初中數(shù)學圓的基本概念與性質(zhì)(解析版)A4

1、初中數(shù)學必有師教育學科教師輔導講義學員姓名：張弈年級：初三輔導科目：初中數(shù)學學科教師：遲婷上課時間2018-03-10 08:00-09:30授課主題圓的基本概念與性質(zhì)知識圖譜錯題回顧圓的相關(guān)概念知識精講知識精講一圓的相關(guān)概念1.圓的概念（ 1）描述性定義:在一個平面內(nèi)，線段OA 繞它固定的一個端點O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點O 叫做圓心，OA 叫做半徑；（ 2）集合性定義: 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點叫做圓心，定長1初中數(shù)學叫做半徑；（ 3）圓的表示方法 : 用符號 e 表示圓，定義中以 O 為圓心， OA 為半徑的圓記作“讀作“圓

2、 O ”；4）同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；能夠重合的兩個圓叫做等圓2.弦與弧的相關(guān)概念：（ 1）弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦；（ 2）直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的 2 倍；（ 3）弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距；（ 4）弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧以A、B 為端點的圓弧記作e O ”，?，讀作ABAB ；5）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等??；6）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；7）優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣??；8）弓形：由

3、弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形3.圓心角與圓周角1）圓心角 :頂點在圓心的角叫做圓心角；將整個圓分為 360 等份，每一份的弧對應 1 的圓心角，我們也稱這樣的弧為 1 的弧；圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等；2）圓周角 :頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角三點剖析一考點 ：圓的相關(guān)概念二重難點 ：1.圓的兩種定義的理解；2.弦心距、優(yōu)弧、圓周角等陌生概念的理解與記憶三易錯點 ：1.圓是一條封閉曲線并不包含所圍成圖形內(nèi)部部分；2.弓形只是由弧和弦所構(gòu)成不包含半徑；3.同圓、等圓、同心圓的聯(lián)系與區(qū)別題模精講題模一：圓的相關(guān)概念2初中數(shù)學例 1.1.1如圖， ABC中， A=50，

4、O是 BC的中點，以O 為圓心， OB長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點 D， E，連接 OD， OE，測量 DOE的度數(shù)是（）A50B60C70D80例 1.1.2如圖所示，一圓弧過方格的格點A、 B、 C，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A 的坐標為（ -2 ， 4），則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）A （-1 ， 2）B （ 1，-1 ）C （ -1 ， 1）D （ 2， 1）例 1.1.3 設想有一根鐵絲套在地球的赤道上，剛好拉緊后，又放長了15 米，并使得鐵絲均勻地離開地面則下面說法中比較合理的是（）A你只能塞過一張紙B你只能塞過一只書包C你能鉆過鐵絲D你能直起身體走過鐵絲隨堂練習隨

5、練 1.1過圓上一點可以做出圓的最長弦的條數(shù)是（）A 1 條B 2 條C3 條D 無數(shù)條隨練 1.2如圖， e O 的直徑 AB 與弦 CD 的延長線交于點E ，若 DEOB ， AOC74 ，則E隨練 1.3點 O在直線 AB上，點 A1、A2、 A3，在射線OA上，點 B1、 B2、 B3，在射線OB上，圖中的每一個實線段和虛線段的長均為一個單位長度，一個動點M從 O點出發(fā)，按如圖所示的箭頭方向沿著實線段和以O 為圓心的半圓勻速運動，速度為每秒1 個單位長度，按此規(guī)律，則動點M 到達3初中數(shù)學A101 點處所需時間為_秒垂徑定理知識精講一垂徑定理1.定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分

6、弦所對的兩條弧2.推論 1：1）平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧推論 2：圓的兩條平行線所夾的弧相等應用垂徑定理與推論進行計算時，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有： r 2d 2( a )2 ，根據(jù)此公式，在a ， r ， d 三個量中知道任何兩個量就可以求出第三個量2rOdAa CB2補充說明：做題過程中，定理與推論1（ 1）可以直接使用，而推論1（ 2 ）、（ 3）需證明后再使用三點剖析一考點 ：垂徑定理二重難點 ：利用垂徑定

7、理求圓的半徑、弦長和弦心距三易錯點 ：對垂徑定理的理解不夠，不會正確添加輔助線運用直角三角形進行解題題模精講4初中數(shù)學題模一：垂徑定理例 2.1.1如圖，將半徑為2cm 的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB 的長為（）A2cmB3 cmC23 cmD25 cm例 2.1.2在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖若油面的寬AB=160cm，則油的最大深度為（）A40cmB60cmC80cmD 100cm例 2.1.3 如圖，已知在扇形OAB中，AOB 90，半徑 OA10 ，正方形 FCDE的四個頂點分別在?和半徑 OA、 OB上，求 CD的長AB隨堂練習隨練 2.

