圓錐形及階梯型變幅桿模態(tài)分析資料講解

1、圓錐形及階梯型變幅桿模態(tài)分析超聲波變幅桿的設(shè)計(jì)及修正摘 要: 超聲變幅桿是超聲波振動(dòng)系統(tǒng)中一個(gè)重要的組成部分。本文結(jié)合超聲變幅桿理論對(duì)設(shè)計(jì)變幅桿進(jìn)行結(jié)果分析及參數(shù)修正,采用 ANSYS 12.1 對(duì)變幅桿進(jìn)行了有限元模態(tài)分析，在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)并加工了一個(gè)應(yīng)用于超聲顯微切割系統(tǒng)中的、諧振頻率為 70 kHz 的半波長(zhǎng)圓錐型變幅桿，和用于超聲波近場(chǎng)懸浮的、諧振頻率是 20kHz 的階梯型變幅桿，并進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用 ANSYS 軟件輔助設(shè)計(jì)方法得到的超聲變幅桿，其諧振頻率與模態(tài)分析值非常接近，修正理論也可以讓變幅桿諧振頻率更加接近設(shè)計(jì)值，為超聲變幅桿的設(shè)計(jì)、校核和優(yōu)化提供了一種新途

2、徑。關(guān)鍵詞:變幅桿;有限元;模態(tài)分析Design and Revise of Ultrasonic hornAbstract：Ultrasonic horns apply widely in ultrasonic processing. Combined with ultrasonic horn theory, correct the ultrasonic horn by formula, analysis the modal of horn by ANSYS 12.1, on this basis, design a half-wavelength conical horn which re

3、sonant frequency is 60kHz, used by a ultrasonic micro dissection system, and a stepped ultrasonic horn which resonant frequency is 20kHz, used by a near-field acoustic levitation system, then make the related experiment. The results show that the resonant frequency of the ultrasonic horn designed by

4、 ANSYS is approaching the theory value, the correction coefficient also can make the resonant frequency approach the theory value, that provides a new way to design, checking or optimization.Key word: Ultrasonic horn; Finite element; Modal analysis引 言超聲變幅桿是超聲振動(dòng)系統(tǒng)的重要組成部件，它在振動(dòng)系統(tǒng)中的主要作用是把機(jī)械振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位移量或運(yùn)動(dòng)速度

5、放大，并將超聲能量集中在較小的面積上1。在高強(qiáng)度超聲應(yīng)用 中，如超聲加工、超聲焊接、超聲切割、超聲波懸浮等場(chǎng)合，所需要的振幅大約為幾十至幾百微米，但是超聲換能器輻射面所產(chǎn)生的振動(dòng)幅度較小，一般只有幾微米，所以必須借助變幅桿將機(jī)械振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移或速度放大至滿足工程應(yīng)用要求。目前，有關(guān)超聲變幅桿的設(shè) 計(jì)，國(guó)內(nèi)外主要采用傳統(tǒng)解析法、等效電路法與替代法等，但是這些方法普遍存在計(jì)算量大而且設(shè)計(jì)精度不高的缺陷。運(yùn)用有限元分析軟件 ANSYS，可以有效地解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法中存在的不足2。因此，運(yùn)用 ANSYS，通過(guò)對(duì)超聲變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析和參數(shù)優(yōu)化，可以大大提高設(shè)計(jì)效率和精度。本研究結(jié)合 ANSYS 軟件，設(shè)

6、計(jì)一個(gè)在超聲顯微切割系統(tǒng)應(yīng)用的、諧振頻率為 60 kHz 的半波長(zhǎng)圓錐型變幅桿和超聲波懸浮中應(yīng)用的諧振頻率為 20kHz 圓柱型變幅桿。1 超聲變幅桿的理論分析與設(shè)計(jì)1 變截面桿縱向振動(dòng)的理論分析物體在彈性介質(zhì)中發(fā)生振動(dòng)時(shí)會(huì)引起介質(zhì)的振動(dòng)。在研究振動(dòng)波時(shí)，假設(shè)把彈性介質(zhì)分成若干層，每一層看作是由許多彼此緊密相連的質(zhì)點(diǎn)組成，一旦介質(zhì)中的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到某種擾動(dòng)，此質(zhì)點(diǎn)便產(chǎn)生偏離其平衡位置的運(yùn)動(dòng)3，由于介質(zhì)各點(diǎn)之間存在著彈性的聯(lián)系，這一運(yùn)動(dòng)勢(shì)必推動(dòng)與其相鄰的質(zhì)點(diǎn)也開始運(yùn)動(dòng)，這樣，物體的振動(dòng)就在彈性介質(zhì)中傳播出去，這種物體的振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播被稱為波動(dòng)。以質(zhì)點(diǎn)和簡(jiǎn)單機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)及超聲波的傳播原

7、理為理論基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)牛頓定理可以確定變截面桿縱向振動(dòng)的波動(dòng)方程。為了便于研究，設(shè)定理想狀態(tài)，假定變截面桿是由均勻、各向同性材料所構(gòu)成的，略去機(jī)械損耗，當(dāng)桿的橫截面尺寸遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)時(shí)，可以認(rèn)定，平面縱波沿桿軸向傳播，在桿的橫截面上應(yīng)力分布是均勻的4。圖 1 變截面桿縱向振動(dòng)任一變橫截面桿（如圖 1 所示），其對(duì)稱軸為 X 軸，作用在任意的一小體積元x, x dx上的張應(yīng)力為 dx ，根據(jù)牛頓定律可以得出動(dòng)力學(xué)方程：x(S) dx S 2 dx(1)x2 x 為變幅桿縱向振動(dòng)位移， s s x為面積函數(shù)， k c 為波數(shù)， 為材料的密度。 為應(yīng)力函數(shù)， E ，E 是楊氏模量。x按照經(jīng)典的

8、一維變截面細(xì)桿縱振理論，假定變幅桿是由密度均勻且各向同性的材料制 成，不計(jì)機(jī)械損耗，在桿的橫截面上應(yīng)力分布均勻且平面波沿軸向傳播，此時(shí)平面波的傳播方程為：k 21 s 2 0(2)x2s x xE k c 為圓波數(shù)， 是圓頻率， c 是縱波在細(xì)桿中的傳播速度， c 5。圓錐型變幅桿的設(shè)計(jì)變幅桿的理論分析變幅桿各性能參數(shù)是根據(jù)縱向振動(dòng)的波動(dòng)方程、桿的面積函數(shù)及邊界條件推導(dǎo)出的公式確定的，如圖 2 所示。圖 2 圓錐型變幅桿結(jié)構(gòu)圖以變幅桿的縱向?yàn)?x 軸， l 為長(zhǎng)度， S (x) 為截面面積，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn) x =0 處的橫截面積為S ， x l 處的橫截面積為 S12自由的時(shí)候，邊界條件為：；作用

9、在S ， S12上的力及位移分別為 F 、11和 F 、22，兩端x 0 : , |11tx0, |x x0 0(3)x l : ,22 |txl, |xxl 0 (4)根據(jù)邊界條件可以得到變幅桿的諧振長(zhǎng)度：l 2這就是變幅桿的設(shè)計(jì)長(zhǎng)都都是半波長(zhǎng)的原因6。變幅桿諧振頻率修正(5)假設(shè)變幅桿縱振時(shí)沿軸線方向上的位移為，則應(yīng)變?yōu)閤x x ，縱振速度為xd。xxdt根據(jù)瑞利近似理論9，橫向應(yīng)變?yōu)?rx ( 為泊松比)，橫向位移為xr rr rx ( r 為x半徑)，橫向振動(dòng)速度為 dr r x 。變幅桿上任意一個(gè)微分單元的質(zhì)量為rdtxdm 2 rdrdx ，故沿軸向方向的縱向振動(dòng)動(dòng)能 Ex和沿徑向

10、方向的橫向振動(dòng)動(dòng)能 Er分別為：E 1 2dm l 2 R( x)2 dx(6)x2 x2 0 x 1 2 2 l 2( )4(7)Edmr2 r4 x R x dx1K2M0 忽略橫向振動(dòng)后的系統(tǒng)總動(dòng)能降低，等效質(zhì)量mx 減小，因?yàn)?f eq，故變幅桿計(jì)ExE Exr算出的諧振頻率比實(shí)際諧振頻率高7。增加橫向振動(dòng)后的縱振諧振頻率 f 與忽略橫向振動(dòng)時(shí)的頻率 f 比值為： f f(8)這里稱 為頻率修正系數(shù)。為了讓變幅桿實(shí)際頻率與設(shè)計(jì)頻率一致，需要對(duì)未考慮橫向振動(dòng)時(shí)的桿長(zhǎng)l 進(jìn)行修正，經(jīng)修正后的桿長(zhǎng)l 為：l l(9) 2對(duì)于圓柱桿，兩端自由時(shí) Acos x ，所以l 2x dxl 2dx ，

11、故l0 x l 2 0 xEx桿 1 2 2 R2 ，于是圓柱桿的頻率修正公式為：E Ex桿r桿2l 2 f 1桿f1 2 2 R22l 2(10)對(duì)于常用的粗細(xì)兩段等長(zhǎng)階梯型變幅桿，令粗細(xì)兩段半徑分別為 R 和 r，質(zhì)點(diǎn)的縱向振動(dòng)速度分別為和xaxb。兩端自由時(shí)，變幅桿兩端應(yīng)力為 0，在 x 0 的截面處力和位移連續(xù)，由這些邊界條件可知 A A 0 ， B S B S，所以 R2 N ， xb N 2 。計(jì)算bS1121 12 2Sr22ba2xaa階梯型變幅桿的縱振動(dòng)能 Ex階梯和橫振動(dòng)能 Er階梯時(shí)，可以按照半徑為 R 長(zhǎng)度為 l 的等效圓柱桿來(lái)計(jì)算，只是在計(jì)算 Er階梯時(shí)，應(yīng)加上階梯面

12、對(duì)變幅桿兩端速度的影響。于是 Ex階梯、 E分別r階梯為：E R2 l x階梯20 xa2dx R2 l 20 xa2dx(11)2 0 2l 2E4 R4 xa dx R4 2 xb dx r階梯 32 lx2l0 x (12) 4l 21 N 4R4 2 0 xa2dx故階梯型變幅桿頻率修正公式為8：1 N 4 R2 2 2變幅桿的設(shè)計(jì) 11 階梯22l2(13)分別為超聲顯微切割系統(tǒng)和超聲波近場(chǎng)懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)半波長(zhǎng)的變幅桿，要求工作頻率 f 60kHz 和 f 20kHz ，材料選用 45 號(hào)鋼。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)要求，設(shè)定圓錐型變幅桿的大端直徑 D1 20mm ，小端直徑 D2 5mm ，

13、得到 N D D12 4 ，可知縱波聲速（在 45 號(hào)鋼中） c 5.17 106mm / s ，根據(jù)式（5）、式（6）和式（7）計(jì)算可得: l1 43mm ， x0 19mm 。同時(shí)，考慮到其與外界的裝配問(wèn)題，在節(jié)面處增加了一厚度為 4mm，外徑為 28mm 的法蘭盤，具體尺寸如圖 3 所示。圖 3 圓錐型變幅桿而對(duì)于設(shè)計(jì)頻率是 20kHz 的近場(chǎng)懸浮變幅桿，型狀是一個(gè)圓柱上面一個(gè)圓盤，可以把圓盤考慮成彎曲振動(dòng)，這樣設(shè)計(jì)的時(shí)候只需考慮圓柱桿。同上面的步驟，最后得到變幅桿尺寸為：長(zhǎng)度l2 129mm ，取大端直徑 D3 38mm ，小端直徑 D4 20mm 。如圖 4 所示。超聲變幅桿的有限元

14、分析圖 4 階梯型變幅桿根據(jù)圓錐型變幅桿的理論完成設(shè)計(jì)，并進(jìn)行有限元分析。這里采用美國(guó) ANSYS 公司設(shè)計(jì)開發(fā)的大型通用有限元分析軟件 ANSYS 12.1 進(jìn)行分析。變幅桿模型的建立用 SolidWorks 建立上述圓錐型變幅桿的三維結(jié)構(gòu)模型。將設(shè)計(jì)尺寸輸入，經(jīng)處理后建立變幅桿完整的實(shí)體模型。然后將模型數(shù)據(jù)存儲(chǔ)為 x_t 格式并通過(guò)數(shù)據(jù)交換將幾何模型導(dǎo)入有限元軟件 ANSYS 中。定義材料特性設(shè)計(jì)變幅桿所用材料如表 1 所示。密度 /表 1 45 號(hào)鋼材料屬性材料（ kg m3）E彈/性G模P量a聲 速 c /m s1泊松比45 號(hào)鋼7800單元確定及網(wǎng)格劃分21051700.28采用SO

