古代的數(shù)學(xué)迷宮

1、古代的數(shù)學(xué)迷宮圖形數(shù)古希臘人曾把數(shù)看作是位置不定的點的集合。甚至畢達哥拉斯還說過“數(shù)是萬物之源”的那樣毫無道理的話。這樣，就不得不說，認為宇宙是由點構(gòu)成的所謂原子論，也可以歸結(jié)到來源于“點=數(shù)的集合”的古希臘思想。 若把數(shù)當(dāng)作是點的集合，那么，以多少個點表示數(shù)的問題，最終將變成可以看得見的圖形數(shù)是怎樣表示出來的問題。例如，數(shù)3可以用3個點來表示，也可用等分成三個單位長度來表示。如圖11。然而古希臘人更關(guān)心的是什么數(shù)能夠排列成正三角形、正方形等等美麗的圖形。畢達哥拉斯曾用小石頭，如圖12那樣，從上往下1個、2個、3個、4個地依次擺成正三角形，他指著小石頭叫別人數(shù)。當(dāng)那個人數(shù)完1、2、3、4時，畢

2、達哥拉斯卻說：“好啦，你說到的4，我看實際是10?！碑呥_哥拉斯把10看成是一個神圣不可侵犯的數(shù)。他認為1表示點，2表示線，3表示面（三角形），4表示體（三角錐），總括起來這個美麗的正三角形數(shù)10，就可以表現(xiàn)宇宙。像10這樣可以排列出美麗的正三角形的數(shù)是很多的，這些數(shù)都可以叫做三角數(shù)（如圖13）。設(shè)以Tn來表示第n個三角數(shù)，則Tn就等于1、2、3n個自然數(shù)的和，把它列成數(shù)學(xué)式就是：Tn=123n能排列出正方形的數(shù)叫做四角數(shù)（如圖14），四角數(shù)構(gòu)成了平方數(shù)。若以Sn表示第n個四角數(shù)，則數(shù)學(xué)式就是：Sn=n2但是我們從圖1-5可以看出，四角數(shù)是由1開始只把奇數(shù)加起來構(gòu)成的。用數(shù)學(xué)式表示就是：Sn=1

3、35（2n-1）=n2與四角數(shù)相對應(yīng)，若從2開始，只把偶數(shù)加起來就變成所謂的長方數(shù)（如圖16），長方數(shù)也叫矩形數(shù)。以Rn表示第n個長方數(shù)，它的數(shù)學(xué)式就是：Rn=242n=n（n1）在作四角數(shù)和長方數(shù)時，可以用和角尺一樣的圖形。這種角尺狀圖形，數(shù)學(xué)上叫磬折形，其中表示的數(shù)叫磬折形數(shù)。兩個相鄰磬折形數(shù)之差，實際上是數(shù)列的級差。在三角數(shù)Tn、四角數(shù)Sn、長方數(shù)Rn之間存在著各種各樣的關(guān)系。如圖17所示，兩個三角數(shù)的和就等于一個長方數(shù)。2Tn=n（n1）從而，下式是可以成立的。 假如我們仔細地觀察一下下面的兩個數(shù)列，不難發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個三角數(shù)之和是等于一個四角數(shù)的。這種關(guān)系，如圖18，用數(shù)學(xué)式表示，則

4、可為：Tn-1Tn=Sn=n2讓我們再看看圖19，圖中用符號表示的數(shù)是S5；用表示的數(shù)是S6，由圖可以看出4T51=S5S6從而，一般可以認為下式是成立的。4Tn1=SnSn1如果把含有符號的全體考慮進去的話，則很清楚地看出下式也是成立的。8Tn1=S2n1希臘人還研究過如圖110所示的五角數(shù)及圖111所示的六角數(shù)。他們把五角數(shù)排列成1、5、12、22、35把六角數(shù)排列成1、6、15、28、45設(shè)Pn表示第n個五角數(shù)；Hn表示第n個六角數(shù)。我們只要稍微觀察一下這兩個圖，就不難看出，以下的數(shù)學(xué)公式成立。Pn=SnTn-1，Hn=2Sn-n假如你觀察不出來，你可以把五角數(shù)中的那部分看成是Sn，把那

5、部分看成是Tn-1，兩者相加不就是Pn了嗎；另外，可以把六角數(shù)中的部分數(shù)兩遍，于是就可以把全體看成兩個四角數(shù)，然后再減去多數(shù)一遍的部分不就成了Hn了嗎。下面讓我們看看求三角數(shù)T1、T2Tn之和的情況吧。為了醒目起見，我們把T1、T2、T3Tn先各乘上3，然后把3T1、3T2、3T33Tn排列成如圖112所示的樣子，使之成為左右橫向是Tn行；上下縱向是n2列的長方形。于是由3（T1+T2+Tn）=（n+2）Tn可以得到下邊比較易看的關(guān)系式：然后，我們還可以看看求四角數(shù)S1、S2Sn之和的情況。因為每個四角數(shù)，都是由1起，依次只把奇數(shù)加起來的和表示的，所以S1、S2Sn的和就可以排列出如圖113所

