專題四：三角形中的三角問題含向量

1、高三數(shù)學(xué)微專題四三角形中的三角向量問題（含向量）基礎(chǔ)回顧 1在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()_2在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)eq o(BC,sup6()2eq o(BD,sup6()，eq o(CA,sup6()3eq o(CE,sup6()，則eq o(AD,sup6()eq o(BE,sup6()_.3在ABC中，a，b，c為內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m(1，eq r(3)與n(cos A，sin A)平行，且acos Bbcos Acsin C，則角B_.4在ABC中，Ceq f(,2)，AC1，BC2，則f()

2、|2eq o(CA,sup6()(1)eq o(CB,sup6()|的最小值是_典型例題 例1如圖，在OAB中，已知P為線段AB上的一點(diǎn)，eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6().(1)若eq o(BP,sup6()eq o(PA,sup6()，求x，y的值；(2)若eq o(BP,sup6()3eq o(PA,sup6()，|eq o(OA,sup6()|4，|eq o(OB,sup6()|2，且eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()的夾角為60時(shí)，求eq o(OP,sup6()eq o(AB,sup6()的值例2如圖所示，

3、已知ABC的面積為14 cm2，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，且eq f(AD,DB)eq f(BE,EC)2，, 求APC的面積例3.的三個(gè)內(nèi)角依次成等差數(shù)列 （）若，試判斷的形狀； （）若為鈍角三角形，且，試求代數(shù)式的取值范圍例4已知點(diǎn)A，B，C是直線l上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O是l外一點(diǎn)，向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()滿足eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x21)eq o(OB,sup6()(ln xy)eq o(OC,sup6()0，記yf(x)(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)若

4、對任意的x1,2，不等式|aln x|ln(f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍同步練習(xí)1設(shè)O是ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且EQ O(OA,SUP8()2EQ O(OB,SUP8()2EQ O(PC,SUP8()2EQ O(PO,SUP8()，則ABC和BOC的面積之比為 2在四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()(1,1)，eq f(1,|o(BA,sup6()|)eq o(BA,sup6()eq f(1,|o(BC,sup6()|)eq o(BC,sup6()eq f(r(3),|o(BD,sup6()|)eq o(BD,sup6()，則四邊

5、形ABCD的面積為_3在ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，S為ABC的面積，若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)滿足pq，則C_.4設(shè)兩個(gè)向量a(2，2cos2 )和beq blc(rc)(avs4alco1(m，f(m,2)sin )，其中，m，為實(shí)數(shù)若a2b，則eq f(,m)的取值范圍是_5 在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，|eq o(AM,sup6()|1，eq o(AP,sup6()2eq o(PM,sup6()，則eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()_.6ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BCeq r(

6、7)，則eq o(AO,sup6()eq o(BC,sup6()_.7在ABC中，已知BC2，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()1，則ABC的面積SABC最大值是_8. 給出下列三個(gè)命題（1）若00恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)由題意，得eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x21)eq o(OB,sup6()(ln xy)eq o(OC,sup6()，且A，B，C三點(diǎn)共線，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x21)(ln xy)1，所以yf(x)ln xeq f(1,2)x2(x0)(2)因?yàn)閒(

7、x)eq f(1,x)x，所以|aln x|lneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)，即aln xlneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)恒成立因?yàn)閘n xlneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)lneq f(x2,x21)lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,x21)在1,2上取最小值ln 2，ln xlneq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)ln(x21)在1,2上取最大值ln 5，所以a的取值范圍是(，ln 2)(ln 5，)同步練習(xí) 1設(shè)O是ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且EQ O(

8、OA,SUP8()2EQ O(OB,SUP8()2EQ O(PC,SUP8()2EQ O(PO,SUP8()，則ABC和BOC的面積之比為 51 2在四邊形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()(1,1)，eq f(1,|o(BA,sup6()|)eq o(BA,sup6()eq f(1,|o(BC,sup6()|)eq o(BC,sup6()eq f(r(3),|o(BD,sup6()|)eq o(BD,sup6()，則四邊形ABCD的面積為_eq r(3)_3在ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，S為ABC的面積，若向量p(4，a2b2c2)

