信號與系統(tǒng)講義：第四章（第8講）

1、PAGE 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析4-1 概述系統(tǒng)的頻域分析法，是將通過傅里葉級數(shù)（或變換），將信號分解成多個正弦函數(shù)的和（或積分），得到信號的頻譜；然后求系統(tǒng)對各個正弦分量的響應(yīng)，得到響應(yīng)的頻譜；最后通過傅里葉反變換，求得響應(yīng)。頻域分析法避開了微分方程的求解和卷積積分的計算，容易求得系統(tǒng)的響應(yīng)。但是它必須經(jīng)過兩次變換計算，計算量比較大。但是在很多情況下，直接給定激勵信號的頻譜，且只需要得到響應(yīng)信號的頻譜，這時就可以不用或少用變換。頻域分析法只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。4-2 信號通過系統(tǒng)的頻域分析方法一、系統(tǒng)對周期性信號的零狀態(tài)響應(yīng)基本思路：周期性信號可以表示（分解）成若干個（復(fù)）正弦函數(shù)之和。

2、只要分別求出了系統(tǒng)對各個（復(fù)）正弦函數(shù)的響應(yīng)，就可以得到零狀態(tài)全響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)：周期信號是一個無始無終的信號，可以認為在很遠的過去就已經(jīng)加到系統(tǒng)上，此時系統(tǒng)的響應(yīng)已經(jīng)進入了一個穩(wěn)定的狀態(tài)，則此零狀態(tài)響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，與電路中的相量法類似。系統(tǒng)對周期信號零狀態(tài)響應(yīng)求解的一般步驟。將周期信號分解為傅里葉級數(shù)；求系統(tǒng)對各個頻率信號（正弦信號）作用的一般表達式網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，其方法與電路分析中穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解法類似；求系統(tǒng)對各個頻率點上的信號的零狀態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）；將其響應(yīng)疊加，得到零狀態(tài)全響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)全響應(yīng)）。某些由周期性信號組成的非周期信號也可以用這種分析方法。例如信號：雖然不是周期信號，但是也可以分解成

3、為周期信號的和，從而也可以用這種方法求解。通過微分方程求系統(tǒng)對周期信號的零狀態(tài)響應(yīng)： 對于用微分方程描述的一般系統(tǒng)，有： 我們可以先假設(shè)系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)仍然是同頻率的復(fù)指數(shù)信號（這個假設(shè)是否成立？有待驗證?。┰O(shè)：激勵信號是復(fù)指數(shù)信號，其響應(yīng)也是同樣頻率的復(fù)指數(shù)信號。其中、分別為頻率為的復(fù)指數(shù)激勵和響應(yīng)信號的復(fù)振幅。將其代入微分方程，可以得到：或：所以，可見，“系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)仍然是同頻率的復(fù)指數(shù)信號”這樣的假設(shè)完全成立，可以找到滿足系統(tǒng)對的響應(yīng)。如果要在理論上更加嚴格的話，還可以進一步證明只有可能是系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。 令系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：它實際上可以將時域中的轉(zhuǎn)移算子中的算子p用替

4、代后得到。這里的H完全是一個代數(shù)表達式，可以應(yīng)用所有的代數(shù)運算法則。這時候，激勵和響應(yīng)的復(fù)振幅之間的關(guān)系可以表示為為：反映了復(fù)指數(shù)激勵下激勵信號的復(fù)振幅與響應(yīng)信號復(fù)振幅之間的關(guān)系：響應(yīng)信號復(fù)振幅等于激勵信號的復(fù)振幅與系統(tǒng)傳輸函數(shù)的乘積，它的幅度等于和幅度的積，相位和兩者相位的和。總結(jié)：根據(jù)微分方程求解系統(tǒng)對周期信號零狀態(tài)響應(yīng)的方法：將周期信號分解為復(fù)數(shù)傅里葉級數(shù)的和；求出系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子，將其中的算子p用替代后得到。求系統(tǒng)對各個復(fù)頻率點上的信號的響應(yīng)：將各個頻率點上的響應(yīng)疊加，得到零狀態(tài)全響應(yīng)。這里的求解方法與電路穩(wěn)態(tài)分析中的結(jié)論相似，只不過在正弦穩(wěn)態(tài)分析中討論的是信號對于實正弦信號的響應(yīng)，而這里

