平面匯交力系的性質和平衡方法

1、平面匯交力系的性質和平衡方法1 按力系中各力的作用線是否在同一平面內分為和兩類2 按作用線是否相交分為匯交力系、力偶系、和平面匯交力系-是一種基本力系，它是研究復雜力系的基礎，所以我們先來研究它。若各力的作用線在同一平面內且匯交于一點,則稱為平面匯交力系.平面匯交力系 在工程實際中，平面匯交力系的實例是很多例如:起重機的吊鉤受鋼繩拉力Tl、T2和 T3的作用例如: 磚砌基座上的鍋爐受重力G和反力 NA和NB的作用 在工程實際中，平面匯交力系的實例是很多2.1 求平面匯交力系的合力1 幾何法: 兩個匯交力的合成: 應用平行四邊形法則(力三角形法)合力等于兩分力的矢量和或幾何和，如圖所示。OAF1

2、BF2CR合力的大小和方向由 F2 和 F1 所構成的平行四邊形的對角線表示合力的作用點即為原來兩力的交點。 在用力的平行四邊形法則求合力時，只要畫出其中任一半，即力三角形成夠了如圖所示因此力的平行四邊形法則又稱為力三角形法OAF1CF2ROBF1CF2R (2)平面匯交力系的合成:應用力的多邊形法則: 設剛體上受到F1、F2、F3及F4等許多力的作用，它們的作用線在同一平面內，正匯交于O點。(如圖所示) (2)平面匯交力系的合成:應用力的多邊形法則: 設剛體上受到F1、F2、F3及F4等許多力的作用，它們的作用線在同一平面內，正匯交于O點。(如圖所示)F1A1F2 F3 A2 A4 A3O

3、F4 求合力時，連續(xù)利用力的三角形法則，依次求出合力R1,R2,R3和R.求整個力系的合力，中間的合力 R1 R2可以不必畫出，可順次將力Fl、F2、F3等首尾相接，最后將F1的起點和F4的終點連接起來，即得合力 R (如圖)。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER所得出的多邊形ABCDE稱為力多邊形，AE稱為力多邊形的封閉邊。AF1BF2CF3DF4ERR1R2AF1BF2CF3DF4ER平面匯交力系的合成結果是一個力它的作用線:過交匯點大小和方向: 由力多邊形的封閉邊表示用矢量公式表示為:畫力多邊形時，各力的次序是任意的，改變各力的次序，只影響力多邊形的形狀，而不

4、影響合力 R 的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER畫力多邊形時，各力的次序是任意的，改變各力的次序，只影響力多邊形的形狀，而不影響合力 R 的大小和方向AF1BF2CF3DF4EREAF1BF2CF3DF4ER畫力多邊形時，各力的次序是任意的，改變各力的次序，只影響力多邊形的形狀，而不影響合力 R 的大小和方向AF1BF2CF3DF4ERAF1BF2CF3DF4ER 已知平面匯交力系受力圖求合力時，按比例作矢量合成圖。此法多用于理論推導，求解實際問題時不方便、不準確，特別當分力多于兩個以上時，更不用此法求解。！力在軸上的投影ABFabFXABFabFXXX力在軸

5、上投影的大小: 等于此力的模乘以此力與投影(不一定是與投影軸的正向)所夾銳角的余弦2 解析法求平面匯交力系的合力ABFabFXABFabFXXX力在軸上投影的正負:則可直接觀察確定: 當 為銳角時,力的投影為正;當 為鈍角時,力的投影為負.力在坐標軸上的投影XYOABFababFXFY當力F 在直角坐標軸分解為 FX和 FY兩分力時，這兩分力的大小分別等于力在兩軸上的投影的絕對值。合力投影定理:合力在任一軸上的投影等于各分力在同軸正投影的代數(shù)和 . 這就是合力投影定理.XYOABF1CF2DF3Rabcd合力的投影為: ad各分力投影的代數(shù)和為:ab+bc+cd= 解析法平面匯交力系的合力:將

6、分力投影在直角坐標軸上;求分力在坐標軸上的代數(shù)和:RX = FX RY = FY合力的大小和方向用 R, 角度 , 表示RYYXRXR大小方向RYYXRXR 例1 一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力，如圖所示,已知F1=2000N，水平向左；F22500N，與水平成30角；F3l 500N,鉛直向下.試用解析法求合力的大小及方向，F(xiàn)1F2F3YX 解: 取坐標軸如圖。分別計算各力的投影。F2X = - F2 cos30= - 25000.866= - 2170NF3X = 0F1F2F3YXF1X = - F1 = 2000NF1Y = 0F2Y = - F2 sin30 = -25000.5 = -

