911導(dǎo)數(shù)的基本知識

1、內(nèi)部資料，不得翻??！高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)講稿第 PAGE 10 頁 共 NUMPAGES 11 頁第 PAGE 11 頁 共 NUMPAGES 11 頁高中數(shù)學(xué)專題教學(xué)研習(xí)本資源由專人彭劍平整理，未經(jīng)允許不得復(fù)制影印，資源僅供教師研習(xí)，歡迎批評指正說明：Level A為基本（要求熟悉掌握），Level B為高考（?？家?guī)律總結(jié)），Level C為競賽（拓展的課外知識）注： 本資源僅提供pdf版本 交流： 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto:anson_ anson_專題： 導(dǎo)數(shù)的基本知識一、本章知識框架導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)

2、數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用幾何意義、物理意義單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的關(guān)系生活中的優(yōu)化問題三次函數(shù)的性質(zhì)、圖象與應(yīng)用最值極值二、本章考綱要求內(nèi)容ABC91 導(dǎo)數(shù)的概念 92 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 93 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 94 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值 95 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用 基本知識點(diǎn)（Level A）【1】導(dǎo)數(shù)的物理意義例題:一個(gè)小球自由下落，它在下落秒時(shí)的速度是多少？說明：（1）上例中，如果運(yùn)用物理所學(xué)地勻變速直線運(yùn)動地速度公式，可得這與上面用平均速度的極限求得的瞬時(shí)速度是一樣的 （2）這種速度的極限求法適用范圍就比較廣，只要知道運(yùn)動的規(guī)律（函數(shù)表達(dá)式），即可求出任一時(shí)刻的瞬時(shí)速

3、度一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是，則物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為:.如果無限趨近于時(shí)，無限趨近于某個(gè)常數(shù)，就說當(dāng)趨向于時(shí)，的極限為，這時(shí)就是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度. （3）物理意義：表示即時(shí)（瞬時(shí)）速度，表示加速度_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：一物體的運(yùn)動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為 答案：米/秒【2】導(dǎo)數(shù)的基本概念1圓的切線：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) 能不能把圓的切線推廣為一般曲線的切線呢？2曲線的切線 （1）觀察圖形得出：相切可能不止一個(gè)交點(diǎn)，有惟一交點(diǎn)的也不一定是相切所以對于一般的曲線，必須重新尋

4、求曲線切線的定義（2）一般地，已知函數(shù)的圖象是曲線，是曲線上的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿曲線逐漸向點(diǎn)接近時(shí)，割線繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)，即趨向于時(shí)，如果割線無限趨近于一個(gè)極限位置，那么直線叫做曲線在點(diǎn)處的切線此時(shí)，割線的斜率無限趨近于切線的斜率，也就是說，當(dāng)趨向于時(shí)，割線的斜率的極限為 小結(jié)：（1）函數(shù)從到的平均變化率：；（2）函數(shù)從到的平均變化率：；（3）導(dǎo)數(shù)定義：在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記作；【3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，相應(yīng)地切線的方程是【4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1利用定義求導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能加深對導(dǎo)數(shù)的理解，而且可以推導(dǎo)求

5、導(dǎo)公式，使導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式理解起來更加自然，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趨近”的求導(dǎo)步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，當(dāng)時(shí)，得導(dǎo)函數(shù)若求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，則將上面各步中的換為，或者考慮先求出該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再將代入【5】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2利用公式求導(dǎo)數(shù)（基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式）1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； ；2常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記憶技巧幾個(gè)常見的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較簡單，對于初學(xué)者來講比較新鮮，也容易記憶，能利用導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo)出求導(dǎo)公式，以后直接運(yùn)用就可以了 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式主要涉及到這幾類：常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、正弦、