5、討論的是對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)。實數(shù)正弦信號可以表示為兩個復(fù)正弦信號的和：。系統(tǒng)對這兩個基本復(fù)指數(shù)信號的傳輸函數(shù)分別為和。如果微分方程中的系數(shù)都是實數(shù)，則可以得到。假設(shè)：則系統(tǒng)對正弦信號的響應(yīng)為： 所以，同時也反映了系統(tǒng)對頻率為的實正弦信號的幅度和相位的影響。這就是電路正弦穩(wěn)態(tài)分析中的結(jié)論。所以，這里也可以改為：將周期信號分解為實數(shù)傅里葉級數(shù)的和；求出系統(tǒng)轉(zhuǎn)移算子，將其中的算子p用替代后得到。求系統(tǒng)對各個頻率點上的信號的響應(yīng)：將各個頻率點上的響應(yīng)疊加，得到零狀態(tài)全響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率特性在特定點上的取值實際上表示了系統(tǒng)對該頻率點上的信號的幅度和相位的影響。由可以引出系統(tǒng)的頻域特性：頻域特性定義：系統(tǒng)的

6、頻率特性是指系統(tǒng)對各個頻率的復(fù)指數(shù)信號的影響：包括對復(fù)指數(shù)信號幅度和相位的影響。2）頻率特性曲線系統(tǒng)的傳輸特性也可以用圖形的方法表示。系統(tǒng)的傳輸特性曲線同樣可以分為幅頻特性和相頻特性。其中：幅頻特性曲線作出了與頻率之間的關(guān)系，描述了系統(tǒng)對各個頻率的（復(fù)）正弦信號的幅度的影響，相頻特性曲線作出了與頻率之間的關(guān)系，描繪了系統(tǒng)對各個頻率的（復(fù)）正弦信號的相位的影響。系統(tǒng)輸出信號的頻譜可以通過將激勵信號的頻譜與系統(tǒng)的頻域特性曲線兩者合成分析出：將激勵信號的幅頻特性曲線與系統(tǒng)的幅頻特性曲線對應(yīng)頻率點上的幅度相乘，可以得到響應(yīng)信號的幅頻特性曲線；將激勵信號的相頻特性曲線與系統(tǒng)的相頻特性曲線對應(yīng)頻率點上的幅

7、度相加，可以得到響應(yīng)信號的相頻特性曲線。由輸出信號的頻譜不難求得輸出信號。 二、系統(tǒng)對非周期信號的零狀態(tài)響應(yīng) 非周期信號通過線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法的基本思想與周期信號相似，都是將信號分解為許多個周期性信號之和，然后分別求解，最后求和（積分）。在某頻率點，實際（復(fù)）振幅是一個無窮小量： 所以其響應(yīng)為： 將各個子信號的響應(yīng)相疊加，求和（積分）：或：總結(jié)求解系統(tǒng)對非周期信號的零狀態(tài)響應(yīng)有三種方法：第一種方法：通過F.T.，求激勵信號的頻譜: 通過系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子，求出系統(tǒng)對各個頻率點上信號的影響頻域特性（又稱頻域傳遞函數(shù)）求出系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜特性: 通過I.F.T，求： 周期性信號與非周期信號分

8、析方法比較：相同： 通過變換，將以時間為自變量的信號，變?yōu)橐灶l率為變量的函數(shù)。避免求解微分方程，但是增加了F.T. 和I.F.T. 計算。差異：一個使用FS，將信號分解為許多個有限振幅的正弦信號之和；另一個用FT，將信號分解為許多個具有無窮小振幅的正弦信號之和；在疊加時，一個用求和，一個用積分。第二種方法：對于用微分方程描述的一般系統(tǒng)，有： 假設(shè)激勵信號e(t)的傅里葉變換為，響應(yīng)信號r(t)的傅利葉變換為。對上式等式兩邊同時求傅里葉變換，利用傅里葉變換的性質(zhì)，可以得到：所以，第三種方法：根據(jù)卷積積分公式，有：注意：這里的為：它定義為系統(tǒng)沖激響應(yīng)的F.T. 。對照前后公式，可以得到：系統(tǒng)的頻域

9、傳輸函數(shù)就是系統(tǒng)沖激響應(yīng)的F.T.。系統(tǒng)的頻域特性是實際工程應(yīng)用中描述系統(tǒng)特性的最常用方法，其應(yīng)用的廣泛性程度遠遠超過了微分方程描述形式，它可以給出系統(tǒng)很多特性。例1：P177， 例題4-2 例2：已知線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，當(dāng)輸入信號為階躍信號時，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：階躍信號的傅里葉變換為。設(shè)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為： 所以， 4-3 理想低通濾波器的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)濾波器的概念在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)特性經(jīng)常被描述成“允許某些信號分量通過、同時阻止其它分量信號通過”，或者是“濾除一些無用的信號分量”的形式。這樣的系統(tǒng)被稱為濾波器。如果這個系統(tǒng)是模擬系統(tǒng)，則相應(yīng)的系統(tǒng)被稱為模擬濾波器；如果這個系統(tǒng)是離

