隨機(jī)過程課件：第二章 隨機(jī)過程的概念與基本類型

1、第二章 隨機(jī)過程的概念與基本類型隨機(jī)過程的定義和統(tǒng)計描述隨機(jī)過程分布律和數(shù)字特征復(fù)隨機(jī)過程隨機(jī)過程基本類型12隨機(jī)變量與隨機(jī)過程在每次試驗的結(jié)果中，以一定的概率取某個事先未知，但未確定的數(shù)值。在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常要涉及到在試驗過程中隨時間t而改變的隨機(jī)變量。例如，接收機(jī)的噪聲電壓，此外，還包括生物群體的增長問題；電話交換機(jī)在一定時間段內(nèi)的呼叫次數(shù)；一定時期內(nèi)的天氣預(yù)報；固定點處海平面的垂直振動；等等2在第Wi次試驗中測量獲得的噪聲電壓Xt是一個樣本函數(shù)34定義2.1設(shè)（,F,P）是概率空間，T是給定的參數(shù)集，若對每個tT，由一個隨機(jī)變量X(t,e)與之對應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族X(t,e),t T

2、是（,F,P）上的隨機(jī)過程。隨機(jī)過程X(t,e),t T可以認(rèn)為是一個二元函數(shù)。對固定的t，X(t,e)是（,F,P）上的隨機(jī)變量；對固定的e， X(t,e)是隨機(jī)過程X(t,e),t T的一個樣本函數(shù)。5X(t)通常表示為在時刻t所處的狀態(tài)。X(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間或相空間。通常我們可以根據(jù)隨機(jī)變量X(t)在時間和狀態(tài)上的類型區(qū)分隨機(jī)過程的類型。在時間和狀態(tài)上都連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)過程6在時間上連續(xù)，狀態(tài)上離散離散型隨機(jī)過程7在時間上離散，狀態(tài)上連續(xù)連續(xù)型隨機(jī)序列8在時間上離散，狀態(tài)上離散離散型隨機(jī)序列910有限個隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)過程統(tǒng)計規(guī)律有限維分布函數(shù)族設(shè)

3、XT=X(t),tT是隨機(jī)過程，對任意n1和t1,t2, ,tn T，隨機(jī)向量(X(t1),X(t2), ,X(tn)的聯(lián)合分布函數(shù)為這些分布函數(shù)的全體稱為XT=Xt,t T的有限維分布函數(shù)。1011設(shè)XT=X(t),tT是隨機(jī)過程，如果對任意tT，EX(t)存在，則稱函數(shù)為XT的均值函數(shù)，反映隨機(jī)過程在時刻t的平均值。若對任意tT，E(X(t)2存在，則稱XT為二階矩過程，而稱為XT的協(xié)方差函數(shù)，反映隨機(jī)過程在時刻t和s時的線性相關(guān)程度。為XT的方差函數(shù)，反映隨機(jī)過程在時刻t對均值的偏離程度。為XT的相關(guān)函數(shù)，反映隨機(jī)過程在時刻t和s時的線性相關(guān)程度。數(shù)字特征11對于二階矩隨機(jī)過程，其協(xié)方差

4、函數(shù)和相關(guān)函數(shù)一定存在，且有如下關(guān)系：例題2.5設(shè)隨機(jī)過程其中，Y和Z是相互獨立的隨機(jī)變量，且EY=EZ0，DY=DZ=2，求X(t)的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。1213兩個隨機(jī)過程之間的關(guān)系互協(xié)方差函數(shù)互相關(guān)函數(shù)定義：設(shè)X(t),tT，Y(t), tT是兩個二階矩過程，則稱為X(t),tT與Y(t), tT的互協(xié)方差函數(shù)，稱為X(t),tT與Y(t), tT的互相關(guān)函數(shù)。13兩個隨機(jī)過程X(t),tT與Y(t), tT的互不相關(guān)定義互協(xié)方差函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系例題2.8：設(shè)X(t)為信號過程，Y(t)為噪聲過程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。例題2.7設(shè)有

5、兩個隨機(jī)過程X(t)=g1(t+)和Y(t)=g2(t+)，其中g(shù)1(t)和g2(t)都是周期為L的周期方波，是在(0,L)上服從均勻分布的隨機(jī)變量，求互相關(guān)函數(shù)RXY(t,t+)的表達(dá)式。14復(fù)隨機(jī)過程定義：設(shè)Xt, tT，Yt, tT是取實數(shù)值的兩個隨機(jī)過程，若對任意tT其中 ，則稱Zt, tT為復(fù)隨機(jī)過程。復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征函數(shù)均值函數(shù)方差函數(shù)相關(guān)函數(shù)協(xié)方差函數(shù)相互之間的關(guān)系15復(fù)隨機(jī)過程的性質(zhì)復(fù)隨機(jī)過程XT,tT的協(xié)方差函數(shù)B(s,t)具有性質(zhì)：（1）對稱性（埃米特性）：（2）非負(fù)定性，對任意ti T及復(fù)數(shù)ai，i=1,2, ,n，n1，有說明：1. 如果函數(shù)f(s,t)具有非負(fù)定性