6、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，公式的記憶是非常重要的一個(gè)方面 公式和比較好記，但對于公式和的記憶就比較難，特別是兩個(gè)常數(shù)，很容易混淆，應(yīng)從幾個(gè)方面深化對公式的理解和記憶： （1）區(qū)分公式的結(jié)構(gòu)特征既要注意與和與的區(qū)別，又要注意與的區(qū)別，找出差異記憶公式 （2）對于用和函數(shù)求導(dǎo)法則證明來幫助記憶，即求證對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式，證明如下：這樣知道了中的來歷，對于公式的記憶和區(qū)分是很有幫助的另外，一般的結(jié)果寫成，而不是（寫成這個(gè)會造成誤會）例如，注意下面寫法的區(qū)別：與，這兩個(gè)的實(shí)質(zhì)分別是與【6】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算3利用公式求導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)）1多項(xiàng)式函數(shù)的求導(dǎo)法則 ，這里是常數(shù)，即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為； ，特別地：2

7、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 ； ； （1）函數(shù)和、差的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的和、差的求導(dǎo)法則為，即“和（差）的導(dǎo)數(shù)，等于導(dǎo)數(shù)的和（差）”，這兩個(gè)法則同學(xué)們很容易掌握對于這個(gè)法則可以推廣為：A常數(shù)與函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)：（為常數(shù)）； B幾個(gè)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)（即對函數(shù)的和、差的求導(dǎo)法則的推廣）：（2）函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)對于函數(shù)的積的求導(dǎo)法則，要熟悉公式，對于函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，形式比較復(fù)雜，要特別注意分子中的號，也可利用來解決但還是希望記住求導(dǎo)法則：_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則 答案：（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 答案：（3）若對任意，則 答案：【7】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（理） 復(fù)合函數(shù)，的求導(dǎo)法則為：

8、 即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，求解時(shí)通常應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）一般我沒拿只會求簡單的符合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，僅限于形式的復(fù)合函數(shù)（2）有些函數(shù)看似是符合函數(shù)，但可利用求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化： 如：，等（3）利用符合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后，應(yīng)把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù) 拓展知識點(diǎn)（Level B）【1】切線的“過”與“在”問題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要以“切點(diǎn)坐標(biāo)”為橋梁，在求曲線的切線方程時(shí)，要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點(diǎn)處的切線，還是過某點(diǎn)的切線：曲線上某點(diǎn)處的切線只有一條，而過某點(diǎn)的切線不一定只有一條

9、，即使此點(diǎn)在曲線上也不一定只有一條在求過某一點(diǎn)的切線方程時(shí)，要首先判斷此點(diǎn)是在曲線上，還是不在曲線上，只有當(dāng)此點(diǎn)在曲線上時(shí)，此點(diǎn)處的切線的斜率才是對“二次拋物線”過拋物線上一點(diǎn)的切線拋物線上該點(diǎn)處的切線，但對“三次曲線”過其上一點(diǎn)的切線包含兩條，其中一條是該點(diǎn)處的切線，另一條是與曲線相交于該點(diǎn)_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）在曲線上移動，在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是 答案：（2）直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值為 答案：或（3）已知函數(shù)（為常數(shù)）圖象上處的切線與的夾角為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 答案：或（4）曲線在點(diǎn)處的切線方程是 答案：（5）已知函數(shù)，又導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于， 求

10、的值； 求過點(diǎn)的曲線的切線方程答案：；或【2】求導(dǎo)常用技巧 運(yùn)用和、差、積、商的求導(dǎo)法則和常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)在求導(dǎo)之前，先看能否利用代數(shù)、三角恒等變換對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后再求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，避免出錯 常見的技巧如下： （1）裂項(xiàng)：化一項(xiàng)為多項(xiàng) 如果函數(shù)的解析式整體為分式，而分子分母為自變量的多項(xiàng)式，為了減少運(yùn)算過程，可以考慮將解析式裂成多個(gè)比較簡單的代數(shù)式的和、差形式 如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （2）合并：減少因式個(gè)數(shù)如果函數(shù)的解析式是由多個(gè)因式的積構(gòu)成的函數(shù)，則可以考慮利用相關(guān)知識，減少函數(shù)解析式中的因式個(gè)數(shù)，從而可使問題得到快捷的解決如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)最終即求的導(dǎo)數(shù) （3

