大學(xué)高數(shù)下冊試題及答案

1、第 PAGE10 頁 共 NUMPAGES10 頁大學(xué)高數(shù)下冊試題及答案高等數(shù)學(xué)（下冊）測試題一 一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）1設(shè)有直線 及平面，則直線（ A ）A平行于平面；B在平面上；C垂直于平面；D與平面斜交.2二元函數(shù)在點處（ C ）A連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在；B連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在；C不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在；D不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在.3設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則（ B ）A；B；C D.4設(shè)是平面由，所確定的三角形區(qū)域，則曲面積分 （ D ）A7；B；C；D.5微分方程的一個特解應(yīng)具有形式（ B ）A；B；C；D.二、填空題（每小題3分，本大題共15分）1設(shè)一平面經(jīng)過原點及

2、點，且與平面垂直，則此平面方程為；2設(shè)，則；3設(shè)為正向一周，則 0 ；4設(shè)圓柱面，與曲面在點相交，且它們的交角為，則正數(shù) ；5設(shè)一階線性非齊次微分方程有兩個線性無關(guān)的解，若也是該方程的解，則應(yīng)有 1 .三、（本題7分）設(shè)由方程組確定了，是，的函數(shù)，求及與.解：方程兩邊取全微分，則 解出 從而 四、（本題7分）已知點及點，求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù). 解：， 從而 五、（本題8分）計算累次積分 ）. 解：依據(jù)上下限知，即分區(qū)域為 作圖可知，該區(qū)域也可以表示為 從而 六、（本題8分）計算，其中是由柱面及平面圍成的區(qū)域.解：先二后一比較方便， 七（本題8分）計算，其中是拋物面被平面所截下的有限部分

3、.解：由對稱性 從而 八、（本題8分）計算，是點到點在上半平面上的任意逐段光滑曲線.解：在上半平面上 且連續(xù)， 從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關(guān)，取 九、（本題8分）計算，其中為半球面上側(cè). 解：補(bǔ)取下側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面的外側(cè) 十、（本題8分）設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，適合，求 解：由已知 即 十一、（本題4分）求方程的通解. 解：解：對應(yīng)齊次方程特征方程為 非齊次項，與標(biāo)準(zhǔn)式 比較得,對比特征根，推得，從而特解形式可設(shè)為 代入方程得 十二、（本題4分）在球面的第一卦限上求一點，使以為一個頂點、各面平行于坐標(biāo)面的球內(nèi)接長方體的表面積最小. 解：設(shè)點的坐標(biāo)為，則問題即在求最小值。令，則由 推出，的

4、坐標(biāo)為 附加題：（供學(xué)習(xí)無窮級數(shù)的學(xué)生作為測試）1判別級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？ 解：由于，該級數(shù)不會絕對收斂， 顯然該級數(shù)為交錯級數(shù)且一般項的單調(diào)減少趨于零，從而該級數(shù)條件收斂 2求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù).解：從而收斂區(qū)間為， 3將展成以為周期的傅立葉級數(shù).解：已知該函數(shù)為奇函數(shù)，周期延拓后可展開為正弦級數(shù)。高等數(shù)學(xué)（下冊）測試題二 一、選擇題（每小題3分，本大題共15分）（在括號中填上所選字母）1設(shè)，且可導(dǎo)，則為（ D ）A；B；C；D 2從點到一個平面引垂線，垂足為點，則這個平面的方 程是（ B ）A；B；C；D 3微分方程的通解是（ D ）A；B；C；D 4

5、設(shè)平面曲線為下半圓周，則曲線積分等于（ A ）A；B；C；D 5累次積分（ A ）A；B；C；D 二填空題（每小題5分，本大題共15分）1曲面在點處的切平面方程是；.2微分方程的待定特解形式是；3設(shè)是球面的外測，則曲面積分 三、 一條直線在平面：上，且與另兩條直線L1：及L2：（即L2：）都相交，求該直線方程（本題7分）解：先求兩已知直線與平面的交點，由 由 由兩點式方程得該直線：四、求函數(shù)在點處的梯度及沿梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù)（本題7分）解：沿梯度方向上函數(shù)的方向?qū)?shù) 五、做一個容積為1立方米的有蓋圓柱形桶，問尺寸應(yīng)如何，才能使用料最省？（本題8分）解：設(shè)底圓半徑為，高為，則由題意，要求的

