第九章柱體的扭轉(zhuǎn)

1、第九章 柱體的扭轉(zhuǎn)一.內(nèi)容介紹 圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題通過平面假設(shè)可以解決。但是非圓截面柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)，由于構(gòu)件軸線不再具有對稱性質(zhì)，因此平面假設(shè)不再成立。本章討論非圓截面柱體的扭轉(zhuǎn)。首先從位移解法入手，討論橫截面的翹曲，建立柱體扭轉(zhuǎn)的基本方程和邊界條件；然后 ，討論柱體扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力解法；最后應(yīng)用薄膜比擬探討柱體扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力分布形式。 位移解法在柱體扭轉(zhuǎn)中，由于橫截面面力邊界條件的表達(dá)形式導(dǎo)致求解困難，因此柱體扭轉(zhuǎn)仍然是應(yīng)用應(yīng)力解法。通過扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，求解橢圓截面和矩形柱體的扭轉(zhuǎn)問題。二.重點(diǎn) 1. 扭轉(zhuǎn)位移解法與翹曲函數(shù)； 2. 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力解法與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)； 3. 薄膜比擬法； 4. 典型柱體扭轉(zhuǎn)問

2、題解。知識點(diǎn) HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010201.HTM 扭轉(zhuǎn)位移假設(shè) HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020201.HTM 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù) HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030201.HTM 薄膜比擬 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030203.HTM 薄膜等高線與切應(yīng)力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040202.HTM 橢圓截面切應(yīng)力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth

3、/09050201.HTM 矩形截面柱體的扭轉(zhuǎn) HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09050204.HTM 矩形截面柱體扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060202.HTM 開口薄壁桿扭轉(zhuǎn) HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060204.htm 局部切應(yīng)力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010202.HTM 扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù) HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010203.HTM 扭轉(zhuǎn)邊界條件 HYPERLINK /

4、zskj/3011/TXLX/ninth/09020202.HTM 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)描述的邊界條件 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09030202.HTM 薄膜垂度與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040201.HTM 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn) HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09040203.htm 橢圓截面翹曲 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09050203.HTM 扭轉(zhuǎn)級數(shù)解 HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09060201

5、.HTM 狹長矩形的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力9.1 扭轉(zhuǎn)問題的位移解學(xué)習(xí)思路: 本節(jié)討論自由扭轉(zhuǎn)問題的位移解法。 首先建立自由扭轉(zhuǎn)的位移假設(shè)：一是剛截面假設(shè)；二是扭轉(zhuǎn)的翹曲位移與軸線方向坐標(biāo)無關(guān)。通過上述假設(shè)，將柱體的扭轉(zhuǎn)位移用橫截面的翹曲表示，因此使得問題的基本未知量簡化成為翹曲函數(shù)(x，y)。 基本未知量翹曲函數(shù)(x，y)。確定后，通過基本方程，將應(yīng)力分量、應(yīng)變分量用翹曲函數(shù)表示。 位移表示的平衡微分方程要求翹曲函數(shù)滿足調(diào)和方程。因此只要選取的翹曲函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，自然滿足自由扭轉(zhuǎn)問題的基本方程。 自由扭轉(zhuǎn)問題的邊界條件，可以分為兩個(gè)部分：側(cè)面邊界條件和端面邊界條件。 對于自由扭轉(zhuǎn)，側(cè)面邊界不受力。根據(jù)這一

6、條件，可以轉(zhuǎn)化為翹曲函數(shù)與橫截面邊界的關(guān)系。 端面采用合力邊界條件，就是端面應(yīng)力的合力為扭矩T 。這一邊界條件，采用翹曲函數(shù)表達(dá)相當(dāng)復(fù)雜。學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010201.HTM 扭轉(zhuǎn)位移假設(shè)； 2. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010202.HTM 扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)滿足的基本方程； 3. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010203.HTM 扭轉(zhuǎn)邊界條件； 4. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09010204.htm 扭轉(zhuǎn)

7、端面邊界條件；當(dāng)柱體受外力矩作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，對于非圓截面桿件，其橫截面將產(chǎn)生翹曲。 如果橫截面翹曲變形不受限制，稱為自由扭轉(zhuǎn)；如果橫截面翹曲變形受到限制，就是約束扭轉(zhuǎn)。本章討論的柱體扭轉(zhuǎn)問題為自由扭轉(zhuǎn)。 對于柱體的自由扭轉(zhuǎn)，假設(shè)柱體的位移約束為固定左端面任意一點(diǎn)和相應(yīng)的兩個(gè)微分線素，使得柱體不產(chǎn)生剛體位移。柱體右端面作用一力偶T，側(cè)面不受力。 設(shè)柱體左端面形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，柱體軸線為z 軸建立坐標(biāo)系。 柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)生變形，設(shè)坐標(biāo)為 z 的橫截面的扭轉(zhuǎn)角為，則柱體單位長的相對扭轉(zhuǎn)角為。而橫截面的扭轉(zhuǎn)角z 。 對于柱體的自由扭轉(zhuǎn)，首先考察柱體的表面變形。觀察可以發(fā)現(xiàn)，柱體表面橫向線雖然翹曲，但是各個(gè)

