-高數(shù)期中試卷答案

1、2010-2011 高等數(shù)學(xué) C（二）期中考試試卷（答案）姓名學(xué)號(hào)班級(jí)成績(jī)注：該試卷中含有微分方程的題目，不屬于本次期中考試內(nèi)容。一、選擇填空題（每空3 分，共 36 分）3ln21、lim x 0 xln(1t3)dt= 2 ；0txsinx解：上式 =lim x 0ln(1x3)x等價(jià)無窮小代換lim x 0 xx2221cos2/x2、曲線y1與直線yx y2所圍的平面圖形的面積為x2解：積分區(qū)域D:1 1y2，所以所求面積S2(y1)dy3ln2xy1y2y3、1x2sinxdx = 0 ；1xf( ) x dx=31解：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分 為零4、已知函數(shù)f x ( )可導(dǎo)，

2、f(1)2，1f( ) x dx5，則00解：根據(jù)分部積分：1xf( ) x dx1xdf(x)xf(x )11f(x)dx25300005、已知y 1x xee2x,y2x xeex,y 3x xee2xex是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，則該方程的通解為 該微分方程對(duì)應(yīng)的二階線性齊次微分方程為，。；6、方程x2y21所表示的曲面類型是橢圓柱面47、設(shè)f uv uv )v22 u ，則f x y =xy8、二重極限( , x y lim ) (0,0)x2xyy2不存在；解：由于ylim x 00 xxkx21k2，與 k 有關(guān)，所以極限不存在2k2xkkx9、函數(shù)zf x y 在點(diǎn)P

3、x y 偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的 D A 充分非必要條件 B 必要非充分條件 C 充要條件 D 無關(guān)條件10、二元函數(shù)f x y ( , )sinxy x x0,yR，則xf(0,3)不存在20,x0，yR解：xf(0,3)lim x 0f(x 3, )xf(,0 3 )lim x 0sin3x02xx11、設(shè)函數(shù)zy2x，則全微分 dz=2y2xlnydx2xy2x1dy解：dz2y2xlnydx2xy2x1dy二、計(jì)算題（共52 分）1、(6 分 )計(jì)算0 x1dx3x4解：被積函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)所以0 x1dxxx4t2t2t3dt33ln23x4122、(6 分 )計(jì)算2| x

4、dx 2x22解：利用定積分的奇偶性2x|x dx 2 x22xx2dx22x2dxln(2x2)2ln322202x03、(6 分 )計(jì)算01x4dx)21arctanx204xdx2解：01x4dx10 x21(x22 4 、 (6 分) 計(jì)算e 1sin(lnx dx解：1sin(ln ex dx ln x t0 1sin t de t ( e t sin t ) 10 0 1e t cos tdt1t t 1 1te sin 1 0 cos tde e sin 1 e cos t 0 0 e sin tdt所以 1sin(ln ex dx 12 ( e sin 1 e cos 1 )1

5、5、(6 分 )求微分方程 xy 2 y sin , ( ) 1的特解6、(6 分 )求微分方程 x dyy ln y 0 的通解。dx7、(8 分 )設(shè) z f (ln x xy ), 其中 f u v 具有兩階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 2zx y解：zx f 1 1 f 2 yx1zxy ( f 11 0 f 12 x ) f 2 y ( f 21 0 f 22 x )xf 12 f 2 yx f 228、(8 分 )設(shè)三元方程 xyz e z x確定兩元隱函數(shù) z z x y ，求 z, zx yz x解：令 F ( x , y , z ) xyz e，z x z xF x yz e , F y xz , F z xy ez x所以：z x F x yz ez x , z y xzz xF z xy e xy e三、（共 8 分）當(dāng) a 取何值時(shí)，曲線 y x 與直線 2x a x a 1 及 x 軸所圍平面圖形面積最小；并求上述面積最小的平面圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。解：S(a)a1x2dx1 3(a1 )34a31dy32aS(a)1 )20a(aa22方法一：V(1)211/(y)2024