6、是在條件下的最小值。由實際問題知，底圓半徑和高分別為才能使用料最省 六、設(shè)積分域D為所圍成，試計算二重積分（本題8分）解：觀察得知該用極坐標(biāo)， 七、計算三重積分，式中為由所確定的固定的圓臺體（本題8分）解：解：觀察得知該用先二后一的方法 八、設(shè)在上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求曲線積分，其中曲線L是從點到點的直線段（本題8分）解：在上半平面上 且連續(xù)， 從而在上半平面上該曲線積分與路徑無關(guān)， 取折線 九、計算曲面積分，其中，為上半球面：（本題8分）解：由于，故 為上半球面，則 原式 十、求微分方程 的解（本題8分）解：由，得 十一、試證在點處不連續(xù)，但存在有一階偏導(dǎo)數(shù)（本題4分）解：沿著直線， 依賴而變

7、化，從而二重極限不存在，函數(shù)在點處不連續(xù)。而 十二、設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解為，試確定常數(shù)，并求該方程的通解（本題4分）解：由解的結(jié)構(gòu)定理可知，該微分方程對應(yīng)齊次方程的特征根應(yīng)為，否則不能有這樣的特解。從而特征方程為 因此 為非齊次方程的另一個特解， 故，通解為 附加題：（供學(xué)習(xí)無窮級數(shù)的學(xué)生作為測試）1求無窮級數(shù)的收斂域及在收斂域上的和函數(shù) 解：由于在時發(fā)散，在時條件收斂，故收斂域為 看， 則 從而 2求函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式 解：3將函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)，并指明展開式成立的范圍 解：作周期延拓， 從而 高等數(shù)學(xué)（下冊）測試題三 一、填空題 1若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù) 2設(shè)，則

8、 3設(shè)S是立方體的邊界外側(cè)，則曲面積分 3 4設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 5微分方程用待定系數(shù)法確定的特解（系數(shù)值不求）的形式為 二、選擇題 1函數(shù)在點處（ D ） （A）無定義；（B）無極限；（C）有極限但不連續(xù)；（D）連續(xù) 2設(shè)，則（ B ） （A）；（B）；（C）；（D） 3兩個圓柱體，公共部分的體積為（ B ） （A）；（B）；（C）；（D） 4若，則數(shù)列有界是級數(shù)收斂的（ A ） （A）充分必要條件；（B）充分條件，但非必要條件；（C）必要條件，但非充分條件；（D）既非充分條件，又非必要條件 5函數(shù)（為任意常數(shù)）是微分方程的（ C ） （A）通解；（B）特解；（C）是

9、解，但既非通解也非特解；（D）不是解 三、求曲面上點處的切平面和法線方程 解：切平面為 法線為 四、求通過直線 的兩個互相垂直的平面，其中一個平面平行于直線 解：設(shè)過直線的平面束為 即 第一個平面平行于直線， 即有 從而第一個平面為 第二個平面要與第一個平面垂直， 也即 從而第二個平面為 五、求微分方程的解，使得該解所表示的曲線在點處與直線相切 解：直線為，從而有定解條件， 特征方程為 方程通解為，由定解的初值條件 ，由定解的初值條件 從而，特解為 六、設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)滿足方程 試求出函數(shù) 解：因為 特征方程為 七、計算曲面積分 ， 其中是球體與錐體的公共部分的表面，是其外法線方向的方向余弦 解：兩表面的交線為 原式，投影域為， 用柱坐標(biāo) 原式 另解：用球坐標(biāo) 原式 八、試將函數(shù)展成的冪級數(shù)（要求寫出該冪級數(shù)的一般項并指出其收斂區(qū)間） 解：九、判斷級數(shù)的斂散性 解：當(dāng)，級