8、1如圖， O的弦 AB垂直半徑OC于點 D， CBA=30， OC=3cm，則弦 AB 的長為（）A9cmB3cmCcmDcm5初中數(shù)學隨練 2.2 如圖， ABC 內(nèi)接于 e O ， D 為線段 AB 的中點，延長OD 交 e O 于點 E ，連接 AE ，?1?BE ，則下列五個結(jié)論AB DE， AE BE， OD DE， AE2AEBAEOC ，正確結(jié)論的是隨練2.3如圖工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示則這個小圓孔的寬口AB的長度是（）A5mmB6mmC8mmD10mm隨練2.4如圖，在梯形ABCD 中， A

9、BDC ， ABBC ， AB2cm ， CD4cm 以 BC 上一點O 為圓心的圓經(jīng)過A 、 D 兩點，且AOD90 ，則圓心 O 到弦 AD 的距離是多少？弧，弦，圓心角之間的關(guān)系知一推二知識精講一圓心角、弧、弦之間的關(guān)系1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弧也相等6初中數(shù)學若 AOB?A B ， AM A M A OB ，則 ABA B ， AB2.推論：同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等二應用1.在解答圓的問題時，若遇弧相等常轉(zhuǎn)化為它們所對的圓心角相等或弦相等來解答；2.有弦的中點時常作弦心距，利用垂徑定

10、理及圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系來證題；另外，證明兩弦相等也常作弦心距；3.在計算弧的度數(shù)時，或有等弧的條件時，或證等弧時，常作弧所對的圓心角；4.有弧的中點或證弧的中點時，常有以下幾種引輔助線的方法：（ 1）連過弧中點的半徑；（2）連等弧對的弦；（3）作等弧所對的圓心角三點剖析一考點 ：弧、弦、圓心角、弦心距的關(guān)系二重難點 ：弧、弦、圓心角、弦心距的關(guān)系三易錯點 ： 1.兩條弧存在倍數(shù)關(guān)系，但所對應的弦并不是存在相同的倍數(shù)關(guān)系；2.判斷題中，注意題中前提條件，必須是在等圓或同圓中題模精講題模一：弧，弦，圓心角之間的關(guān)系知一推二例 3.1.1在 O 中，圓心 O 到弦 AB 的距離為 AB

11、 長度的一半，則弦AB所對圓心角的大小為（）A 30B 45C 60D 90例 3.1.2如圖， CD是 O的直徑，弦AB CD于 E， BCD=25，則下列結(jié)論錯誤的是（）A AE=BEBOE=DEC AOD=50D?D是 AB 的中點例 3.1.3 如圖，以ABC 的邊 BC 為直徑的 e O 分別交 AB、 AC 于點 D、 E ，連結(jié) OD、OE ，若A 65 ，則 DOE7初中數(shù)學例 3.1.4如圖，點A、 B、C、 D 都在 O上， OC AB， ADC=301）求 BOC的度數(shù)；2）求證：四邊形 AOBC是菱形隨堂練習隨練 3.1 下列三個命題：圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

12、垂直于弦的直徑平分弦；相等的圓心角所對的弧相等其中真命題的是（ ）ABCD隨練 3.2如圖， A， B， C， D均為 O上的點，且ABCD ，則下列說法不正確的是（）AAOBCODBAOCBODCACBDDOCCD隨練 3.3如圖，點A、 B、 C、 D 在 O上， OB AC，若 BOC=56，則 ADB=_度8初中數(shù)學隨練 3.4如圖， O是 ABC的外接圓，弦BD交 AC于點 E，連接 CD，且 AE=DE， BC=CE1）求 ACB的度數(shù)；2）過點 O作 OF AC于點 F，延長 FO交 BE于點 G， DE=3， EG=2，求 AB的長自我總結(jié)課后作業(yè)作業(yè) 1有一圓形紙片，要用折疊

13、的方法找出其圓心，至少要折疊（）9初中數(shù)學A1 次B2 次C3 次D4 次作業(yè) 2如圖，在Rt ABC中， C=90， AB=10，若以點C 為圓心， CB長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點 D，則 AC的長等于（）A 5 3B 5C 5 2D 6作業(yè) 3 下列說法正確的有（）在同圓或等圓中能夠完全重合的弧叫等??；在同一平面內(nèi)，圓是到定點距離等于定長的點的集合；度數(shù)相等的弧叫做等?。粌?yōu)弧大于劣?。恢苯侨切蔚耐庑氖瞧湫边呏悬cA B C D 作業(yè) 4 如圖， O 的半徑為1，點 A 是半圓上的一個三等分點，點?的中點， P 是直徑 MNB 是 AN上的一個動點，則PA PB 的最小值為 _作業(yè) 5如

