Minitab數(shù)據(jù)分析 2-2__離散型隨機(jī)變量及其分布律

1、一、離散型隨機(jī)變量的分布律二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布三、小結(jié)2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布律說明 一、離散型隨機(jī)變量的分布列定義離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為或分布函數(shù)分布律離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)演示離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系例 1 拋擲均勻硬幣, 令求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù).解 例 一只鳥兒要從房間內(nèi)飛出去,該房間有3個門,其中只有一個門是打開的.鳥兒隨機(jī)地選擇。以X表示鳥兒試飛的總次數(shù)，在下面兩種情況下，分別求X的分布列。(1)這只鳥兒智商很高，有較強(qiáng)的記憶力（2）這只鳥兒很瓜,一點(diǎn)記憶力都沒有二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布 設(shè)隨機(jī)變量 X 只

2、可能取0與1兩個值 , 它的分布律為2.兩點(diǎn)分布1.退化分布若隨機(jī)變量X取常數(shù)值C的概率為1,即則稱X服從退化分布.實(shí)例1 “拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況. 隨機(jī)變量 X 服從 (0-1) 分布.其分布律為則稱 X 服從 (0-1) 分布或兩點(diǎn)分布.記為Xb(1,p) 兩點(diǎn)分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)分布.說明兩點(diǎn)分布隨機(jī)數(shù)演示貝努利實(shí)驗(yàn)：設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)時隨機(jī)事件A發(fā)生或不發(fā)生，且P(A)=p,現(xiàn)將E獨(dú)立地重復(fù)n次的實(shí)驗(yàn)稱為貝努利實(shí)驗(yàn)，或者稱為貝努利概型。3.二項(xiàng)分布若X的分布律

3、為：稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)貝努利分布。記為 ,其中q1p二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)演示例如 在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊,每次射擊時擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從 B (5,0.6) 的二項(xiàng)分布.二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)演示分析 這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例2解圖示概率分布例3解因此4. 泊松分布 泊松資料泊松分布的圖形泊松分布隨機(jī)數(shù)演示泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個數(shù)的情況時,他們做了

4、2608 次觀察(每次時間為7.5 秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi), 其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布.地震 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.火山爆發(fā)特大洪水電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù) 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , 泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布.泊松定理證明二項(xiàng)分布 泊松分布n很大, p 很小上面我們提到單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出例5 有一繁忙的汽車站, 每天

5、有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少? 設(shè)1000 輛車通過,出事故的次數(shù)為 X , 則可利用泊松定理計(jì)算所求概率為解6. 幾何分布 若隨機(jī)變量 X 的分布律為則稱 X 服從幾何分布.實(shí)例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p,對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目 X 是一個隨機(jī)變量 , 求X 的分布律.幾何分布隨機(jī)數(shù)演示所以 X 服從幾何分布.說明 幾何分布可作為描述某個試驗(yàn) “首次成功”的概率模型.解7.超幾何

6、分布設(shè)X的分布律為 超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用 到.說明離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布均勻分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布三、小結(jié)超幾何分布退化分布例 從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件、一件地取產(chǎn)品.設(shè)每次抽取時, 所面對的各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等.在下列三種情形下, 分別求出直到取得正品為止所需次數(shù) X 的分布律.(1)每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢定后又放回這批產(chǎn)品中去在取下一件產(chǎn)品;(2)每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中;(3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中.備份題故 X 的分布律為解(1) X 所取的可能值是 (2) 若每次取出的產(chǎn)品都不放回

7、這批產(chǎn)品中時,故 X 的分布律為X 所取的可能值是 (3) 每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批 產(chǎn)品中.故 X 的分布律為X 所取的可能值是例 為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工人 (工人配備多了就浪費(fèi) , 配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺,各臺工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況) ,問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01?解所需解決的問題使得合理配備維修工人問題由泊松定理得故有即個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.故至少需配備8

8、例6 (人壽保險問題)在保險公司里 有2500個同年齡同社會階層的人參加了人壽保險,在每一年里每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日付12元保險費(fèi),而在死亡時,家屬可在公司里領(lǐng)取200元.問 (1)保險公司虧本的概率是多少? (2) 保險公司獲利不少于一萬元的概率是多少? 保險公司在1月1日的收入是 250012=30000元解 設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則保險公司這一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人時公司虧本.于是,P公司虧本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得P公司虧本(2) 獲利不少于一萬元,即 30000 -200X 10000即X10P獲利不少于一萬元=PX10Jacob BernoulliBorn: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in