數(shù)學(xué)同步練習(xí)題考試題試卷教案一筆畫圖形

1、二十七 一筆畫圖形一筆畫的理論是由大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）建立的.他在建立這一理論的過程中方法新穎、獨(dú)特，使人們折服、傾倒.并且為人類思想寶庫(kù)奉獻(xiàn)了一顆耀眼的珍珠，這顆珍珠將在人類的智慧史上放射著不滅的光輝.同學(xué)們，你肯定想知道什么是一筆畫吧？讓我們從一個(gè)游戲開始. 問題27.1圖271中有四個(gè)圖形，你能一筆畫出來嗎？這就是一筆畫問題.對(duì)以上四個(gè)圖，經(jīng)過幾次試畫讀者不難發(fā)現(xiàn)：圖（1）可一筆畫成且從任一點(diǎn)出發(fā)均可回到出發(fā)點(diǎn)；圖（2）可一筆畫成但起點(diǎn)只能在D或B點(diǎn)且不能回到出發(fā)點(diǎn)；圖（3）、（4）均不能一筆畫成.如果一個(gè)圖形可以用筆不離紙且每條線都畫到并不準(zhǔn)重復(fù)，則這個(gè)圖形就叫做一筆畫圖形.關(guān)于

2、一筆畫問題有下面幾個(gè)問題需要解決：（1）怎樣簡(jiǎn)單地判斷一個(gè)圖形能否一筆畫？（2）如果能一筆畫，什么時(shí)候可回到出發(fā)點(diǎn)，什么時(shí)候又不能？（3）對(duì)不能回到起點(diǎn)的一筆畫，應(yīng)把何處作為起點(diǎn)？何處作為終點(diǎn)？（4）若一個(gè)圖形不能一筆畫，那么至少需要幾筆畫成？當(dāng)圖形較簡(jiǎn)單時(shí)（如圖271），只要進(jìn)行幾次“試畫”，就可以回答上述所有問題.但是，當(dāng)圖形較復(fù)雜時(shí)，要回答上述問題難度就大了.同學(xué)們不信可以試試，如果你不看下文就能獨(dú)立地解決這個(gè)問題，那么在這一問題上你就與大數(shù)學(xué)家歐拉一樣聰明了.下面我們開始研究一筆畫問題.讓我們從產(chǎn)生這一問題的歷史背景談起吧！說起來還有一段引人入勝的故事呢！事情發(fā)生在公元18世紀(jì)普魯士的

3、哥尼斯堡城.一條河從這個(gè)城市穿過，河中有兩個(gè)小島把主流分成了兩半.河上有七座橋連接兩島同河的兩岸溝通（如圖272）.這是個(gè)風(fēng)景秀麗的地方，吸引了許多游人.人們?cè)谶@里參觀、散步.不知誰(shuí)最先提出了一個(gè)問題：一個(gè)散步者怎樣能一次走遍這七座橋，最后又回到出發(fā)點(diǎn)，而每座橋只走過一次，不許重復(fù).這一問題似乎不難，誰(shuí)都愿意試一試，但沒有一個(gè)勝利者.這下引起了許多優(yōu)秀人才極大的興趣和好奇心.過了很久一段時(shí)間，這件事被瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉知道了.歐拉頭腦比較冷靜，千百人的失敗，使歐拉猜想：也許那樣的走法根本不存在.經(jīng)過艱辛的探索以后，他于1736年在圣彼得堡科學(xué)院作了一次報(bào)告，終于向人們解開了“七橋問題”之謎，并徹

4、底地解決了一筆畫的所有問題.下面讓我們來看看歐拉是怎么解決這一問題的，從而欣賞一下這位數(shù)學(xué)泰斗精彩絕妙的數(shù)學(xué)思維.歐拉在對(duì)圖形進(jìn)行了深入細(xì)致的研究之后，發(fā)現(xiàn)任何圖都是由點(diǎn)和線組成的.他把圖中的點(diǎn)分成兩類：若從一點(diǎn)發(fā)出的線的整目是偶數(shù)，就稱為一個(gè)偶點(diǎn)，若是奇數(shù)就稱為奇點(diǎn).如圖273，除B、J、D、F是奇點(diǎn)外，其它均為偶點(diǎn).歐拉認(rèn)為，分開的圖形顯然是不能一筆畫的如圖271（4）.一個(gè)連在一起的圖（叫連通圖），能不能一筆畫與此圖形中奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān).通過試畫及進(jìn)一步的研究歐拉認(rèn)識(shí)到：研究一筆畫問題時(shí)，如果我們細(xì)心地把所有可能的畫法列成表格，可以逐一檢查哪些（如果有的話）是滿足要求的.然而這種解法太乏味