11、）有理化：化根式為有理式 如果函數(shù)的解析式中含有根式，則可以考慮利用分子或分母有理化進(jìn)行變形，化為有理式再求解 如：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【3】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系1相關(guān)關(guān)系（1）若,則為增函數(shù)；若,則為減函數(shù)；若恒成立,則為常數(shù)函數(shù)；若的符號不確定,則不是單調(diào)函數(shù)（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，反之等號不成立；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，反之等號不成立2相關(guān)解釋與為增函數(shù)的關(guān)系：能推出為增函數(shù)，但反之不一定如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但， 是為增函數(shù)的充分不必要條件時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系：若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有 當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件與為增函數(shù)的關(guān)系： 為

12、增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)椋礊榛虍?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性是為增函數(shù)的必要不充分條件函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題但在實(shí)際應(yīng)用中還會遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性是 答案：增函數(shù)（2）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍 答案：（3）已知函數(shù)為常數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是 答案：

13、（4）已知，設(shè)，試問是否存在實(shí)數(shù)，使在上是減函數(shù)，并且在上是增函數(shù)？答案：【4】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間的求解過程：已知法一：Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求導(dǎo)數(shù) ；Step 3: 解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間（或用列表法）法二：Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求方程的根，設(shè)根為；Step 3: 將給定區(qū)間分成個(gè)子區(qū)間，再在每一個(gè)子區(qū)間內(nèi)判斷的符號，由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個(gè)關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù)在

14、某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：設(shè)函數(shù)在處有極值，且，求的單調(diào)區(qū)間答案：遞增區(qū)間，遞減區(qū)間【5】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1極值的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近所有的點(diǎn)，都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作如果對附近所有的點(diǎn)，都有，就說是函數(shù)的一個(gè)極小值記作極大值和極小值統(tǒng)稱為極值2研究極值的步驟，已知Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求導(dǎo)數(shù) ；Step 3: 求解方程（設(shè)有根）；Step 4: 列表判斷個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號，判斷是否為極值，如果是，是極大還是極小值檢查在方程的根的左右的符號：“左正右負(fù)”在處取極大值；“左負(fù)右正”在處取極小值注意： 是極值點(diǎn)的充要條

15、件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是，即是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件或者說由“不能得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值” 但是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值 給出函數(shù)極大（小）值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”（“左負(fù)右正”）的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點(diǎn)一定要切記（是熱點(diǎn)問題也是重點(diǎn)問題）_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）函數(shù)的極值點(diǎn)是 答案：極小值點(diǎn)（2）已知函數(shù)有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案：或（3）函數(shù)處有極小值，則 答案：（4）已知函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，那么有最 值 答案：大，【6】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值1最值的定義函數(shù)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的“最大

16、值”；函數(shù)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的“最小值”注意與函數(shù)中的最值區(qū)分，函數(shù)中的最值僅僅是講道理，而導(dǎo)數(shù)中提到的最值指的是一種找到最值的快速方法這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)往簡單方向發(fā)展的原理2求函數(shù)在某閉區(qū)間上的最大、最小值Step 1: 分析的定義域；Step 2: 求導(dǎo)數(shù) ；Step 3: 求解方程（設(shè)有根）；Step 4: 比較、，最大的為，最小的為注意：極值最值；最值問題一般僅在閉區(qū)間上研究（實(shí)際應(yīng)用題除外，即應(yīng)用題中有開區(qū)間問題）特別注意： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時(shí)，要注意列表 要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值)，研究函數(shù)的性態(tài)，數(shù)

17、形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題_ 經(jīng)典案例 有疑問隨時(shí)mail例：（1）函數(shù)在上的最大值、最小值分別是 答案：；（2）用總長的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積答案：高為時(shí)，容積最大為（3）方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為 答案：（4）已知函數(shù)，拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在拋物線的上方，求的取值范圍答案：【7】導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）注意“曲線在點(diǎn)處的切線”還是“曲線過點(diǎn)的切線”的區(qū)別！（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型；（4）導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意 深化知識點(diǎn)（Level C）交流、素材提供 博客： HYPERLINK /ansontop /ansontop 郵箱： HYPERLINK mailto: