2013高考數(shù)學（理）熱點專題專練：5-14推理與證明

1、金太陽新課標資源網(wǎng) HYPERLINK 第 PAGE 8 頁 共 NUMPAGES 8 頁 金太陽新課標資源網(wǎng) HYPERLINK 高考專題訓練(十四)推理與證明時間：45分鐘分值：75分一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項填在括號里1(2012江西)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28B76C123 D199解析記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11；f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f

2、(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123，即a10b10123.答案C2(2012鄭州市高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量預測)已知a，b，cR，若eq f(c,ab)eq f(a,bc)eq f(b,ca)，則()Acab BbcaCabc Dcba解析由已知得c(bc)a(ab)，a(ca)b(bc)，即(ca)(abc)0，(ab)(abc)0，因此有ca0，ab0，故cab，選A.答案A3(2012四川省綿陽市高三第二次診斷性測試)記asin(cos2010)，bsin(sin2010)，ccos(sin2010)，dcos(cos20

3、10)，則a、b、c、d中最大的是()AaBbCc Dd解析注意到2010360518030，因此sin2010sin30eq f(1,2)，cos2010cos30eq f(r(3),2)，eq f(,2)eq f(r(3),2)0，eq f(,2)eq f(1,2)0,0eq f(1,2)eq f(r(3),2)coseq f(r(3),2)0，asineq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sineq f(r(3),2)0，bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sineq f(1,2)dcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3

4、),2)coseq f(r(3),2)0，因此選C.答案C4(2012江西師大附中、臨川一中高三聯(lián)考)若實數(shù)a，b，c成公差不為0的等差數(shù)列，則下列不等式不成立的是()A|baeq f(1,cb)|2Ba3bb3cc3aa4b4c4Cb2acD|b|a|c|b|解析設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d(d0)，則|baeq f(1,cb)|deq f(1,d)|d|eq f(1,d)|2 eq r(|d|f(1,|d|)2，因此A成立；b2aceq blc(rc)(avs4alco1(f(ac,2)2aceq f(ac2,4)0，因此C成立；由2bac得|2b|ac|c|a|，即|b|a|c|b|，

5、因此D成立；對于B，當a1，b2，c3時，a3bb3cc3a53，a4b4c498，此時B不成立綜上所述，選B.答案B5(2012西安市五校第一次模擬考試)已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個數(shù)對是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析依題意，就每組整數(shù)對的和相同的分為一組，不難得知每組整數(shù)對的和為n1，且每組共有n個整數(shù)對，這樣的前n組一共有eq f(nn1,2)個整數(shù)對，注意到eq f(10101,2)60eq f(127,64)(nN*

6、)成立，其初始值至少應(yīng)取_解析1eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2n1)eq f(1f(1,2n),1f(1,2)eq f(127,64)，整理得2n128，解得n7，故原不等式的初始值至少應(yīng)為8.答案810(2012遼寧沈陽模擬)用數(shù)學歸納法證明：(n1)(n2)(nn)eq f(n3n1,2)(nN*)的第二步中，當nk1時等式左邊與nk時的等式左邊的差等于_解析當nk時，等式左邊為(k1)(k2)(kk)，當nk1時，等式左邊為(k2)(k3)(k1k1)，所以其差為3k2.答案3k2三、解答題：本大題共2小題，共25分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟11(12分

7、)已知正數(shù)數(shù)列an的前n項和為Sn，且4an2Sn1，數(shù)列bn滿足bn2logeq f(1,2)an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式an與bn的前n項和Tn；(2)設(shè)數(shù)列eq f(bn,an)的前n項和為Un，求證：0Un4.解(1)易得a1eq f(1,2).當n2時，4an2Sn1，4an12Sn11，得2an4an10an2an1，eq f(an,an1)2(n2)，數(shù)列an是以a1eq f(1,2)為首項，2為公比的等比數(shù)列，an2n2，a1eq f(1,2)也適合此式，故an2n2.從而bn42n，其前n項和Tnn23n.(2)證明：an為等比數(shù)列、bn為等差數(shù)列，eq f(bn

8、,an)eq f(42n,2n2).Uneq f(2,f(1,2)eq f(0,1)eq f(2,2)eq f(62n,2n3)eq f(42n,2n2)，eq f(1,2)Uneq f(2,1)eq f(0,2)eq f(2,22)eq f(62n,2n2)eq f(42n,2n1)，得eq f(1,2)Un4eq f(2,1)eq f(2,2)eq f(2,22)eq f(2,2n2)eq f(42n,2n1)，Uneq f(4n,2n1).易知U1U24，當n3時，UnUn1eq f(2n,2n3)0，當n3時，數(shù)列Un是遞減數(shù)列，0UnU33.綜上，0Un4.12(13分)(2012福

9、建)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：(1)sin213cos217sin13cos17；(2)sin215cos215sin15cos15；(3)sin218cos212sin18cos12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.()試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；()根據(jù)()的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解解法一：()選擇(2)式，計算如下：sin215cos215sin15cos151eq f(1,2)sin301eq f(1,4)eq f

10、(3,4).()三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30)eq f(3,4).證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2eq f(3,4)cos2eq f(r(3),2)sincoseq f(1,4)sin2eq f(r(3),2)sincoseq f(1,2)sin2eq f(3,4)sin2eq f(3,4)cos2eq f(3,4).解法二：()同解法一()三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30)eq f(3,4).證明如下sin2cos2(30)sincos(30)eq f(1cos2,2)eq f(1cos602,2)sin(cos30cossin30sin)eq f(1,2)eq f(1,2)cos2eq f(1,2)eq f(1,2)(cos60cos2sin60sin2)eq f(