5、且太困難了.因?yàn)榭赡艿慕M合數(shù)目太大，而對(duì)于別的線數(shù)更多的圖根本就不能用.如按照這樣的辦法分析就要引出許多與問題無關(guān)的枝節(jié)，這無疑是這種方法麻煩的原因.因此必須放棄它，去尋求另一種更專用、更本質(zhì)、更廣泛實(shí)用的簡(jiǎn)單方法.歐拉先假定一個(gè)圖形已經(jīng)一筆畫成，再考察其特點(diǎn)：它一定有一個(gè)起點(diǎn)B，一個(gè)終點(diǎn)E和一些中間點(diǎn)mi（圖274）.（1）首先可斷言所有中間點(diǎn)mi必為偶點(diǎn)，因?yàn)槊看斡幸粭l線畫進(jìn)mi必有一條從mi畫出的線與之配對(duì).（2）如果B不與E重合，則B、E必為奇點(diǎn).事實(shí)上，我們先從B畫出去，即使中途畫進(jìn)B點(diǎn)，最后還是要畫出去，所以畫出B點(diǎn)的線總比畫進(jìn)來的線多一條，因而B是奇點(diǎn).同樣E也為奇點(diǎn).（3）如果

6、B與E重合，則B（即E）必為偶點(diǎn).這是因?yàn)檫M(jìn)、出B點(diǎn)的線一樣多.反過來可以證明：凡具備條件（1）、（2）、（3）的圖形均可一筆畫.由此歐拉就得到了下面的結(jié)論：一筆畫定理 若一個(gè)連通圖形奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2時(shí)，其圖形必為一筆畫（反之亦然）.而且（1）當(dāng)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí)，可以取任一（偶）點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這一點(diǎn)；（2）當(dāng)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn).應(yīng)特別注意：歐拉解決這一問題時(shí)用的思維技巧是從結(jié)果入手考慮.人們稱它為倒推法.問題27.2圖275中的幾個(gè)圖形是否可一筆畫？解 圖（1）中全為偶點(diǎn).故可以一筆畫.圖（2）中有6個(gè)奇點(diǎn)，故不能一筆畫.圖（3）中有2個(gè)奇點(diǎn)，故可以一

7、筆畫.到此，我們已圓滿地回答了開始提出的問題（1）、（2）、（3），關(guān)于問題（4）有以下結(jié)論：多筆畫定理 有2n（n1）個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形，可以用n筆畫完（彼此無公共線），而且至少要n次畫完.問題27.3圖27.3 圖273和275（2）分別要幾筆畫完？理論的目的在于應(yīng)用.和其它數(shù)學(xué)理論一樣，一筆畫是一種數(shù)學(xué)模型，要把它應(yīng)用于實(shí)際，還必須學(xué)會(huì)把實(shí)際問題抽象、轉(zhuǎn)化成這種模型.問題27.4圖27.4圖276是一個(gè)公園的平面圖，要使游客走遍每條路且不重復(fù)，問出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？解 本問題相當(dāng)于一筆畫問題.由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，由一筆畫定理，只要將出、入口分別設(shè)在D、I兩點(diǎn)，游客就可以從入口進(jìn)入公園，不重

