二次函數(shù)和冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總

1、 WORD 13/13教 學(xué) 容二次函數(shù)與冪函數(shù)1二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函數(shù)叫作二次函數(shù)(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖像定義域(，)(，)值域eq blcrc)(avs4alco1(f(4acb2,4a)，)eq blc(rc(avs4alco1(，f(4acb2,4a)單調(diào)性在xeq blc(rc(avs4alco1(，f(b,

2、2a)上單調(diào)遞減；在xeq blcrc)(avs4alco1(f(b,2a)，)上單調(diào)遞增在xeq blc(rc(avs4alco1(，f(b,2a)上單調(diào)遞增；在xeq blcrc)(avs4alco1(f(b,2a)，)上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b0時(shí)為偶函數(shù)，b0時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2a)，f(4acb2,4a)對(duì)稱性圖像關(guān)于直線xeq f(b,2a)成軸對(duì)稱圖形3.冪函數(shù)形如yx (R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)4冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖像比較(2)冪函數(shù)的性質(zhì)比較yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1定義域RRR

3、0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增x0，)時(shí)，增；x(，0時(shí)，減增增x(0，) 時(shí)，減；x(，0)時(shí)，減難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1二次函數(shù)的三種形式(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式(2)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式(3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便2冪函數(shù)的圖像(1)在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近x軸，在(1，)上冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸(2)函數(shù)yx，yx2，yx3，yxeq f(1,2)，yx1可作為研究和學(xué)

4、習(xí)冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的代表1已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值圍為_答案(，2解析f(x)的圖像的對(duì)稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.2(課本改編題)已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值圍為_答案1,2解析yx22x3的對(duì)稱軸為x1.當(dāng)m2時(shí)，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，無解1m2.3若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_答案1或2解析由eq blcrc (avs4alco1(m23m31,m2m20)，解得m1或2.經(jīng)檢驗(yàn)m1或2都適合4(人教A版教材例題改編)如圖中曲線是冪

5、函數(shù)yxn在第一象限的圖像已知n取2，eq f(1,2)四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為_答案2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2解析可以根據(jù)函數(shù)圖像是否過原點(diǎn)判斷n的符號(hào)，然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值5函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱的充要條件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函數(shù)f(x)x2mx1的圖像的對(duì)稱軸為xeq f(m,2)，且只有一條對(duì)稱軸，所以eq f(m,2)1，即m2.題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)思維啟迪：確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，

6、有三種形式，可根據(jù)條件靈活運(yùn)用解方法一設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，依題意有eq blcrc (avs4alco1(4a2bc1，,abc1，,f(4acb2,4a)8，)解之，得eq blcrc (avs4alco1(a4，,b4，,c7，)所求二次函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.方法二設(shè)f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，拋物線對(duì)稱軸為xeq f(21,2)eq f(1,2).meq f(1,2).又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n8，yf(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)28.f(2)1，aeq blc(rc)(avs4alco1(2f(1,2)2

7、81，解之，得a4.f(x)4eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)284x24x7.方法三依題意知，f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即eq f(4a2a1a2,4a)8，解之，得a4或a0(舍去)函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數(shù)有三種形式的解析式，要根據(jù)具體情況選用：如和對(duì)稱性、最值有關(guān)，可選用頂點(diǎn)式；和二次函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，可選用零點(diǎn)式；一般式可作為二次函數(shù)的最終結(jié)果 已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值為15

8、；(3)f(x)0的兩根平方和等于17.求f(x)的解析式解依條件，設(shè)f(x)a(x1)215 (a2xm恒成立，數(shù)m的取值圍思維啟迪：對(duì)于(1)，由f(0)1可得c，利用f(x1)f(x)2x恒成立，可求出a，b，進(jìn)而確定f(x)的解析式對(duì)于(2)，可利用函數(shù)思想求得解(1)由f(0)1，得c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，eq blcrc (avs4alco1(2a2，,ab0，)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm，即x2

9、3x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值圍是(，1)探究提高二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖像貫穿為一體因此，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖像是探求解題思路的有效方法用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(diǎn) 已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖像過點(diǎn)(1,3)，且f(1x)f(1x)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與

10、yf(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，數(shù)的取值圍解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖像過點(diǎn)(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當(dāng)10時(shí)，F(xiàn)(x)的對(duì)稱軸為xeq f(

