新高二2022年暑假講義第12講 拋物線（原卷版）

1、第12講 拋物線新課標(biāo)要求1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)。2.了解拋物線的簡單應(yīng)用。知識梳理1拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)xeq f(p,2)y22px(p0)Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)xeq f(p,2)x22pyFeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)yeq f(p,2)x

2、22py(p0)Feq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)yeq f(p,2)3.拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖象性質(zhì)范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)焦點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(p,2)準(zhǔn)線xeq f(p,2)xeq f(p,2)yeq f(p,2)yeq f(p,

3、2)離心率e14.直線與拋物線y22px的位置關(guān)系及判定位置關(guān)系公共點(diǎn)判定方法相交1個(gè)或2個(gè)公共點(diǎn)k0或eq blcrc (avs4alco1(k0,0)聯(lián)立直線與拋物線方程，得到一個(gè)一元二次方程，記判別式為相切一個(gè)公共點(diǎn)0相離無公共點(diǎn)0名師導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)1 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1-1】根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)準(zhǔn)線方程為x1；(2)焦點(diǎn)為直線3x2y60與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；(3)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)【變式訓(xùn)練1-1】根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)準(zhǔn)線方程為y2；(2)焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于5；(3)過點(diǎn)(1，2)知識點(diǎn)2 根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程【例2-1】求

4、下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程(1)y24x；(2)y4x2；(3)3x22y0；(4)y2ax(a0)【變式訓(xùn)練2-1】(1)已知拋物線x2ay的準(zhǔn)線方程是yeq f(1,4)，則a_.(2)(全國卷)若拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓eq f(x2,3p)eq f(y2,p)1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p()A2 B3C4 D8知識點(diǎn)3 拋物線定義的應(yīng)用【例3-1】(1)若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,1)的距離與它到定直線l：3xy40的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D直線(2)已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為

5、()A.eq f(3,4) B1 C.eq C.eq f(5,4) Deq f(7,4)(3)(晉中市期末)已知直線l1：3x4y60，直線l2：y2，拋物線x24y上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1與直線l2距離之和的最小值是()A2 B3C4 Deq f(33,8)【變式訓(xùn)練3-1】(1)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，且與直線xeq f(p,2)相切，其中p0，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使|PF|PA|的值最小知識點(diǎn)4 拋物線的簡單幾何性質(zhì)【例4-1】設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，

6、準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足，如果直線AF的斜率為eq r(3)，那么|PF|()A.eq f(4r(3),3)B8C.eq f(8r(3),3) Deq f(16,3)【變式訓(xùn)練4-1】設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為該拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足若直線AF的斜率為eq r(3)，則PAF的面積為()A2eq r(3) B4eq r(3)C8 D8eq r(3)【變式訓(xùn)練4-2】已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，AOB的面積為eq

7、 r(3)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程知識點(diǎn)5 拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及應(yīng)用【例5-1】已知AB是拋物線y22px(p0)的過焦點(diǎn)F的一條弦，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：(1)|AB|x1x2p；(2)若AB的傾斜角為，則|AB|eq f(2p,sin2)；(3)x1x2eq f(p2,4)，y1y2p2；(4)eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)為定值eq f(2,p).【變式訓(xùn)練5-1】設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程知識點(diǎn)6 直線與拋物線的位置關(guān)系

8、的判斷【例6-1】已知拋物線的方程為y22x，直線l的方程為ykx1(kR)當(dāng)k分別為何值時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？【變式訓(xùn)練6-1】如果直線l過定點(diǎn)M(1,2)且與拋物線y2x2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程知識點(diǎn)7 弦長、中點(diǎn)弦問題【例7-1】過點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y28x的弦AB，且該弦恰被Q平分，求AB所在的直線方程及|AB|.【變式訓(xùn)練7-1】(臺州市月考)過拋物線y2mx(m0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|eq f(5,4)m，則m()A6 B8C10 D12知識點(diǎn)8 拋物線中的定點(diǎn)、最值問題【例8-

