拉普拉斯變換及其性質(zhì)PPT通用課件

1、拉普拉斯變換及其性質(zhì)一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一個(gè)信號f(t)滿足狄里赫利條件時(shí)，便可構(gòu)成一對傅里葉變換式，即 當(dāng)函數(shù) f (t)不滿足絕對可積條件時(shí)，則其傅里葉變換不一定存在。此時(shí)，可采取給f(t)乘以因子et(為任意實(shí)常數(shù))的辦法，這樣即得到一個(gè)新的時(shí)間函數(shù) f (t)et，使其滿足條件則函數(shù) f (t)et 即滿足絕對可積條件了，因而它的傅里葉變換一定存在?？梢娨蜃觘t 起著使函數(shù) f (t)收斂的作用辦法，故稱et為收斂因子。1它是 +j的函數(shù)，可以寫為 設(shè)函數(shù) f (t)et 滿足狄里赫利條件且絕對可積(這可通過選取恰當(dāng)?shù)闹祦磉_(dá)到)，根據(jù)傅里葉變換的定義，則有F( +j)的傅里葉

2、反變換為即5.1 拉普拉斯變換2二拉普拉斯變換的定義s= +j，s為一復(fù)數(shù)變量，稱為復(fù)頻率。以上兩式分別稱為雙邊拉普拉斯變換和雙邊拉普拉斯反變換。5.1 拉普拉斯變換3正變換反變換記作 ， 稱為原函數(shù)， 稱為象函數(shù)采用 系統(tǒng)，相應(yīng)的單邊拉氏變換為考慮到實(shí)際信號都是有起因信號所以5.1 拉普拉斯變換4三拉氏變換的收斂域 收斂域：使F(s)存在的s 的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(region of convergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；5.1 拉普拉斯變換5例 信號拉普拉斯變換的收斂域(即收斂坐標(biāo)0)解: 要使該式成立，必須有 ， 故其收斂域?yàn)槿玸平面， 0= 。 0時(shí)該式成立，

3、 故其收斂域?yàn)閟平面的右半開平面， 0= 0。 0時(shí)上式成立， 故其收斂域?yàn)閟平面的右半開平面， 0= 0。要使該式成立，必須有a+ 0， 即 a。故其收斂域?yàn)?a以右的開平面， 0= a。6四一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全 s 域平面收斂 3.單位沖激信號74冪函數(shù) t nu(t)四一些常用函數(shù)的拉氏變換85正余弦信號收斂域收斂域四一些常用函數(shù)的拉氏變換96衰減的正余弦信號收斂域收斂域四一些常用函數(shù)的拉氏變換105.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性性質(zhì)延時(shí)特性尺度變換特性復(fù)頻移特性時(shí)域微分定理時(shí)域積分定理頻域微積分定理初值定理和終值定理卷積定理11一線性性質(zhì)解：例：已知求 的

4、拉普拉斯變換若 為常數(shù)則12二延時(shí)特性（時(shí)域平移）若則注意：(1)一定是 的形式的信號才能用時(shí)移性質(zhì)(2)信號一定是右移(3)表達(dá)式 等 所表示的信號不能用時(shí)移性質(zhì)13例：已知求因?yàn)樗越猓憾訒r(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）14解：4種信號的波形如圖例：已知單位斜變信號 的拉普拉斯變換為求的拉普拉斯變換二延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）15只有信號 可以用延時(shí)性質(zhì) 二延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）16時(shí)移性質(zhì)的一個(gè)重要應(yīng)用是求單邊周期信號的拉普拉斯變換。 結(jié)論：單邊周期信號的拉普拉斯變換 等于第一周期波形的拉普拉斯變換乘以 例：周期沖擊序列 的拉氏變換為二延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）17例解：已知s)F(tt u(t) f求,1) -

5、=解：例二延時(shí)性質(zhì)（時(shí)域平移）18三尺度變換時(shí)移和尺度變換都有:若則19四復(fù)頻移特性（s 域平移）若則例：求 的拉氏變換解：20五時(shí)域微分定理推廣：若則21六時(shí)域積分定理若則因?yàn)榈谝豁?xiàng)與 t 無關(guān)，是一個(gè)常數(shù)22例：求圖示信號的拉普拉斯變換 求導(dǎo)得 所以 解：六時(shí)域積分定理23七s 域微積分定理若 則 取正整數(shù)證明：對拉普拉斯正變換定義式 求導(dǎo)得 若則24七s 域微積分定理例解：因?yàn)樗?5八初值定理和終值定理若 和 拉氏變換存在，且則為真分式終值存在的條件:若 的拉氏變換存在，且則初值定理 的所有極點(diǎn)有負(fù)實(shí)部終值定理初值存在的條件: 當(dāng) t 0時(shí)，f (t)=0，且 f (t)不包含沖激信號及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)26由時(shí)域微分定理可知所以初值定理證明：所以八初值定理和終值定理27終值定理證明根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式八初值定理和終值定理28F(s)為真分式 的所有極點(diǎn)有負(fù)實(shí)部八初值定理和終值定理29例：確定下列拉普拉斯變換所對應(yīng)的時(shí)域因果信號的初值和終值初值 終值 初值 終值 注意應(yīng)用終值定理的條件是滿足的