離散數學：6-4 同態(tài)及同構

1、第六章 群 、環(huán)、域123代數系統(tǒng)群的同態(tài)及同構子群及其陪集567群的定義環(huán)域的特征 素域4多項式有限域86.4.1 同 態(tài) 映 射 定義. 設(G, *)是一個群, (K, )是一個代數系統(tǒng)，稱G到K的一個映射是一個同態(tài)映射，如果對G中任意元素a，b ，有 (a * b)=(a) (b)注意：這個映射既不一定是單射也不一定是滿射。設(G, *)是一個群, (K, )是一個代數系統(tǒng)， 是G到K中的一個同態(tài)映射， G=(G) ，則 (1) (G , )是一個群;(2)G的單位元1就是G的單位元1的映像(1) ， 即1= (1)；(2) 對任意a G，(a)-1 = (a-1) 。 稱G和G同態(tài)，

2、記為GG。 定理6.4.1證明(1) 因為群G非空，至少1G，故至少(1)G，即G非空。(2) 任取aG，bG， 往證abG。 因有a,bG, 使得 a=(a), b=(b)， 故按的同態(tài)性， ab= (a)(b)=(ab)，而ab G, 因而ab =(ab) (G),即 ab G。 (3) 往證G中有結合律成立：任取a ,b,cG，往證 a (bc)=(ab)c。因有a,b,cG, 使得 a =(a), b=(b), c=(c)，故按的同態(tài)性， a (b c) = (a)(b)(c) = (a(bc) (ab)c= (a)(b)(c) = (ab)c) 因群G中有結合律成立,所以 a(bc)

3、=(ab)c。于是 (a(bc)=(ab)c)。因此， a (b c)=(ab)c。(4) 往證G有左壹而且就是(1)， 即證對于任意的aG，有(1)a=a。 因有aG，使得 a =(a) ，按的同態(tài)性 (1)a = (1)(a)=(1a)=(a)=a。(5) 往證G中任意元素(a) 有左逆且就是(a-1)。由aG，且G是群，知a-1G，故( a-1 ) G。由的同態(tài)性 (a-1)(a)=(a-1a)=(1)。綜上，G做成一個群， G的壹1=(1)，G中(a)的逆是(a-1)。 例 設（G，*），（K，+）是兩個群，令 ：xe，xG，其中e是K的單位元。則是G到K內的映射，且對a，bG，有 （

4、a*b）=e=（a）+ （b）。即，是G到K的同態(tài)映射，G（G）。 （G）=e是K的一個子群。這個同態(tài)映射是任意兩個群之間都有的。 例 設（Z，+）為整數加法群，（C*，）是所有非零復數在數的乘法下作成的群， 令 ：nin，nZ， 其中i是C的虛數單位。則是Z到C*內的一個映射，且對m,nZ，有(m+n)=im+n=imin=(m)(n)。 即，是Z到C*的同態(tài)映射，Z（Z）。（Z）=1，-1，i，-i是C*的一個子群。6.4.2 同 構 映 射 定義. 設(G, *)是一個群， (K, )是一個代數系統(tǒng)，是G到K內的一個同態(tài)映射，如果是G到(G)上的1-1映射，則稱是同構映射。稱G與(G)同

5、構，記成G (G)。 例 設(R+，)是正實數乘法群, (R，+)是實數加法群。令 ：xlogx， xR+，則是R+到R上的1-1映射,且對a,bR+， (ab)=log(ab)=log a+log b =(a)+(b)。故是R+到R上的同構映射。Log x是以e為底的x的對數,若取(x)=log2x，或若取(x)=log10 x，則得到R+到R上的不同的同構映射。由此可見，群間可存在好多個甚至是無限多個同構映射。此例中（R+，）（R，+），如果將R+換成R*，即 換成非零實數集,那么（R*,）與（R,+）能否同構呢？例. （R*，）與（R，+）不可能同構。證明：用反證法。假設（R*，）與（R

6、，+）同構，可設映射為R*到R上的一個同構映射，于是必有：1 0， -1 a， a 0。從而，(1)=(-1)(-1) =(-1)+(-1)=a+a=2a。則有2a=0，a=0，與a 0矛盾。故，原假設不對，（R*，）與（R，+）不可能同構。 例. 無限循環(huán)群同構于整數加法群。證明： 設G=（g）是無限循環(huán)群，Z為整數加法群，則對aG，n Z，使得a=gn， 令f：a n。不難驗證 f 是G到Z上的1-1映射；任取a,bG，則存在i,jZ，使得a=gi， b=gj，f(gi gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj),因此， f 是G到Z上的同構映射，即G Z。 自同構映射