6、，那么它必具有埃米特性。2. 若f(s,t)為一非負(fù)定函數(shù)，則必存在一個二階矩過程（并可要求它為正態(tài)過程）以給定的f(s,t)為協(xié)方差函數(shù)。16兩個復(fù)隨機(jī)過程Xt，Yt的互相關(guān)函數(shù)定義為互協(xié)方差函數(shù)定義為例題2.9設(shè)隨機(jī)過程 ，其中X1,X2, ,Xn是相互獨立的，且服從N(0,k2)的隨機(jī)變量，w1,w2, ,wn是常數(shù)，求Zt,t0的均值函數(shù)m(t)和相關(guān)函數(shù)R(s,t)。17隨機(jī)過程的幾種基本類型二階矩過程正交增量過程獨立增量過程馬爾可夫過程正態(tài)過程維納過程平穩(wěn)過程1819二階矩過程19定義：設(shè)X(t),tT是零均值的二階矩過程，若對任意的t1t2t3t4 T，有則稱X(t)是正交增量過

7、程。例題設(shè)X(t),tT是正交增量過程，T=a,b為有限區(qū)間，且規(guī)定X(a)=0，當(dāng)astb時，求其協(xié)方差函數(shù)。正交增量過程20定義：設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，若對任意的正整數(shù)n和t1t2tn T，隨機(jī)變量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)是互相獨立的，則稱X(t),tT是獨立增量過程。特點：獨立增量過程在任一個時間間隔上過程狀態(tài)的改變，不影響任一個與它不相重疊的時間間隔上狀態(tài)的改變。獨立增量過程2122正交增量過程獨立增量過程定義依據(jù)：不相重疊的時間區(qū)間上增量的統(tǒng)計相依性互不相關(guān)相互獨立正交增量過程獨立增量過程正交增量過程獨立增量過程二階矩存在，

8、均值函數(shù)恒為零22定義：設(shè)X(t),tT是獨立增量過程，若對任意st，隨機(jī)變量X(t)-X(s)的分布僅依賴于t-s，則稱X(t),tT是平穩(wěn)獨立增量過程。例題2.10考慮一種設(shè)備一直使用到損壞為止，然后換上同類型的設(shè)備。假設(shè)設(shè)備的使用壽命是隨機(jī)變量，令N(t)為在時間段0,t內(nèi)更換設(shè)備的件數(shù)，通?？梢哉J(rèn)為N(t)，t0是平穩(wěn)獨立增量過程。平穩(wěn)獨立增量過程23定義：設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，若對任意正整數(shù)n及t1t2, 0，且其條件分布則稱X(t),tT是馬爾可夫過程。馬爾可夫性系統(tǒng)在已知現(xiàn)在所處狀態(tài)的條件下，它將來所處的狀態(tài)與過去所處的狀態(tài)無關(guān)。馬爾可夫過程24定義：設(shè)X(t),tT是隨機(jī)

9、過程，若對任意正整數(shù)n及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是n維正態(tài)隨機(jī)變量，則稱X(t),tT是正態(tài)過程或高斯過程。特點：在通信中應(yīng)用廣泛；正態(tài)過程只要知道其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)，即可確定其有限維分布。正態(tài)過程25定義：設(shè)W(t),-t0則稱W(t),-t 為維納過程，也稱布朗運動過程。定理：設(shè)W(t),-t 是參數(shù)為2的維納過程，則對任意t(-, )，W(t) N(0,2|t|);對任意-a s,t ,維納過程維納過程是正態(tài)過程的一種特殊形式26定義：設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，如果對任意常數(shù)和正整數(shù)n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)與(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相同的聯(lián)合分布，則稱X(t),tT為嚴(yán)平穩(wěn)過程或俠義平穩(wěn)過程。定義：設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過程，如果X(t),tT是二階矩過程；對任意tT，mX(t)=EX(t)=常數(shù)；對任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)則稱X(t),tT為廣義平穩(wěn)過程，簡稱為平穩(wěn)過程。平穩(wěn)過程27廣義