f(5,2)a2eq f(1,2)a2.解不等式eq f(5,2)a2eq f(1,2)a2，得1aeq f(1,2)，故a的取值范圍為1，eq f(1,2).4.設(shè)不等式|x2|a(aN*)的解集為A，且eq f(3,2)A，eq f(1,2)A，(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值.解(1)因?yàn)閑q f(3,2)A，且eq f(1,2)A，所以eq blc|rc|(avs4alco1(f(3,2)2)a，且eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)2)a，解得eq f(1,2)aeq f(3,2).又因?yàn)閍N*，所以a1.(2)因?yàn)閨x1|x2|(x1

15、)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取到等號(hào)，所以f(x)的最小值為3.5.已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集為M.(1)求M；(2)當(dāng)a，bM時(shí)，證明：2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|eq blcrc (avs4alco1(2x，x1.)當(dāng)x1時(shí)，由2x4，得2x1；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)21時(shí)，由2x4，得1x2.綜上可得2x2，即M(2，2).(2)證明a，bM，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|x1|成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解

16、由柯西不等式知12(eq r(2)2(eq r(3)2a2(eq r(2)b)2(eq r(3)c)2(1aeq r(2)eq r(2)beq r(3)eq r(3)c)2即6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26，66(a2b3c)2，6a2b3c6，存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a2b3c|x1|成立.|x1|6，7x5.x的取值范圍是x|7x0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值.解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集為x|x3或x1.(2)由f

17、(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組eq blcrc (avs4alco1(xa，,xa3x0)或eq blcrc (avs4alco1(xa，,ax3x0，)即eq blcrc (avs4alco1(xa，,xf(a,4)或eq blcrc (avs4alco1(x0，所以不等式組的解集為x|xeq f(a,2).由題設(shè)可得eq f(a,2)1，故a2.8.(2015課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1時(shí)，不