10、散系統(tǒng)（絕大多數(shù)情況下用數(shù)字系統(tǒng)實現(xiàn)），則相應(yīng)的系統(tǒng)能夠被稱為數(shù)字濾波器。在濾波器中，“有用”和“無用”信號之間常常通過頻率范圍劃分：如果某系統(tǒng)被設(shè)計為讓低于某特定頻率（該頻率被稱為截止頻率）的信號分量通過而不讓高于此頻率的信號分量通過，則該系統(tǒng)被稱為低通濾波器（LPF）。如果某系統(tǒng)被設(shè)計為讓高于某特定頻率的信號分量通過而不讓低于此頻率的信號分量通過，則該系統(tǒng)被稱為高通濾波器（HPF）如果某系統(tǒng)被設(shè)計為讓某兩個特定頻率之間的信號分量通過而不讓其它頻率的信號分量通過，則該系統(tǒng)被稱為帶通濾波器（BPF）如果某系統(tǒng)被設(shè)計為不讓某兩個特定頻率之間的信號分量通過而讓其它頻率的信號分量通過，則該系統(tǒng)被稱為

11、帶阻濾波器 理想低通濾波器（ILPF）和其它理想濾波器 0其它幾種理想濾波器：0高通濾波器 0帶通濾波器0帶阻濾波器ILPF的沖激響應(yīng)：響應(yīng)信號的波形:ILPF的階躍響應(yīng)：激勵信號的頻譜：則響應(yīng)信號的頻譜：響應(yīng)信號：其中：激勵和響應(yīng)信號的波形如下：關(guān)于ILPF的階躍響應(yīng)的幾點討論：階躍信號通過ILPF以后：信號邊沿變緩高頻分量有損失。系統(tǒng)截止頻率越高，邊沿變化越陡峭。信號波形發(fā)生了失真因為信號的有些分量沒有通過。什么樣的系統(tǒng)才可以不失真地傳輸信號？4.6節(jié)中將討論這個問題。信號有延時系統(tǒng)相頻特性的影響。系統(tǒng)響應(yīng)超前于激勵物理不可實現(xiàn)。什么樣的系統(tǒng)物理可實現(xiàn)？下一節(jié)中將討論這個問題。4-4 Pa

12、ley-Wiener準(zhǔn)則因果系統(tǒng)或物理可實現(xiàn)系統(tǒng)定義：在任何情況下都滿足因果關(guān)系（響應(yīng)不超前于激勵）的系統(tǒng)。系統(tǒng)滿足因果性的充分必要條件為：當(dāng)時等于零，或表示為：如何判斷系統(tǒng)是否物理可實現(xiàn)？可以從系統(tǒng)的沖激響應(yīng)得出。但是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)往往難于得到。在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)特性更多地是使用頻域特性進行描述。此時，如何根據(jù)頻域特性判定系統(tǒng)是否物理可實現(xiàn)？二、從系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)判斷系統(tǒng)因果性Paley-Wiener準(zhǔn)則：在（存在且有限）的前提下，系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的充分必要條件是：根據(jù)這個定理，系統(tǒng)的幅頻特性可以在某些頻率點上等于零，但是不可以在一段頻率區(qū)間上都等于零。這就是理想低通濾波器物理不可實現(xiàn)的原因。

13、三、物理可實現(xiàn)的LPF低通濾波器是實際工程應(yīng)用中最常用的濾波器。既然理想的LPF不能夠?qū)崿F(xiàn)，那什么樣的LPF才可以實現(xiàn)呢？低通濾波器設(shè)計的幾個常見名詞：通帶：允許通過的信號頻率范圍；止帶：不允許通過的信號頻率范圍；根據(jù)Paley-Wiener準(zhǔn)則以及實際系統(tǒng)條件的限制，為了能夠得到物理可實現(xiàn)的濾波器，必須對濾波器的設(shè)計要求有所放松：允許在通帶和止帶之間有緩沖；過渡帶：通帶和止帶之間的允許緩沖部分；允許在止帶內(nèi)幅頻特性不等于零，只要幅頻足夠小，就可以系統(tǒng)認為達到了阻止相應(yīng)信號通過的目的。止帶衰減：止帶中各個頻率分量上頻率特性允許出現(xiàn)的最大的幅度。通帶內(nèi)的各個頻率上的增益允許有一定的差異。過渡帶通帶內(nèi)起伏：通帶內(nèi)各個頻率點上的頻率特性允許的誤差最大值。 以下是幾種常見的濾波器：最大平坦LPF（Butterworth LPF）其中：被稱為歸一化頻率值；稱為3dB截止頻率，或簡稱截止頻率。其幅頻特性如下圖：這里只給出了系統(tǒng)的幅頻