9、1】如圖，已知AOB的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線y22x的頂點(diǎn)O，A，B兩點(diǎn)都在拋物線上，且AOB90.(1)證明：直線AB必過一定點(diǎn)；(2)求AOB面積的最小值【變式訓(xùn)練8-1】已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(2，n)(n0)在拋物線C上，|PF|3，直線l過點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的最大值名師導(dǎo)練3.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程A組-應(yīng)知應(yīng)會1到定點(diǎn)F(1，1)的距離與到直線3x2y50的距離相等的點(diǎn)P的軌跡是()A拋物線 B橢圓C雙曲線的一支 D直線2已知拋物線y22px上一

10、點(diǎn)M(1，m)到其焦點(diǎn)的距離為5，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax8 Bx8Cx4 Dx43(杭州模擬)已知拋物線x24y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.eq r(10)C.eq C.eq r(15)D54若橢圓eq f(x2,3)eq f(4y2,p2)1(p0)的左焦點(diǎn)在拋物線y22px的準(zhǔn)線上，則p為()A3Beq r(3)C.eqC. r(6)D65(牡丹江一中期末)下列拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最小的是()Ay2x By22xC2x2y Dx24y6(運(yùn)城期末)若在拋物線y24x上存在一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到點(diǎn)A(2,1)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

11、A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，1)C(2，2eq r(2) D(2,2eq r(2)7在拋物線y22px(p0)中，p的幾何意義是 _8若拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21的焦點(diǎn)，則p_.9(南陽市一中開學(xué)考)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A，B為拋物線上的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則eq f(|MN|,|AB|)的最大值為_10設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)F，且與y軸交于點(diǎn)A，若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，求拋

12、物線的方程11已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，試判斷|FP1|，|FP2|，|FP3|是否成等差數(shù)列12(南陽一中檢測)已知定點(diǎn)A(1,0)，定直線l：x2，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離比點(diǎn)P到l的距離小1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)B(0,2)的直線l與(1)中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，若eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()0)的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P，過F作x軸的垂線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，有下列四個(gè)命題：PMN必為直角三角形；PMN不一定為直角三角形；直

13、線PM與拋物線相切；直線PM不一定與拋物線相切其中正確的命題為()A BC D5(鄭州模擬)過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|()A10 B8C6 D46(馬鞍山市階段測試)過拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若eq o(MF,sup6()4eq o(FN,sup6()，則直線l的斜率為()Aeq f(3,2) Beq f(2,3)Ceq f(3,4) Deq f(4,3)7(凱里市期末)設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，若A

14、BD90，且ABF的面積為9eq r(3)，則此拋物線的方程為_8如圖，已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F恰好是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦點(diǎn)，且兩曲線的公共點(diǎn)連線AB過F，則橢圓的離心率是_9若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|eq r(17)，|AF|3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_10拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸重合于橢圓9x24y236短軸所在的直線，拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程11已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜

15、角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(0，2)的距離比它到x軸的距離大2，記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)若直線y2xb與軌跡C恰有2個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍B組-素養(yǎng)提升(全國卷)已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若eq o(AP,sup6()3eq o(PB,sup6()，求|AB|.3.3.3 直線與拋物線的位置關(guān)系A(chǔ)組-應(yīng)知應(yīng)會1拋物線的對稱軸為x軸，過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長

16、為8，若拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()Ay28x By28xCy28x或y28x Dx28y或x28y2在拋物線y28x中，以(1，1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是()Ax4y30 Bx4y30C4xy30 D4xy303已知直線ykxk及拋物線y22px(p0)，則()A直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)B直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)C直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)D直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)4(鄭州市期中)已知F是拋物線C1：y22px(p0)的焦點(diǎn)，曲線C2是以F為圓心，以eq f(p,2)為半徑的圓，直線4x3y2p0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點(diǎn)A，B，C，D，則eq f(|AB|,|C

17、D|)()A16 B4C.eq f(8,3) Deq f(5,3)5已知拋物線y22px(p0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1 Bx2Cx1 Dx26(綿陽模擬)設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在y軸上，若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，且點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為eq f(3r(2),4)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(0，2) B(0,2)C(0，4) D(0,4)7直角ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在給定的拋物線y22x上，且斜邊AB和y軸平行，則直角ABC斜邊上的高的長度為_8直線yx1被拋物線y24x截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為_9拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)M(1，m)(m0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線eq f(x2,a)y21的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則雙曲線的離心率為_10(平頂山調(diào)研)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過拋物線C的焦點(diǎn)且斜率為k