11、22,21)eq f(1,1)，又F(x)在(1,1上是增函數(shù)eq blcrc (avs4alco1(10,f(1,1)1).1或10.當(dāng)10，即1時(shí)，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值圍為(，0題型四冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)例4已知冪函數(shù)f(x)xm22m3 (mN*)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足(a1)eq f(m,3)(32a)eq f(m,3)的a的取值圍思維啟迪：由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m22m30，再結(jié)合m是整數(shù)，與冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值解函數(shù)在(0，)上遞減，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，m22m3是偶

12、數(shù)，而222233為奇數(shù)，122134為偶數(shù)，m1.而f(x)xeq f(1,3)在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，(a1)eq f(1,3)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或eq f(2,3)aeq f(3,2).故a的取值圍為eq blcrc(avs4alco1(a|a1或f(2,3)a0，a0恒成立的充要條件是eq blcrc (avs4alco1(a0,b24ac0).(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要條件是eq blcrc (avs4alco1(a0,b24ac0，)若f()4，則實(shí)數(shù)等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2答案B解析當(dāng)0時(shí)，f()4，得4；當(dāng)0

13、時(shí)，f()24，得2.4或2.2已知函數(shù)f(x)x22x2的定義域和值域均為1，b，則b等于()A3 B2或3 C2 D1或2答案C解析函數(shù)f(x)x22x2在1，b上遞增，由已知條件eq blcrc (avs4alco1(f11，,fbb，,b1，)即eq blcrc (avs4alco1(b23b20，,b1.)解得b2.3設(shè)abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像可能是()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，ab0，知A，C錯(cuò)誤，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，xeq f(b,2a)0，B錯(cuò)誤4設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)

14、數(shù)m的取值圍是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a0，f(x)2a(x1)0，即函數(shù)圖像的開口向上，對(duì)稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當(dāng)f(m)f(0)時(shí)，有0m2.二、填空題(每小題5分，共15分)5二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_答案yeq f(1,2)(x2)216已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值圍為_答案(，2解析f(x)的圖像的對(duì)稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.7當(dāng)eq blcrc(avs4alco1(1，f(1

15、,2)，1，3)時(shí)，冪函數(shù)yx的圖像不可能經(jīng)過第_象限答案二、四解析當(dāng)1、1、3時(shí)，yx的圖像經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)eq f(1,2)時(shí)，yx的圖像經(jīng)過第一象限三、解答題(共22分)8(10分)已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且f(x)2x的解集為x|1x3，方程f(x)6a0有兩相等實(shí)根，求f(x)的解析式解設(shè)f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，則f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即(5a1)(a1)0，解得aeq f(1,5)或a1(舍去)因此f(x)的解析式為f(x)eq f(1,5)(x1)(x3)9(12分)是否存在實(shí)

16、數(shù)a，使函數(shù)f(x)x22axa的定義域?yàn)?,1時(shí)，值域?yàn)?,2？若存在，求a的值；若不存在，說明理由解f(x)(xa)2aa2.當(dāng)a1時(shí)，f(x)在1,1上為增函數(shù)，eq blcrc (avs4alco1(f113a2，,f11a2)a1(舍去)；當(dāng)1a0時(shí)，eq blcrc (avs4alco1(faaa22，,f11a2)a1；當(dāng)01時(shí)，f(x)在1,1上為減函數(shù)，eq blcrc (avs4alco1(f113a2，,f11a2)a不存在綜上可得a1.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1已知冪函數(shù)f(x)x的圖像經(jīng)過點(diǎn)eq blc(rc)

17、(avs4alco1(2，f(r(2),2)，則f(4)的值等于()A16 B.eq f(1,16)C2 D.eq f(1,2)答案D解析將點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(r(2),2)代入得：2eq f(r(2),2)，所以eq f(1,2)，故f(4)eq f(1,2).2已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值圍是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)答案B解析當(dāng)m0時(shí)，顯然不合題意；當(dāng)m0時(shí)，f(0)10，若對(duì)稱軸eq f(4m,2m)0，即0m4，結(jié)論顯然成立；若

18、對(duì)稱軸eq f(4m,2m)4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8，綜上，0m8，選B.3已知二次函數(shù)yx22ax1在區(qū)間(2,3)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值圍是()Aa2或a3 B2a3Ca3或a2 D3a2答案A解析由函數(shù)圖像知，(2,3)在對(duì)稱軸xa的左側(cè)或右側(cè)，a3或a2.二、填空題(每小題5分，共15分)4已知二次函數(shù)yf(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，49)，且方程f(x)0的兩個(gè)實(shí)根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是_答案f(x)4x212x40解析設(shè)二次函數(shù)的解析式為f(x)aeq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)249 (a0