7、定義. 設G是一個群，若是G到G上的同構映射，則稱為自同構映射。例. 恒等映射，稱為恒等自同構映射。例. 設（Z，+）是整數加法群，令：n -n， nZ ，則是Z的一個自同構映射。例. 設G是一個Abel群，將G的每個元素都映到其逆元素的映射：a a-1 ( aG）是G的一個自同構映射:(ab)= (ab)-1 = b-1a -1 =a-1b -1=(a)(b) 6.4.3 同 態(tài) 核 定義. 設是G到G上的一個同態(tài)映射，命N為G中所有變成G中1的元素g的集合，記為-1(1)，即 N=-1 ( 1)=g gG ,(g)=1則稱N為的核。例. 設G是整數加法群， G是模3的加法群：0，1，2，：

8、x x（mod 3），xG ，則是G 到G上的同態(tài)映射。的核為3G。 群的第一同態(tài)定理定理6.4.2 設是群G到G上的一個同態(tài)映射，于是，的核N是G的一個正規(guī)子群， 對于G的任意元素a，-1 ( a)=x|xG ,(x)= a是N在G中的一個陪集，因此，G的元素和N在G中的陪集一一對應。 證明先證N是G的子群。 1）證N非空。因為(1)=1，所以1N。 2）若aN，bN，往證ab-1N。由（a）=1，（b）=1， 可得 (ab-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1 =1(1)-1=1，故ab-1N。 再證N是G的正規(guī)子群，即證對于任意的gG，gNg-1 N。事實上，(gNg-1)=(g)(

9、N)(g-1) =(g)1(g)-1=(g)(g)-1=1。故gNg-1 N。 （任取x gNg-1 , 則有n N，使得x= gng-1 ,故(x)=(gng-1 ) =(g)(n) ) (g-1 ) = (g)1) (g-1 )=(g) (g)-1=1，因此， x N。最后證明：若aG而(a)=a,往證 -1(a)=Na。事實上，對任意的bG，b-1(a)iff （b）=a iff (b)(a)-1=1 iff (b)(a)-1 = (b)(a -1 ) =(ba-1)=1 iff b a-1N iff bNa 引理1設N是群G的正規(guī)子群。若A，B是N的陪集，則AB也是N的陪集。證明：因為

10、N是正規(guī)子群，故Nb=bN，今設A=aN，B=bN，則AB=aNbN=abNN=abN，所以AB也是N的陪集。群的第二同態(tài)定理定理6.4.3 設N是群G的正規(guī)子群，于是按照陪集的乘法，N的所有陪集作成一個群 。命 ：aaN，a G,則是G到 上的一個同態(tài)映射，且的核就是N。 稱為G對于N的商群，記為GN。若G是有限群，則商群中元素個數等于N在G中的指數，即等于陪集的個數。 證明首先證明G 。1)顯然， 是G到 上的映射。2）任取a,bG， (a)(b)=aNbN=abN=(ab)，故是G到 上的同態(tài)映射.因此， 是一個群。其次證明的核是N。因 單位元就是N本身，所以，核=g(g)=N, gG

11、=ggN=N, gG=ggN=N。 例. 設G是整數加法群，N=5I= ,-10,-5,0,5,10, ，則N是G的正規(guī)子群。令 為G中N的所有陪集作成的集合： =,-10,-5,0,5,10, =N=0+N， =,-9,-4,1,6,11,=1+N， 用表示陪集間的加法，則 =(1+N)(4+N)=(1+4)+N=N= ， 在陪集加法下是一個群，若命：aa+N，則是G到 上的同態(tài)映射, 且的核就是N。 群的第三同態(tài)定理 定理6.4.4 設是群G到G上的一個同態(tài)映射，若的核為N，則G G/N。例. 設G是整數加法群， ：xx（mod 5），xG ，則 G=（G）=0，1，2，3，4是模5的加法

