概率與過程課件：第一章 概率論的基礎知識 第三節(jié) 頻率與公理化概率

1、 某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，P（A）=？?定義:事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)nA(頻數(shù)）次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A). 即 fn(A) nA/n1.3 頻率與公理化概率頻率的性質 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若A1,A2,Ak兩兩不相容，則 fn(A1A2 Ak) fn(A1) +fn(Ak).(4) 隨機波動性。(5) 當n充分大時，具有穩(wěn)定性。歷史上曾有人做過試驗,試圖證明拋擲勻質硬幣時,出現(xiàn)正反面的機會均等。 實驗者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.518

2、1 （德摩根） Buffon 4040 2048 0.5069 （蒲 豐）K. Pearson 12000 6019 0.5016（K 皮爾遜）K. Pearson 24000 12012 0.5005實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時， fn(A) 逐漸 趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率. 此為概率的統(tǒng)計定義.概率是頻率的穩(wěn)定值;頻率是概率的反映, 用頻率去解釋概率.例如: P(A)=0.8,則應理解為在觀察A而做的2000次試驗中,事件A的出現(xiàn)次數(shù)應在1600次左右.兩者的關系第五章 伯努利大數(shù)定律卡爾.皮爾遜（Karl Pearson，18571936）英國數(shù)學家、哲

3、學家、現(xiàn)代統(tǒng)計學的創(chuàng)始人之一、生物統(tǒng)計學家、應用數(shù)學家，又是名副其實的歷史學家、科學哲學家、倫理學家、民俗學家、人類學家、宗教學家、優(yōu)生學家、彈性和工程問題專家、頭骨測量學家，也是精力充沛的社會活動家、律師、自由思想者、教育改革家、社會主義者、婦女解放的鼓吹者、婚姻和性問題的研究者，亦是受歡迎的教師、編輯、文學作品和人物傳記的作者。一句話，他是19和20世紀之交的活躍的哲人科學家和百科全書式的學者。1857年3月27日生于倫敦，1936年4月27日卒于金港灣。1879年畢業(yè)于劍橋大學，并獲優(yōu)等生稱號。在校期間，他除了主修數(shù)學外，還學習法律，1881年，他取得了法庭律師資格和法學學士學位，隨后，

4、他去德國海登堡大學和柏林大學留學，1882年獲文學碩士學位。接著又獲博士學位。歷任倫敦大學應用數(shù)學系主任、優(yōu)生學教授、哥爾登實驗室主任，并長期兼任生物統(tǒng)計學雜志和優(yōu)生學年刊的編輯，英國皇家學會會員。建立皮爾遜曲線族，用數(shù)學方法描述自然現(xiàn)象，對發(fā)展數(shù)理統(tǒng)計理論及其應用有重要貢獻。他是生物統(tǒng)計學的奠基人。在哲學上，宣揚“人是自然規(guī)律的創(chuàng)造者”，科學規(guī)律是人的認識能力的產物，主要著作有科學的基本原理、進化論的數(shù)學研討等。 皮爾遜在數(shù)學上的主要貢獻是在數(shù)理統(tǒng)計學方面。1894年,他提出了矩估計方法,其核心思想就是用樣本矩去估計總體矩,用樣本矩的函數(shù)估計總體矩的同一函數(shù).他首先提出了頻率曲線的理論。18

5、95年，他有由經驗得出了頻率分布的一般性質，選定常微分方程來描述頻率曲線。通過解這個微分方程可導出13種曲線形式。 1900年皮爾遜提出了擬合優(yōu)度檢驗。這是一種很有用的方法，在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計理論中占有重要地位。他在1896年發(fā)表的題為回歸、遺傳和隨機交配的論文中，導出了乘積動差相關系數(shù)公式和其他兩種等價的公式，提出了計算方法，還以三個變量為例，闡述了一般相關理論。他還進一步發(fā)展了回歸與相關的理論，成功的創(chuàng)建了生物統(tǒng)計學，提出了樣本總體概念。皮爾遜對個體變異性、統(tǒng)計量的概率誤差進行了深入的研究。特別應當指出的事，皮爾遜于1900年創(chuàng)辦的生物計量學雜志，對推動數(shù)理統(tǒng)計學科的發(fā)展，產生了十分深遠的影響

6、。 皮爾遜建立了世界上第一個數(shù)理統(tǒng)計學的實驗室，吸引了一大批訓練有素的數(shù)理統(tǒng)計學家來到這個中心實驗室研究工作，培養(yǎng)了一大批數(shù)理統(tǒng)計學家，推動了這個學科的發(fā)展。 皮爾遜在倫敦大學學院應用數(shù)學和力學哥德斯米德教席教授時，顯示出堅忍不拔的工作勁頭和異乎尋常的多產性。他的專業(yè)職責是講授靜力學、動力學、力學、近代幾何、畫法幾何和投影幾何，他用直觀的作圖法深入淺出地講解力學問題，很受初學者歡迎。皮爾遜還在為學科學技術的學生講應用數(shù)學，為學工程的學生講制圖，他也講過天文學，并用得到的資助在學院的草坪上建立了兩個小天文臺，以訓練學生觀察天象。概率的公理化定義1.定義：若對隨機試驗E所對應的樣本空間S中的每一事

7、件A，均賦予一實數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1) 非負性：P(A) 0；(2) 規(guī)范性（歸一性）：P(S)1； (3) 可列可加性：設A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率。(2) 有限可加性：設A1，A2，An , 是n個兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An); (4) 事件差： A、B是兩個事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB) (3

8、) 單調不減性：若事件AB，則 P(A)P(B) (1)概率的性質(5) 加法公式：對任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) (6) 互補性三個事件的加法公式例1解: 某市有甲,乙,丙三種報紙, 訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%, 其中有10%的人同時定甲、乙兩種報紙. 沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙. 求從該市任選一人, 他至少訂有一種報紙的概率.解: 設A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報P(A)=30% , P(B)=30% , P(C)=30%P(AB)=10% ,P(AC)=0 , P(BC)=0, P(ABC)=0例2 在110這10個自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1）取到的數(shù)能被2或3整除的概率，（2）取到的數(shù)既不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的數(shù)能被2整除而不能被3整除的