量子力學(xué)課件：第二章 量子力學(xué)原理(Ⅰ)波函數(shù)和 Schr??dinger 方程1

1、2.5 一維定態(tài)問題2.5-1 無限深方勢阱2.5-2 一維諧振子2.5-3 勢壘穿透2.5-1 無限深方勢阱勢能函數(shù)為(1)勢阱外:束縛在勢阱中(2)勢阱內(nèi):定態(tài)薛定諤方程為:o aV(x)IIIIII記方程的解為:體系的定態(tài)波函數(shù)為:波函數(shù)滿足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件: 有限;單值;連續(xù)由 在x=0和x=a處連續(xù),得故得:代入k的定義式, 可得體系定態(tài)能量取值為:能量取值是量子化的,分立的能級相應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)為:故歸一化常數(shù) :得:歸一化的定態(tài)波函數(shù)為:1.分立能譜， ，n為能量量子數(shù).討論:(n2)，能量再次低的態(tài)為第二激發(fā)態(tài)(n=3),依次類推能量最低的態(tài)稱為基態(tài)(n=1)，能量次低的態(tài)為第一激發(fā)

2、態(tài)基態(tài)能量為:2.體系的零點(diǎn)能:對于一維無限深勢阱量子現(xiàn)象4.沒有簡并:一一對應(yīng)3.束縛態(tài)：在勢阱中,運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是兩端固定的駐波 (參見圖2.5-2)激發(fā)態(tài)定態(tài)波函數(shù)正交歸一性補(bǔ)例2.4-2:一維無限深方勢阱已知初始時(shí)刻(t=0)的歸一化波函數(shù)為求:(1)t0時(shí)刻粒子的狀態(tài)波函數(shù)(2)粒子能量的可能取值,取值幾率和期望值(3)在t=0和t0時(shí),在 區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的幾率解:(1)解法一：故在一維無限深勢阱中改寫為兩邊乘以后對空間積分即t0時(shí)刻粒子的狀態(tài)波函數(shù)即解法二：與得相比較同樣可求得粒子在t時(shí)刻的狀態(tài)波函數(shù)(2)粒子能量的可能取值,取值幾率和期望值能量的可能取值相應(yīng)的取值幾率期望值另一種算法：利

3、用下式計(jì)算式中式中而(3) 在 發(fā)現(xiàn)粒子的幾率2.5-3 勢壘穿透0 aV(x) V0I II IIIE勢場V(x)為:能量為E的粒子沿x軸正方向入射到勢壘被散射經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)：不能越過量子力學(xué)的觀點(diǎn): 有一定幾率穿透勢壘?？紤] 情況：上述三個(gè)區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為：因?yàn)?E0,V0E, 所以 為實(shí)數(shù) 上面方程改寫成:解為令解的單值、有限條件自然滿足由于在xa的III區(qū)沒有反射波，所以C2=0，波函數(shù)改寫為1. 波函數(shù)連續(xù)綜合2. 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)入射、反射和透射的幾率流密度入射波 幾率流密度矢量：入射波幾率流密度其中負(fù)號(hào)表示與入 射方向相反。反射波透射波透射系數(shù) 、反射系數(shù)

4、描述：粒子穿透勢壘的幾率 和被勢壘反射的幾率反射波幾率流密度透射波幾率流密度透射系數(shù) : 透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比反射系數(shù) ： 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比即使EV0，在一般情況下，透射系數(shù)T并不等于零。由幾率守恒應(yīng)該有同理，反射系數(shù)為入射粒子一部分穿透勢壘，另一部分則被勢壘反射回來。0 aV(x)xV0入射波+反射波透射波Tunnel effect透射系數(shù)討論:當(dāng)時(shí),則透射系數(shù)近似為:大，小設(shè)粒子質(zhì)量為m,在一維空間勢場 中運(yùn)動(dòng)，2.5-2 一維諧振子方程的建立Hamilton算符所以，當(dāng)勢能函數(shù)為則定態(tài) Schrdinger 方程可寫為：引入無量綱變量代替x，則方程

5、可改寫為：令其中(2.5.14)記 ，其解為：只能取負(fù)號(hào)方程的漸進(jìn)解所以方程(14)解可取如下形式將 代回方程(14)，得到 滿足的方程 滿足的方程漸近解：即當(dāng) 時(shí)波函數(shù) 的漸進(jìn)形式。此時(shí) ，于是方程(14)近似為： 須使 滿足單值、有限和連續(xù) 在=0的鄰域把 展開為Taylor級數(shù)方程求解代入式(16)得得到系數(shù)的關(guān)系式在 時(shí)系數(shù)比為(2.5-18)(2.5-16)方程的通解為而在 時(shí)系數(shù)比為故在 足夠大處， 的行為是代入得而當(dāng) 有即寫為故無窮級數(shù) 需中斷為有限級數(shù)，即Hermite多項(xiàng)式設(shè)系數(shù)不為零的最高次冪為n,由(18)式知當(dāng)n為偶(奇)數(shù)時(shí)，令 ,適當(dāng)選擇 ,使最高次冪對應(yīng)的系數(shù)為給出 為一偶(奇)次多項(xiàng)式(2.5-20)將(20)中的 代回到(16)式中，得到的厄密多項(xiàng)式為：厄密方程將 回代到均勻分布,間隔為定態(tài)能級和定態(tài)波函數(shù)給出一維諧振子定態(tài)能譜基態(tài)能量:零點(diǎn)能:為歸一化常數(shù)，定態(tài)波函數(shù)為：歸一化波函數(shù)能級沒有簡并得n = 0n = 1n = 2-3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2圖示定態(tài)波函數(shù)參見P109圖2-5-3(a)參見圖2-5-3(b)經(jīng)典禁區(qū)(量子效應(yīng))經(jīng)典:粒子只允許出現(xiàn)在 區(qū)域內(nèi)對于能量為的在量子態(tài)下,粒子可能出現(xiàn)在經(jīng)典的禁區(qū) 內(nèi)(1)求能量期望值 ；（注： 用 和 來表示）(2)證明 。(*):入