復(fù)旦數(shù)學(xué)分析附件習(xí)題答案與提示ex

1、習(xí)題15.11 求下列極限：dx10（1） lim；1 x 2 2 0dx1（2） lim。x nn01 1 n 2 設(shè) f (x, y) 當(dāng) y 固定時(shí)，關(guān)于 x 在a, b 上連續(xù)，且當(dāng) y y0 時(shí)，它關(guān)于 y 單調(diào)增加地趨于連續(xù)函數(shù) (x) ，證明bblimf (x, y)dx (x)dx 。aay y0 3 利用交換積分順序的方法計(jì)算下列積分：xa1 xb1dx(b a 0) ；（1） sin lnxln x01 a sin x dx(1 a 0) 。（2）ln21 a sin x sin x04 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y2（1） I ( y) y edx ； x2 yy 2 cos x

2、y（2） I ( y) ydx ；xt 2xt（3） F (t) 0 dxxt sin(x y t )dy 。222y5 設(shè) I ( y) (x y) f (x)dx ，其中 f 為可微函數(shù)，求 I ( y) 。0b6 設(shè) F ( y) f (x) | y x | dx(a b) ，其中 f (x) 為可微函數(shù)，求 F ( y) 。a7 設(shè)函數(shù) f (x) 具有二階導(dǎo)數(shù)， F (x) 是可導(dǎo)的，證明函數(shù)u(x, t) 1 f (x at) f (x at) 1 2axatxatF ( y)dy2滿足弦振動(dòng)方程 2u 2u a2，t 2x 2以及初始條件u(x,0) f (x),u (x,0)

3、F (x) 。t8利用積分號(hào)下求導(dǎo)法計(jì)算下列積分：（1）ln(a sin x)dx(a 1) ；2220 cos x )dx(| | 1) ；（2）ln(1 220（3）ln(a sin x b cos x)dx 。2222209證明：第二類橢圓積分1E(k) 1 k 2 sin 2 tdt(0 k 1)20滿足微分方程E(k ) 1 E(k ) E(k ) 0 。1 k 2k10設(shè)函數(shù) f (u, v) 在R 2 上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。證明：函數(shù)w(x, y, z) 0f (x z cos, y z sin )d滿足偏微分方程2 2 w 2 w 2 w wz 。xy 2z 2z211設(shè) f

4、(x) 在0,1 上連續(xù)，且 f (x) 0 。研究函數(shù)yf (x)122I ( y) dxx y0的連續(xù)性。習(xí)題15.21 證明下列含參變量反常積分在指定區(qū)間上一致收斂：cos xysin 2x x 0 x 20edx ， 0 ；xdx ， y a 0 ；（1）（2）0y 2（3） 0dx ， a b 。2說(shuō)明下列含參變量反常積分在指定區(qū)間上非一致收斂： x sinx 10dx ， 0 ；， 0 2 。（1）（2） (1 x 2 )03設(shè) f (t) 在t 0 上連續(xù)，反常積分t f (t)dt 當(dāng) a 與 b 時(shí)都收斂，證明0t f (t)dt 關(guān)于 在a, b 上一致收斂。04討論下列含

5、參變量反常積分的一致收斂性： cos xy（1）dx ，在 y y 0 ；00 x( x )2dx ，在（I） a b ；（II） ；，在（I） p p0 0 ；（II） p 0 ；（2）e1（3） x0 xesin xdx ，在（I） 0 ；（II） 0 ；（4）005證明函數(shù) F ( ) cos x dx 在(0,) 上連續(xù)。xsin xx y ( x)2 y106確定函數(shù) F ( y) dx 的連續(xù)范圍。sx7設(shè)f (x)dx 存在。證明 f (x) 的 Laplace 變換 F (s) ef (x)dx 在0, )002上連續(xù)。8證明函數(shù) I (t) cos x0dx 在(,) 上可微

6、。1 (x t)2e ax ebx e ax ebxbedy ，計(jì)算 0 xy（ b a 0 ）。9利用dxxxa10利用 sin bx sin ax sin bx sin axbcos xydy ，計(jì)算epx（ p 0 ，dxxb a 0 ）。xa0dxdx00（ a 0 ），計(jì)算 I 11利用（ n 為正整數(shù)）。na x 2(a x 2 )n12 a arctanx ) 12計(jì)算 g(dx 。1x 2x 2 113設(shè) f (x) 在0,) 上連續(xù)，且 lim f (x) 0 ，證明x f (ax) f (bx)f (0) ln b （ a, b 0 ）。dx xa0c22 ey dy e2

7、c （ c 0 ）； 2y2214（1）利用edy y推出 L(c)200（2）利用積分號(hào)下求導(dǎo)的方法引出 dL 2L ，以此推出與（1）同樣的結(jié)果，dcay 2 b并計(jì)算ey2 dy （ a 0, b 0 ）。0cos x1 2 x 2 t ( 2 x2 )edt 00 2dx （ 0 ）。，計(jì)算 J 15利用x 2習(xí)題15.31 計(jì)算下列積分：1dx3 cos x0（1）x x 2 dx ；（2）；0 xm 1dx1（4） 0（ n 0 ）；dx （ n m 0 ）；（3）1 xn0 n1 xn14x0（5） 72 dx ；（6）sin x cos xdx ；22(1 x)01m xnp

8、1n q1（7）x edx （ m, n 0 ）；（8） x(1 x )dx （ p, q, n 0 ）。001 1 nn x xedx （ n 為正整數(shù)），并推出limedx 1 。2 證明n n n 003 證明 (s) 在 s 0 上可導(dǎo)，且 (s) xeln xdx 。進(jìn)一步證明 s1 x0(s) xeln x dx （ n 1）。( n)s 1 xn04 證明 lim (s) 。s315 計(jì)算 ln (x)dx 。06設(shè) (x, y, z) | x 2 y 2 z 2 1。確定正數(shù) p ，使得反常重積分dxdydzI 1 x y z p222收斂。并在收斂時(shí)，計(jì)算 I 的值。7設(shè) (x, y, z) | x 0, y 0, z 0。確定正數(shù) , , ，使得反常重積分dxdydz1 x y z I收斂。并在收斂時(shí)，計(jì)算 I 的值。8計(jì)算I xm1 yn1 (1 x y) p1 dxdy ，D其中D 是由三條直線 x 0 ， y 0 及 x y 1 所圍成的閉區(qū)域， m, n, p 均為大于 0 的