15、LID187單元對(duì)圓錐型變幅桿進(jìn)行自由映射網(wǎng)格單元?jiǎng)澐?。?duì)重要部位做細(xì)化。圓柱型變幅桿仿真超聲波懸浮變幅桿是直接和壓電陶瓷連接起來(lái)，所以模擬的時(shí)候不對(duì)變幅桿施加約束，讓其自由振動(dòng)。采用 Lanczos 方法進(jìn)行搜索，計(jì)算 30 階模態(tài)，搜索空間是15kHz25kHz10。 最終得到三階模態(tài)，第一階頻率是 16034kHz，彎曲振動(dòng);二階頻率是16042kHz，也是彎曲振動(dòng);三階頻率是 19080kHz，是縱向振動(dòng)。各階頻率及陣型如圖 57 所示，但是這個(gè)縱振頻率與設(shè)計(jì)頻率 20kHz 相差太大，加工出來(lái)的變幅桿振動(dòng)不起來(lái)，需要進(jìn)行修正。通過(guò)本文的頻率修正后，可以得到l l 125.5mm 。修

16、正后各階頻率及振型如圖810 所示：圖 5 階梯型變幅桿一階頻率：16034Hz圖 6 階梯型變幅桿二階頻率：16042Hz圖 7 階梯型變幅桿三階頻率：19080Hz圖 8 階梯型變幅桿修正后一階頻率：17142HZ圖 9 階梯型變幅桿修正后二階頻率：17146HZ圖 10 階梯型變幅桿修正后三階頻率：19871HZ從仿真結(jié)果可以看出，如果設(shè)計(jì)的變幅桿不修正，縱振頻率值和設(shè)計(jì)值會(huì)有比較大的誤差，修正后會(huì)非常接近設(shè)計(jì)值。圓錐型變幅桿仿真根據(jù)實(shí)際情況，在法蘭盤處施加完全約束。模態(tài)分析采用精度和計(jì)算速度都高的Lanczos 直接疊加法，計(jì)算 30 階模態(tài)。搜索空間是 50kHz70kHz，一共得到

17、了六階模態(tài)。一階模態(tài)頻率是 56635Hz，振型是縱向振動(dòng)；二階頻率是 64530Hz，縱向振動(dòng)；三階頻率為65516Hz，是彎曲振動(dòng)；四階頻率為 65535Hz,彎曲振動(dòng)；五階頻率是 69398Hz，縱向振動(dòng)； 六階頻率是 69408Hz,彎曲振動(dòng)。五階縱振頻率非常接近設(shè)計(jì)的 70kHz，滿足設(shè)計(jì)要求，各階頻率及振型如圖 11-16。圖 11 圓錐型變幅桿一階頻率：56635Hz圖 12 圓錐型變幅桿二階頻率 64530Hz圖 13 圓錐型變幅桿三階頻率 65516Hz圖 14 圓錐型變幅桿四階頻率 65535Hz圖 15 圓錐型變幅桿五階頻率 69398Hz圖 16 圓錐型變幅桿六階頻率

18、69408Hz因?yàn)閳A錐型變幅桿中間固定了一個(gè)法蘭盤，有效的限制了變幅桿的橫向振動(dòng)，所以結(jié)果不需要修正就已經(jīng)很準(zhǔn)了。4 結(jié)論本文分別設(shè)計(jì)了一個(gè)圓錐型變幅桿和階梯型變幅桿。通過(guò)能量修正法分析了傳統(tǒng)變幅桿縱振頻率比設(shè)計(jì)值低的原因，并對(duì)階梯型變幅桿提出了一種簡(jiǎn)單的修正公式。然后通過(guò)有限元軟件數(shù)值模擬對(duì)設(shè)計(jì)的變幅桿進(jìn)行分析。結(jié)果表明：階梯型變幅桿經(jīng)過(guò)修正之后會(huì)非常接近理論值，而帶法蘭盤的圓錐型變幅桿由于法蘭盤的存在，不需要修正。參考文獻(xiàn)1 初濤. 超聲變幅桿的設(shè)計(jì)及有限元分析J. 機(jī)電工程, 2009, 26(1): 102-107.曹鳳國(guó).超聲加工技術(shù)M.北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2005.王敏慧, 鮑善

19、惠, 江長(zhǎng)青. 粗細(xì)端截面比對(duì)階梯形變幅桿諧振頻率的影響J. 聲學(xué)技術(shù), 2004(04): 242-245. 4 朱 寅.超聲變幅桿有限元諧振分析J.機(jī)械, 2005, 32(12): 13-15.范國(guó)良, 應(yīng)祟福,林仲茂等. 一種新型的超聲加工深小孔的工具系統(tǒng)J. 應(yīng)用聲學(xué), 1982 (01): 2-7.RAWSON F F. High power resonant horns for ultrasonicwelding and theirmaterial aspectsJ.U ltrasonics, 1987, 25(6): 371.林仲茂. 超聲變幅桿的原理和設(shè)計(jì)M. 北京:科學(xué)出版