7、1250NF3Y = - F3 = -1500N 解: 取坐標軸如圖。分別計算各力的投影。F1F2F3YXYXORXRRYRX = FX = -2000 2170 + 0 = - 4170NRY = FY = 0 1250 - 1500 = - 2750N合力的大小:YXORXRRYRX = FX = - 4170NRY = FY = - 2750N合力的方向:由于RX和RX都是負值，所以合力只應在第三象限 = 33.5 平面匯交力系的平衡條件及應用1 平衡的幾何條件:要使平面匯交力系成為平衡力系，力的多邊形自行封閉必要充分條件 設剛體上作用一平面匯交力系(圖)。現(xiàn)按力的多邊形法則合成:F1F

8、2F3F4若第一個力的起點與最后一個力的終點恰好互相連接而構成一個自行封閉的力多邊形，即表示力系的合力 R 等于零，則此力系為平衡力系.例 剛體上作用一平面匯交力系,五個力大小 相等,彼此夾72角F4F3F2F1F5F1F2F3F4F5力多邊形為正五邊形,力矢量自行閉合用作圖法求解平面匯交力系的平衡問題: 按比例先畫出封閉的力多邊形 用尺和量角器在圖上直接量得所要求的 未知量也可采用數(shù)解法，即根據(jù)圖形的邊角關系，用三角公式計算出所要求的未知量。 起重機吊起的減速箱蓋重W900 N，兩根鋼絲繩AB和AC與沿垂線的夾角分別為45， 30試求箱蓋勻速吊起時，鋼絲繩AB和AC的張力。例1 例1 起重機

9、吊起的減速箱蓋重W900 N，兩根鋼絲繩AB和AC與沿垂線的夾角分別為45， 30試求箱蓋勻速吊起時，鋼絲繩AB和AC的張力。選箱蓋為研究對象， 畫它的受力圖解:三個力必匯交于吊環(huán) 中心A。畫力三角形選箱蓋為研究對象， 畫它的受力圖解:三個力必匯交于吊環(huán) 中心A。畫力三角形bcTABaTACW4530 如果力三角形的幾何關系不復雜，可以選用數(shù)解法，運用三角公式來計算:bcTABaTACW4530 如果力三角形的幾何關系不復雜，可以選用數(shù)解法，運用三角公式來計算:TABTACbcTABaTACW4530 如果力三角形的幾何關系不復雜，可以選用數(shù)解法，運用三角公式來計算:如果在畫力三角形時，主動力

10、W是按比例尺畫出，則可在力三角形中直接量出結果TAB = 460N TAC = 660N平面匯交力系平衡力系中各個力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。平面匯交力系平衡的解析條件 由:得:該式為平面匯交力系的平衡方程2 平面匯交力系平衡的解析條件(平衡方程)2 平面匯交力系平衡的解析條件(平衡方程)在列平衡方程時注意:坐標軸是可以任意選取的，可以列出任意數(shù)目的平衡方程，獨立的平衡方程只有兩個, 因而可以求解兩個未知量。 支架如圖所示，出 AB 和 AC 桿組成。A、B、C三點均為鉸鏈連接，在A點懸掛重力 P kN 的重物. 桿自重忽略不計. 求 AB 和AC桿所受的力。BCAP例2解 (1)

11、根據(jù)題意，選銷釘A為研究對象。(2)畫受力圖。顯然這是一個平面 匯交的平衡力系。BAACSACSACSABSABBCAP3060ASABSACT解 (1)根據(jù)題意，選銷釘A為研究對象。(2)畫受力圖。顯然這是一個平面 匯交的平衡力系。BCAP3060ASABSACT列平衡方程式，求末知量。 選坐標軸如圖所示。YXBCAP3060ASABSACT列平衡方程式，求末知量。 選坐標軸如圖所示。YXX = 0Y = 0SAB = 0.5 TSAC = 0.866 T60- SAB+ Tcos60= 0SAC - Tcos30= 0BCAP3060ASABSACTYX60SAB SAC均為正值，表示假定

12、指向與實際相同.AB受拉伸，AC受壓縮。X = 0Y = 0SAB = 0.5 TSAC = 0.866 T- SAB+ Tcos60= 0SAC - Tcos30= 0 桿AC，B C在C處鉸接， 另一端均與墻面鉸接. 如圖所示. Fl 和F2 作用在銷釘C上，F(xiàn)1=445(N)， F2=535(N)，不計桿重，試求兩桿所受的力。30ABCF2F134 解：1取銷釘C為研究對象畫受力圖, 此為平面匯交力系的平衡問題。例330ABCF2F134CF2F134SACSBCXY 2. 選力系匯交點C為坐標原點. 建立坐標 如圖所示. 3列平衡方程CF2F134SACSBC 2. 選力系匯交點C為坐