8、橫向線的翹曲是基本相同的，而且橫向線的輪廓線形狀基本不變。根據(jù)上述觀察結(jié)論，對柱體內(nèi)部位移作以下的假設(shè)：剛截面假設(shè)。柱體扭轉(zhuǎn)當(dāng)橫截面翹曲時(shí)，它在Oxy平面上的投影形狀保持不變，橫截面作為整體繞 z 軸轉(zhuǎn)動， HYPERLINK javascript:expands(P1) 如圖所示。當(dāng)扭轉(zhuǎn)角 很小時(shí)，設(shè)OP=，則P點(diǎn)的位移為2 橫截面的翹曲位移與單位長度的相對扭轉(zhuǎn)角成正比，而且各個(gè)截面的翹曲相同,即w=(x，y)。 (x，y)稱為圣維南(Saint Venant)扭轉(zhuǎn)函數(shù)，或者稱為翹曲函數(shù)。對于位移法求解，需要將平衡微分方程用位移分量表示。因?yàn)?根據(jù)幾何方程，應(yīng)變分量為根據(jù)本構(gòu)方程，應(yīng)力分量為

9、 對于平衡微分方程，在不計(jì)體力的條件下，前兩個(gè)方程自然滿足，只有最后一個(gè)方程，為 將 HYPERLINK javascript:expands(P1) 位移表達(dá)式代入上式，則上式為Laplace 方程，它表示位移分量如果滿足位移表示的平衡微分方程，即Lam方程時(shí)，則扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)(x，y)為調(diào)和函數(shù)。下面考察柱體自由扭轉(zhuǎn)的邊界條件。 對于自由扭轉(zhuǎn)問題，在側(cè)邊界沒有載荷作用。 由于x=y=z=xy =0，只有xz和yz不等于零，因此分為柱體側(cè)面和端面兩部份面力邊界條件討論。 柱體的側(cè)邊界沒有外力作用，而且側(cè)面邊界法線方向余弦n=0。因此， HYPERLINK javascript:expands(

10、P1) 面力邊界條件只有第三式需要滿足，有將翹曲函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入上式，并且注意到柱體側(cè)面法線方向余弦與坐標(biāo)系的關(guān)系，n=0， 則 HYPERLINK javascript:expands(P2) 如圖所示。有 因?yàn)?所以，柱體側(cè)面面力邊界條件轉(zhuǎn)換為翹曲函數(shù)橫截面邊界條件。有對于柱體的端面面力邊界條件，選取柱體任意一個(gè)端面，例如右端面，l=m=0，而n=1。因此 HYPERLINK javascript:expands(P1) 面力邊界條件的第三式自然滿足，而前兩式成為 面力的合力為外力矩T，則端面面力邊界條件為 對于上述邊界條件的前兩式，由于 同理 。 所以邊界條件的前兩式是恒滿足的。對

11、于第三式有令 則T =GD，其中D表達(dá)了橫截面的幾何特征，GD 稱為柱體的抗扭剛度。 總之，柱體的自由扭轉(zhuǎn)的位移解法，歸結(jié)為在邊界條件下求解 HYPERLINK javascript:expands(P2) 方程，相對扭轉(zhuǎn)角由公式T =GD確定。9.2 扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解學(xué)習(xí)思路: 柱體自由扭轉(zhuǎn)問題的位移解法，基本方程是翹曲函數(shù)表示的調(diào)和方程。基本方程的形式簡單，但是邊界條件的描述，特別是要用翹曲函數(shù)表達(dá)端面的合力邊界條件比較困難。因此典型的扭轉(zhuǎn)問題均是采用應(yīng)力解法求解的。 自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力解法，以扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)(x,y)作為基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系；將應(yīng)

12、力函數(shù)表達(dá)的應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，可以確定應(yīng)力函數(shù)(x,y)滿足的基本方程。這是一個(gè)泊松方程。 根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的側(cè)面面力邊界條件，扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界為常數(shù)。對于單連域問題，可以假設(shè)這個(gè)常數(shù)為零。 對于扭轉(zhuǎn)問題的端面面力邊界條件，可以確定外力矩和應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020201.HTM 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)； 2. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/09020202.HTM 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)與邊界條件； 3. HYPERLINK /zskj/3011/TXLX/ninth/0902020

13、3.HTM 扭轉(zhuǎn)端面邊界條件；扭轉(zhuǎn)問題的位移解法方程雖然簡單，但是邊界條件相對比較復(fù)雜，因此通常使用應(yīng)力解法求解柱體的扭轉(zhuǎn)問題。 根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的平衡微分方程，可得 。因此，必然有一個(gè)函數(shù)(x,y)，使得 將上述扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，則前四個(gè)方程恒滿足，而后 HYPERLINK javascript:expands(P1) 兩個(gè)方程要求，所以，翹曲函數(shù)(x,y) 滿足 因此 上式即扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法的基本方程。(x,y)稱為普朗特(Prandtl)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。將扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)與翹曲函數(shù)公式相比較，則扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)與翹曲函數(shù)的關(guān)系為 將上式代入變形協(xié)調(diào)方程，則 C=2G 。對于側(cè)面邊界條件，。 將應(yīng)力函數(shù)代入側(cè)面面力邊界條件，有 所以 c=const 根據(jù)應(yīng)力表達(dá)式，在應(yīng)力函數(shù)(x,y)中增加或者減少一個(gè)常數(shù)對于應(yīng)力分量的計(jì)算沒有影響，因此對于單連域橫截面柱體，可以將常數(shù)取為零。有 c0 但是應(yīng)該