14、圖，已知四邊形ABCD是邊長為 4 的正方形，以AB 為直徑向正方形內(nèi)作半圓，P為半圓上一動點（不與A、 B 重合），當PA=時， PAD為等腰三角形作業(yè) 6如圖，AB是半圓O的直徑，為弦， 于，過點O作 交半圓O于點，過ACOD ACDOE ACE點 E作 EF AB于 F若 AC2 ，則 OF的長為（）1B3D 2AC 12410初中數(shù)學作業(yè)7如圖， O 的直徑為10cm，弦AB=8cm， P 是弦AB 上的一個動點，則OP 的長度范圍為_cm OP _cm作業(yè) 8在 O中， AB是 O的直徑， AB=8cm， ACCDBD ，M是 AB上一動點， CM+DM的最小值是 _作業(yè) 9如圖，已

15、知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S， AB CD， ADC=60，設 AB=3x1）用 x 表示 AD和 CD；2）用 x 表示 S，并求 S 的最大值；3）如圖，當 S 取最大值時，等腰梯形 ABCD的四個頂點都在 O 上，點 E 和點 F 分別是 AB 和CD的中點，求 O的半徑 R 的值作業(yè) 10如圖是由兩個長方形組成的工件平面圖（單位：mm），直線l 是它的對稱軸，能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是mm11初中數(shù)學作業(yè) 11在 O中，點C是劣弧AB的中點，則線段AB和線段 AC的大小為（）A AB2 ACBAB2 ACCAB2ACD無法確定作業(yè) 12如圖，在O中，的度數(shù)為，

16、是弧上一點，、是弧AB上不同的兩點（不AOBm CACBD E與 A、B 兩點重合），則DE 的度數(shù)為（）A mB180m90mmCD222作業(yè) 13 將一張半徑為4的圓形紙片（如圖）連續(xù)對折兩次后展開得折痕AB、 CD，且 ABCD ，垂足為 M（如圖），之后將紙片如圖翻折，使點B 與點 M重合，折痕EF 與 AB 相交于點 N，連接 AE、 AF（如圖），則AEF的面積是 _作業(yè) 14如圖， AB是 O的直徑，過點B 作 O的切線 BM，弦 CDBM，交 AB 于點 F，且 DA = DC ，連接 AC， AD，延長 AD交 BM于點 E（ 1）求證： ACD是等邊三角形；（ 2）連接 O

17、E，若 DE=2，求 OE的長答案解析圓的相關(guān)概念12初中數(shù)學題模精講題模一：圓的相關(guān)概念例 1.1.1【答案】 D【解析】 如圖，根據(jù)題意得： OC=OB=OD=OE ， A=50， B+ C=130， CEO+ BDO=130 ， AEO+ ADO=230 ， EOD=360 A AEO ADO=360 50 230=80例 1.1.2【答案】 C【解析】如圖所示，AW=1， WH=3 ，AH=12+3 2= 10 ；BQ=3， QH=1 ，BH=12+3 2= 10 ；AH=BH ，同理， AD=BD ，所以 GH 為線段 AB 的垂直平分線，易得 EF 為線段 AC 的垂直平分線，13

18、初中數(shù)學H 為圓的兩條弦的垂直平分線的交點，則 BH=AH=HC ，H 為圓心于是則該圓弧所在圓的圓心坐標是（-1， 1）故選 C例 1.1.3【答案】 D【解析】2R 2r2 h 15m ，h15 m2 隨堂練習隨練 1.1【答案】 A【解析】過圓上一點只能做一條最長的弦為直徑隨練 1.274【答案】3【解析】連接 OD ，共能得到兩個等腰三角形，C 為E 的 2倍，繼而由外角AOC 得到 E 隨練 1.3【答案】（ 101+5050）【解析】動點 M 從 O 點出發(fā)到 A4 點，在直線AB 上運動了 4 個單位長度，在以O 為圓心的半圓運動了（ ?1+?2+?3+）單?4位長度， 100=4 25，動點 M 到達 A 100點處運動的單位長度=4 25+（ ?1+ ?2+ +）?100=100+5050 ，動點 M 到達 A 101點處運動的單位長度=100+1+5050 ，動點 M 到達 A 101點處運動所需時間=（101+5050 ） 1=（101+5050 ）秒故答案為：（101+5050）垂徑定理題模精講題模一：垂徑定理例 2.1.1【答案】 C【解析】14初中數(shù)學解：作 ODA