13、標原點. 建立坐標 如圖所示.XY 3列平衡方程 Y = 0 X = 03030ABCF2F134解方程: SAC = 207(N) SBC = 164 (N)CF2F134SACSBCXY30 水平力P作用在剛架的B點. 如題圖所示。如不計剛架重量, 試求支座A和D的約束反力。Pa2aABCDRDRA 解：1 幾何法 取剛架為研究對象. 受力如圖所示. 圖中反力的指向為假設方向。例4PABCDRDRA 2畫力三角形。因為力系平衡所以力三角形自行封閉,力的箭頭首尾相接。如果不能滿足首尾相接的條件，說明原來假設的力的方向有誤，則應把受力圖中力的指向改正過來力三角形見圖 2畫力三角形。因為力系平衡

14、所以力三角形自行封閉,力的箭頭首尾相接。如果不能滿足首尾相接的條件，說明原來假設的力的方向有誤，則應把受力圖中力的指向改正過來力三角形見圖PRDRA21PRDRA21PRDRA213 列算式:由自行封閉的力三角形中的幾何關系求反力的大小解，2 解析法:1取剛架為研究對象，受力如圖所示:2選力系匯交點C為坐標原點，建立坐標軸:XYPABCDRDRA123列平衡方程:PABCDRDRAXY12 在簡支梁A B的中點C作用一個傾斜45的力F，力的大小等于20(KN)，如題圖所示。若梁重不計， 試求二支座的反力。ABCF45ABCF4545 解一：幾何法: 1取梁A B為研究對象，受力如圖所示。 未知

15、力的指向可由力三角形中“首尾相接”的條件確定其正確的指向45RBORA例52畫力三角形。在力三角形中標注出必要的幾何關系，如圖所示。45FRBRA3列算式: 由力三角形的幾何關系求反力的大小ABCF4545RBORA3145FRBRA3列算式: 由力三角形的幾何關系求反力的大小解二：解析法1取梁AB為研究對象，畫受力圖，如圖所示。ABCF4545RBRA312選力系匯交點0為坐標原點，建立坐標如圖:YXO 3列平衡方程 3列平衡方程X = 0Y = 0 ABCF4545RBRA31YXO RA = 22.4 (KN) RB = 10 (KN) 結構由兩彎桿ABC和DE構成。構件重量不計，圖中的

16、長度單位為cm。已知F=200(N)，試求支座A和E的約束反力.AECBDF4668AECBDF4668REORA解：解析法 1. 取整體研究，受力如圖所示例62. 建立坐標軸.3列平衡方程YXAECBDF4668REORA43RA=RE=167N 解：幾何法; 1取整體為研究對象，受力如圖所示。 反力RA、RE的方位由高寬比3：4表示。AECBDF4668REORA43 2畫力三角形。力三角形是一個等腰三角形。AECBDF4668REORA43 2畫力三角形。力三角形是一個等腰三角形。RERAF433列算式：由力三角形 的幾何關系求支座反 力的大小。 2畫力三角形。力三角形是一個等腰三角形。

17、RERAF433列算式：由力三角形 的幾何關系求支座反 力的大小。 重為G 的圓柱擱在傾斜的板A B與墻面之間，如題圖所示。若板與鉛垂線的夾角是30,圓柱與板的接觸點 D 是AB的中點，BC 繩在水平位置 ，各接觸點是光滑的 . 試求繩BC的拉力T和A鉸的約束反力NA的大小。例730ABCEDGEG30ABCEDG 解：1取圓柱為研究對象，畫受力圖. 并建立坐標，列平衡方程。NENDXY3030ABCEDG30ABD 2取板A B為研究對象，畫受力圖TNDO再作力三角形，由力三角形的幾何關系求T和RA的大小:RA3030 2取板A B為研究對象，畫受力圖再作力三角形，由力三角形的幾何關系求T和

18、RA的大小:30ABDTNDORA3030TRAND3030 2取板A B為研究對象，畫受力圖再作力三角形，由力三角形的幾何關系求T和RA的大小:TRAND3030例8 壓緊機構如圖所示.AB與BC長度相等,自重略去不計.A、B、C三處均為鉸鏈連接,油壓活塞產生的水平推力為P.求滑塊C加于工件上的壓緊力為多大?工件LLACBPH 解：1 應先取銷釘B為研究 對象，求出連桿所受之力。BPS1S2工件LLACBPH XYC工件LLACBPH 2 作滑塊C 的受力圖，取坐標軸如圖所示，列平衡方程。S2NRCXY平面匯交力系平衡問題的方法和步驟 1根據(jù)問題的要求，選取合適的研究對象。對于較復雜的物體，要選兩個甚至更多的研究對象。 2正確畫出研究對象的受力圖。所有作用于研究對象上的力(包括主動力和約束反力)都應