復變函數(shù)與積分變換：1-1 復數(shù)及其表示

1、復變函數(shù)與積分變換課程特點：注意復變與微積分不同之處。5. 積分變換公式多，計算量大。3. 形式上一元函數(shù)，實質二元。2. 復-實-復。6. 類型問題。復變函數(shù)積分變換總結：應用廣泛。學好本門課程并不容易。4. 基本公式， 定理掌握。參考書目1 鐘玉泉 ， 復變函數(shù)論， 高等教育出版社2 復變函數(shù)與積分變換習題解答3 E.B.Saff, A.D.Snider等，復分析基礎及工程應用，機械工業(yè)出版社4 自測題第一節(jié) 復數(shù)及其表示一、復數(shù)的概念及代數(shù)運算二、復數(shù)的幾何表示三、復數(shù)的積與商四、小結與思考一、復數(shù)的概念及代數(shù)運算z = x + iy虛部實部虛數(shù)單位復數(shù)：或 z = x+ yi.實部和虛

2、部分別1.復數(shù)的概念對虛數(shù)單位的規(guī)定: 實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù). 兩復數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等. 復數(shù) z 等于 0 當且僅當它的實部和虛部同時等于0.練習答案：2. 復數(shù)的代數(shù)運算1. 兩復數(shù)的和(差):2. 兩復數(shù)的積:3. 兩復數(shù)的商: 共軛復數(shù)的性質:以上各式證明略.例1解例2解例3 解二、復數(shù)的幾何表示1. 復平面的定義2. 復數(shù)的模(或絕對值)例4 求復數(shù)的實部、虛部和模.解 因為所以所以3. 復數(shù)的輻角說明輻角不確定.輻角主值的定義:無定義擴展：幅角的計算公式4. 利用平行四邊形法則求復數(shù)的和差 兩個復數(shù)的加減法運算與相應的向量的加減

3、法運算一致.5. 復數(shù)和差的模的性質利用直角坐標與極坐標的關系復數(shù)可以表示成復數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復數(shù)可以表示成復數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹6.復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示例5 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為指數(shù)表示式為故三角表示式為指數(shù)表示式為例6解(三角式)(指數(shù)式)三、乘積與商命題1兩復數(shù)相乘就是把模相乘, 輻角相加.從幾何上看, 兩復數(shù)對應的向量分別為說明由于輻角的多值性, 兩端都是無窮多個數(shù)構成的兩個數(shù)集.對于左端的任一值, 右端必有值與它相對應.例如，思考：命題2商的模等于模的商; 商的輻角等于輻角之差.練習：= 1例7解例8證兩邊同時開方得思考：已知z1,

4、 z2非零，什么時候等式相等?答案：例9解例10 證明：三角形的內角和是.證明：設三角形三個頂點為 z1，z2，z3,對應的三個于是 = =頂角分別為， =oxy由于= 1所以 + + = +2k ( k為某整數(shù))由假設0 , 0 , 0 ,所以0 + + 3,故 k= 0, 即 + + = .四、小結與思考 應熟練掌握復數(shù)乘積與商的運算. 在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便: 學習的主要內容有復數(shù)的模、輻角; 復數(shù)的各種表示法. 重點是幾種表示法之間的相互轉化.思考題復數(shù)為什么不能比較大?。看鸢福悍庞辰Y束，按Esc退出.作業(yè)：P11 1(2)(4), 3(3)(4)Leonhard EulerBorn: 15 April 1707 in B