8、復(fù)地走遍所有小徑，而最后從出口處離開公園.問題27.5能否一筆畫出一條線路，使它和圖277的8條線段都相交且僅相交一次（并不在端點(diǎn)處相交）？分析 本題的實(shí)質(zhì)并不是研究圖277本身的一筆畫問題，而是研究圖中虛線表達(dá)的圖的一筆畫問題.解 圖277中的8條實(shí)線段，把平面分成了5個(gè)部分，而把每個(gè)部分看成一個(gè)點(diǎn)，用、表示.那么畫一條線與8條線段都只相交一次就相當(dāng)于把這5個(gè)數(shù)字兩兩相連.從而原問題就轉(zhuǎn)化成了圖277中虛線圖形的一筆畫問題.因?yàn)樘摼€圖有4個(gè)奇點(diǎn)（、），由多筆畫定理，它至少得2筆畫成.注意：本題的關(guān)鍵（題眼）是把5塊區(qū)域看成5個(gè)點(diǎn)，從而把實(shí)際問題抽象成一筆畫的問題.下面我們?cè)龠\(yùn)用這種方法來解決

9、著名的“七橋問題”.問題27.6一個(gè)散步者能否一次走遍圖278（1）所示的七座橋且不許重復(fù)？解 河流把地平面分成四個(gè)區(qū)域A、B、C、D，把這四個(gè)區(qū)域看成四個(gè)點(diǎn).每?jī)蓧K區(qū)域之間有一座橋相通就相當(dāng)于在相應(yīng)的兩點(diǎn)之間連一條線段，這樣我們就把七橋問題抽象成了圖278（2）的一筆畫問題.因?yàn)楸緢D有四個(gè)奇點(diǎn)，故原題中散步者的散步路線是不存在的.問題27.7圖279（1）是某展覽館的平面圖.每個(gè)房間都有一扇門通往館外，每相鄰兩個(gè)房間之間各有一扇門相通.參觀者能不能一次無重復(fù)地穿過每一扇門？如不能，關(guān)閉哪一扇門后就能無重復(fù)地穿過每一扇門了？并問出、入口在哪里？解 本問題第一問與問題27.5、27.6解法相類似

10、.5個(gè)展室加館外，相當(dāng)于6個(gè)區(qū)域，分別用表示.把它們看成6個(gè)點(diǎn)，用一線段表示一扇門，就可得到圖279（2）.此圖有、4個(gè)奇點(diǎn)，所以不能一筆畫成.即表明，參觀者要想不重復(fù)地穿過每一扇門是不可能的.第二問實(shí)際上是問在圖（2）中去掉哪一段線就能使圖形一筆畫出.由于、均為奇點(diǎn)，只要關(guān)閉、之間的一扇門，就只剩下、兩個(gè)奇點(diǎn)了.這時(shí)，只要把、分別當(dāng)做出、入口，參觀者就可以不重復(fù)地一次穿過其余各門了.同樣地，從圖中易看出，關(guān)閉、，或、，或、，或、之間的任一扇門，參觀者也可以如愿以償.我們還可以證明：在一個(gè)圖中奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)必定是偶數(shù).從本題的解法我們不難看到：在兩個(gè)奇點(diǎn)之間去掉一條連線，這兩個(gè)奇點(diǎn)就同時(shí)變?yōu)榕键c(diǎn).同樣，在兩個(gè)奇點(diǎn)之間增加一條連線，也可使這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)成為偶點(diǎn).問題27.8在奇點(diǎn)和偶點(diǎn)之間連一條線后，圖中的奇、偶點(diǎn)個(gè)數(shù)有什么變化？以上講了許多一筆畫知識(shí)，也許學(xué)過后一些肯動(dòng)腦筋的同學(xué)可能會(huì)想：一筆畫知識(shí)除了做數(shù)學(xué)游戲外，還有什么實(shí)用價(jià)值呢？為了回答這個(gè)問題我們先介紹幾個(gè)名詞：對(duì)一個(gè)連通圖，通常把從某點(diǎn)出發(fā)一筆畫成所經(jīng)過的路線叫做歐拉路；把一筆畫成回到出發(fā)點(diǎn)的歐拉路叫歐拉回路；具有歐拉回路的圖叫做歐拉圖.現(xiàn)在城市的街道及公園、展館的參觀路線，嚴(yán)格地說來大多數(shù)都設(shè)計(jì)得雜亂無章.人們上、下班，參觀游覽，郵遞員送信及各種車輛行駛都要走許多重復(fù)