20、社, 1987: 95-100.S. Zhao, J. Wallaschekl. A standing wave acoustic levitation system for large planar objects J.Arch. Appl. Mech., 2011, 81 (2): 123-139朱武, 張佳民. 基于四端網(wǎng)絡(luò)法的超聲波變幅桿設(shè)計(jì)J. 上海電力學(xué)院學(xué)報(bào), 2004, 20(4): 20-23分析步驟（為節(jié)省時(shí)間以階梯型變幅桿修正后的為例）：第 1 步： 載入 SolidWorks 中創(chuàng)建的模型如圖 1-1、1-21-1 讀入 SolidWorks 中創(chuàng)建的 X_T 文件1-

21、2 讀入后線框顯示的模型第 2 步：指定分析標(biāo)題并設(shè)置分析范疇設(shè)置標(biāo)題等 Utility MenuFileChange Title圖 2-1 設(shè)置標(biāo)題Utility MenuFile Change Jobname圖 2-2 設(shè)置工作名稱Utility MenuFileChange Directory圖 2-3 設(shè)置工作目錄選取菜單途徑 Main MenuPreference ,單擊 Structure,單擊 OK第 3 步：定義單元類型圖 2-4 選取菜單途徑Main MenuPreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete,出現(xiàn) Element Types 對(duì)話

22、框, 單擊 Add 出現(xiàn) Library of Element Types 對(duì)話框,選擇 Structural Solid,再右滾動(dòng)欄選擇 10node 187,然后單擊 OK，單擊 Element Types 對(duì)話框中的 Close 按鈕就完成這項(xiàng)設(shè)置了。第 4 步：指定材料性能圖 3 定義單元類型為 10node 187選取菜單途徑 Main MenuPreprocessorMaterial PropsMaterial Models。出現(xiàn) Define Material Model Behavior 對(duì)話框,在右側(cè) StructuralLinearElasticIsotropic,指定材料

23、的彈性模量和泊松系數(shù) StructuralDensity 指定材料的密度，完成后退出即可。第 5 步：劃分網(wǎng)格圖 4 指定材料性能選取菜單途徑 Main MenuPreprocessorMeshingMeshTool,出現(xiàn) MeshTool 對(duì)話框，一般采用只能劃分網(wǎng)格，點(diǎn)擊 SmartSize,下面可選擇網(wǎng)格的相對(duì)大小（太小的計(jì)算比較復(fù)雜，不一定能產(chǎn)生好的效果，一般做兩三組進(jìn)行比較，本次分析設(shè)為 3），保留其他選項(xiàng)，單擊Mesh 出現(xiàn) Mesh Volumes 對(duì)話框，其他保持不變單擊 Pick All，完成網(wǎng)格劃分。圖五 圓錐形變幅桿劃分網(wǎng)格后第 6 步：進(jìn)入求解器并指定分析類型和選項(xiàng)選取

24、菜單途徑 Main MenuSolutionAnalysis TypeNew Analysis，將出現(xiàn) New Analysis對(duì)話框,選擇 Modal 單擊 OK。圖 6-1 指定分析類型為 Modal選取 Main MenuSolution Analysis TypeAnalysis Options， 將出現(xiàn) Modal Analysis 對(duì)話框，選中 Block Lanczos 模態(tài)提取法，在 Number of modes to extract 處輸入相應(yīng)的值（一般為 5 或 10，如果想要看更多的可以選擇相應(yīng)的數(shù)字,此次分析使用 30），單擊 OK，出現(xiàn)Subspace Model

25、Analysis 對(duì)話框，選擇頻率的起始值和終值，其他保持不變，單擊 OK。第 7 步：施加邊界條件圖 6-2 選擇頻率起始值和終值選取 Main MenuSolutionDefine loadsApplyStructuralDisplacement,出現(xiàn) ApplyU,ROT on KPS 對(duì)話框，選擇在點(diǎn)、線或面上施加位移約束,單擊 OK 會(huì)打開約束種類對(duì)話框，選擇（All DOF,UX,UY,UZ）相應(yīng)的約束,單擊 apply 或 OK 即可，此處由于超聲波懸浮變幅桿是直接和壓電陶瓷連接起來(lái)，所以模擬的時(shí)候不對(duì)變幅桿施加約束，讓其自由振動(dòng)。第 8 步：指定要擴(kuò)展的模態(tài)數(shù)選取菜單途徑 Main MenuSolutionLoad Step OptsExpansionPassExpand Modes,出現(xiàn)Expand Modes 對(duì)話框,在 numbe