12、群，是G 到G上的同態(tài)映射。的核為N=5G， 則G G/N。 證明因為G的元素和G/N的元素一一對應，設在這個一一對應之下，G的元素a和b分別對應G/N的元素aN 和bN： aaN， b bN。于是a=（a），b=（b），而且ab=（ab），可見G的元素ab所對應的G/N的元素是abN=aNbN： ab aNbN。所以G和G/N同構。 證法二：建立映射：a -1(a), aG。往證是G到G/N上的同構映射。證是G到G/N內的映射。任取aG,則有aG,使a=(a)。由定理6.5.2，知-1(a)=aN。由定義，(a)=-1(a)=aNG/N。證是滿映射。任取aNG/N，設(a)=a，則aG，由定

13、理6.5.2，知(a)=-1(a)=aN。證是單射。任取a,bG,若ab，證(a) (b)。若不然, (a) =(b)。設a=(a), b=(b), a,bG,于是，-1(a)=-1(b)，即aN=bN。又a=a1aN,故abN，即有nN，使a=bn。因此， (a)=(bn)=(b)(n)=(b)，與ab矛盾。證是G到G/N的同態(tài)映射。任取a,bG,設a=(a),b=(b), a,bG,則(ab)=(a)(b)= (ab)=-1(ab) =abN=aNbN=-1(a)-1(b)=(a)(b).綜上， 是G到G/N上的同構映射，即G G/N。G中子群與G中子群的關系 設為群G到G上的同態(tài)映射。結

14、論1. 若H為G之子群，則 H=(H)亦為G之子群。 證明：由H為G之子群，知H為群，再 由為群G到G上的同態(tài)映射知，為群H到H上的同態(tài)映射。由定理6.5.1知， H亦為群，而 H=(H)G，故為G之子群。結論2. 若H為G之子群，則 H=-1（H）亦必為G之子群，其中-1(H)= x| xG ,(x)H 。證明：-1(H)非空，因(1)=1H, 所以1-1(H)；若a，b-1 ( H)，即(a),(b)H，因H為子群，故(ab-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1H，因之 ab-1-1(H)。 思考題(-1(H) 等于H嗎 ？-1(H)等于H嗎 ？例.G是模12的整數加法群，G=0,1,

15、11, G是模4的整數加法群，G=0,1,2,3,令：x x(mod 4)， xG，則為G到G上的同態(tài)映射， 的核為N=0,4,8。取G的子群H=0,6，則 H=(H)=0,2是G的子群，而 -1(H)=-1 (0,2 ) =0,4,8,2,6,10=H+N=0,6+0,4,8若取H=0,2， -1(H)=0,4,8,2,6,10, (-1(H)= 0,2= H。結論3. -1(H)=HN證明：(1)任取aHN，則有hH ， nN，使得a=hn。故 (a)=(hn)=(h)(n)=(h)(H)，因此， a-1(H) , HN-1 (H)；(2) 任取a-1(H)，往證aHN。因(a)=h(H)

16、，又(H)為H之映像，故必有hH使(h)=h=(a)， 即(h-1a)= (h)-1(a)=(1)，故，h-1aN，即有nN，使得h-1a=n， 故a=hnHN, -1(H) HN ；總之,-1（H）=HN。 結論4.若 N H ，則HN=H, 即 -1(H)=H。證明： （1） 因1N，故H =H1 HN。（2） 若 N H ，則HN HH=H。因此， HN=H。定理6.4.5G與N之間的子群和G的子群一一對應，大群對應大群，小群對應小群，正規(guī)子群對應正規(guī)子群。證明：一一對應已證: 若 N H ，則-1(H)=H。(-1(H) =H。只需證明大群對應大群，小群對應小群，正規(guī)子群對應正規(guī)子群。

17、 設H1， H2是群G的子群，且H1 H2，往證(H1) (H2)。 任取h2(H2)，則有h2H2，使得(h2)=h2.由H1 H2，知h2H1，故(h2)(H1)， 即h2(H1)。設H1，H2是群G的子群，且H1H2，往證-1(H1) -1(H2)。 任取h2-1(H2)，于是有(h2)H2，而H1H2，故(h2)H1，所以h2-1(H1)，-1(H1) -1(H2)。 證明H是G的正規(guī)子群必要而且只要 H=(H)是G的正規(guī)子群。若H是G的正規(guī)子群，任取 G中元素g，往證gHg-1H。 任取xgHg-1 ，則不妨設x=ghg -1=(g)(h)(g)-1 =(g)(h)(g -1)=(ghg -1) 由H是G的正規(guī)子群，知gHg-1H，而ghg -1 gHg-1，