6、示的摩天樓樣形狀。圖中表示奇數(shù)編號的四角數(shù)S1、S3、S5表示偶數(shù)編號的四角數(shù)S2、S4若在摩天樓的兩側(cè)各加上S1、S2Sn的話，那么，從上到下的Tn行與從左到右的2n1列所形成的長方形就可以表示3S1、3S23Sn之和。因而3（S1S2Sn）=（2n1）Tn故可將上式變成也就是可以得到下述的公式：13世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家楊輝用堆積小立方體的方法證明了上述公式。他把12個、22個、32個n2個小立方體堆積成A、B、C三個階梯狀的四角錐形。把這三個四角錐粘結(jié)在一塊，如圖115所示，在C上就會凸出來Tn個小立方體，如把這些凸出的小立方體切去一半放在A上，就可以形成一個底面是由作圖得出的結(jié)果，所以也得到以

7、下公式：現(xiàn)在看看關(guān)于13、23n3的求和公式。讓我們首先參看圖116左上角的那個最小的中間有點的小正方形，我們把它看成是1的正方形，設(shè)它各邊長為一單位，然后把它相鄰的兩邊各延長2單位，再作一個每邊長為12=3的正方形。這樣在原來1的正方形右邊添加的磬折形數(shù)就是2個22的正方形，也就是222=23。為什么可以這樣說呢？我們只要注意到圖中打有雙重斜線的地方，正好和空白的地方相抵消，于是就可以說添加的就是兩個邊長各是2的正方形，其中一個打右斜線，另一個打左斜線。然后在相鄰的兩個邊上再延長3個單位長，作一個每邊長為123=6的正方形。于是，添加的磬折形數(shù)就是33（3個32）。進一步，相鄰兩邊再延長4個

8、單位長，又出現(xiàn)了空白抵消掉雙斜線部分，添加了4個42，磬折形數(shù)成為43。這樣作出的正方形，因為每邊都是1234單位長度，所以就成為：13233343=（1234）2其一般通式，可以證明為：1323n3=（123n）2希臘人不僅僅研究了把點排列在平面上的多角數(shù)，而且還研究了把點排列在空間的錐形數(shù)。如果把點排列成三角錐的形狀，它的樣子就如圖117所示。其第n個三角錐數(shù)是再看看排列成四角錐形狀的圖形，就可以得出其第n個四角錐數(shù)應(yīng)是：古希臘人不但由一個頂點引出射線，并在射線上取點作出多角數(shù)及錐形狀，而且還由圖形的中心點引出射線，依靠射線作出了有心多角形。其有心三角形，如圖119所示是：1、4、10、1

9、9、31、46圖中三條實線，每兩條線間都有三個點，連同線上的點，排列成一個三角數(shù)。其中中心點是三個三角數(shù)共有的，實線上的點是相鄰兩個三角數(shù)共有的。因此第n個有心三角數(shù)的通式應(yīng)為：有心四角數(shù)如圖120所示為：1、5、13、25、41同理，第n個有心四角數(shù)，可以用下式表示：4Tn-11=2n（n-1）1前邊的圖19也是一個有心四角數(shù)。你不妨翻開前邊看看，它對你理解有心四角數(shù)是會有幫助的。此外，還可以按上述方法，進一步研究有心五角數(shù)及有心六角數(shù)等等。那么，第n個有心五角數(shù)應(yīng)該是由5Tn-11給出，而第n個有心六角數(shù)則是由6Tn-11給出。如果在第n個有心六角數(shù)外邊，再附加上6個第n-1號的三角數(shù)，那就可以作出一個星形六角數(shù)（如圖122所示），其第n個星形六角數(shù)，可以由12Tn-11給出。我們從卡道納所編的數(shù)學(xué)游戲中得知：可以構(gòu)成平方數(shù)的星形六角數(shù)有一些性質(zhì)是很有意思的。例如，若令第n個星形六角數(shù)6n（n-1）1等于一個平方數(shù)m2，即：m2=6n（n-1）1然后將上式的左邊乘3再加2，其值就可以表示成三個連續(xù)自然數(shù)的平方和，同時還可以表示成兩個連續(xù)自然數(shù)的平方和，用數(shù)學(xué)式表示就是：3m22=（m-1）2m2（m1）2=（3n-2）2（3n-1）