9、，q(1，S)滿足pq，則C_eq f(,4)_.4設(shè)兩個(gè)向量a(2，2cos2 )和beq blc(rc)(avs4alco1(m，f(m,2)sin )，其中，m，為實(shí)數(shù)若a2b，則eq f(,m)的取值范圍是_6,1_解析由a2b，得eq blcrc (avs4alco1(22m，,2cos2m2sin .)由2mcos22sin 2(sin 1)2，得22m2，又2m2，則24(m1)2m2，eq blcrc (avs4alco1(4m29m20，,4m29m60.)解得eq f(1,4)m2，而eq f(,m)eq f(2m2,m)2eq f(2,m)，故6eq f(,m)1.5在A

10、BC中，M是BC的中點(diǎn)，|eq o(AM,sup6()|1，eq o(AP,sup6()2eq o(PM,sup6()，則eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()_eq f(4,9)_.解析因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PM,sup6()，又eq o(AP,sup6()2eq o(PM,sup6()，|eq o(AM,sup6()|1，所以eq o(PA,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()2eq o(PM,sup6()4|e

11、q o(PM,sup6()|2eq f(4,9)|eq o(AM,sup6()|2eq f(4,9).6ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BCeq r(7)，則eq o(AO,sup6()eq o(BC,sup6()_eq f(5,2)_.7在ABC中，已知BC2，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()1，則ABC的面積SABC最大值是_eq r(2)解析以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(1,0)，C(1,0)設(shè)A(x，y)則eq o(AB,sup6()(1x，y)，eq o(AC,sup6()(1x，y)，于是eq o(

12、AB,sup6()eq o(AC,sup6()(1x)(1x)(y)(y)x21y2.由條件eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()1知x2y22，這表明點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心，eq r(2)為半徑的圓上當(dāng)OABC時(shí)，ABC面積最大，即SABCeq f(1,2)2eq r(2)8 給出下列三個(gè)命題（1）若0tanAtanB1，則ABC一定是鈍角三角形；（2）若lgcosA=lgsinClgsinB=lg2, 則ABC是等腰直角三角形；（3）若cos(AB)cos(BC)cos(CA)1，則ABC一定是等邊三角形以上正確命題的序號(hào)是： 9已知ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)M滿足2eq o(A

13、M,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AB,sup6()2，則M點(diǎn)的軌跡過ABC的_外_心解析如圖，設(shè)N是BC的中點(diǎn)，則由2eq o(AM,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()2eq o(AN,sup6()，得(eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()eq o(BC,sup6()0，即eq o(NM,sup6()eq o(BC,sup6()0，所以eq o(NM,sup6()eq o(B

14、C,sup6()，所以M點(diǎn)的軌跡過ABC的外心10已知中，邊上的高與邊的長相等，則的最大值為 11ABC 內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且（1）求數(shù)量積；（2）求ABC的面積解析（1）兩邊平方，得，同理可得，（2）由，可得，由，得，同理求得其他三角形面積，所以12設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx. （1）求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期. （2）設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=，f()=，且C為銳角，求sinA.解析（1）f(x)= 函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期. （2）f()=， C為銳角，,sinA =cosB=. 13在ABC中，A，B，C所對邊分別為a，

15、b，c，已知向量m(1,2sin A)，n(sin A,1cos A)，且滿足mn，bceq r(3)a.(1)求A的大??；(2)求sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,6)的值解析(1) Aeq f(,3).(2)bceq r(3)a，由正弦定理，得sin Bsin Ceq r(3)sin Aeq f(3,2).因?yàn)锽Ceq f(2,3)，所以sin Bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)B)eq f(3,2).所以eq f(r(3),2)cos Beq f(3,2)sin Beq f(3,2)，即sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf

16、(,6)eq f(r(3),2).14已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQl，垂足為Q，且(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ,sup6()(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ,sup6()0.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()的最值解析(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)由(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ,sup6()(eq o(PC,sup6()eq f(1,2)eq o(PQ

17、,sup6()0，得|PC|2eq f(1,4)|PQ|20，即(x2)2y2eq f(1,4)(x8)20，化簡得eq f(x2,16)eq f(y2,12)1.所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為eq f(x2,16)eq f(y2,12)1. (2)因eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6()(eq o(NE,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NF,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NF,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NF,sup6()eq o(NP,sup6()(eq o(NP,sup6()2eq o(NF,sup6()2eq o(NP,sup6()21，是設(shè)P(x0，y0)，則有eq f(xoal(2,0),16)eq f(yoal(2,0),12)1，即xeq oal(2,0)16eq f(4yoal(2,0),3)，