抽樣分布與估計式ppt課件

1、第7章 抽樣分佈與估計式 .前言抽樣的目的並不意味著我們關(guān)心的焦點是在樣本的資料上。樣本背後的母體才是關(guān)心的重點。以樣本的統(tǒng)計量statistic，如樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)等，來推論母體的參數(shù)parameter，如母體平均數(shù)、母體變異數(shù)等。要達到此目的，必須知道樣本的統(tǒng)計量的機率分佈，以及如何在眾多的統(tǒng)計量中，選擇最恰當?shù)?，以便估計母體參數(shù)。.第一節(jié) 抽樣誤差 (1)不針對母體進行普查的主要緣由有：1. 母體太大，客觀條件限制。2. 無法確知母體的範圍。3. 破壞性檢測。4. 從樣本的結(jié)果已經(jīng)可以有效推知母體。.第一節(jié) 抽樣誤差 (2)估計誤差抽樣誤差sampling error ：任何因為抽

2、樣中的機遇chance所產(chǎn)生的變動。添加樣本數(shù)，可以降低抽樣誤差。運用恰當?shù)臉颖窘y(tǒng)計量來估計母體參數(shù)，也是降低抽樣誤差的方法之一。適當?shù)某闃臃椒ǎ梢越档统闃诱`差。非抽樣誤差nonsampling error ：一切不是因為抽樣所產(chǎn)生的誤差。例如樣本沒有代表性，在資料的蒐集、整理、分析時也能夠產(chǎn)生誤差。.第二節(jié) 抽樣方法 (1)抽樣方法隨機抽樣random sampling：按照隨機的方式，使母群體中的每一個份子都有能夠被抽到。非隨機抽樣nonrandom sampling：取決於研討者主觀的想法或是參照客觀環(huán)境的限制，所設(shè)計出來的抽樣方法，因此母群體的某些份子完全沒有被抽到的機會。 .第二節(jié)

3、 抽樣方法 (2)隨機抽樣1. 簡單隨機抽樣simple random sampling2. 間隔抽樣interval sampling3. 分層抽樣stratified sampling4. 集群抽樣cluster sampling5. 分段抽樣staged sampling非隨機抽樣1. 配額抽樣quota sampling2. 判斷抽樣judgment sampling.第二節(jié) 抽樣方法 (3)簡單隨機抽樣先將母體加以編號，然後如抽籤般的抽出200位即可。也可以利用均勻分佈所產(chǎn)生的數(shù)值來替代抽籤。假設(shè)母群體很大，將母體加以編號恐怕不切實際。有時研討者並不確知母群體的大小，簡單隨機抽樣並不

4、見得可行。 .第二節(jié) 抽樣方法 (4)間隔抽樣每隔幾個就抽取一個。在工商界中，常用此方法進行抽樣，如每隔幾個上門的顧客就訪問一位，每隔幾個產(chǎn)品就抽樣一個。運用間隔抽樣時，必須確保樣本的資料並無規(guī)律性變化才可。 .第二節(jié) 抽樣方法 (5)分層抽樣先決定有哪幾個重要的層strata，接著就按照母體分佈的比率，隨機抽樣。這樣一來可以保證樣本與母群體的分佈情形非常相近，因此所得到的調(diào)查結(jié)果比簡單隨機抽樣更能夠推論到母群體。假設(shè)選擇一些不相關(guān)的層，就會一點效果都沒有。因此在實務上，通常只選取少數(shù)幾個最為重要的層而已。 .第二節(jié) 抽樣方法 (6)集群抽樣先將母群體分為數(shù)個類似的集群，然後隨機抽取數(shù)個集群，

5、加以調(diào)查。在集群抽樣裡，集群與集群間要非常類似，集群內(nèi)則差異要大越接近母群體的分佈越好。在分層抽樣裡，層與層之間的差異要大，但層之內(nèi)要非常類似。 .第二節(jié) 抽樣方法 (7)分段抽樣採用多種抽樣的方法。例如先集群抽樣，然後再簡單隨機抽樣。或先集群再分層抽樣。實務上，仍以兩階段和三階段的抽樣最為普遍。 .第二節(jié) 抽樣方法 (8)配額抽樣它和分層抽樣的概念非常類似，只不過在分層抽樣裡，研討者確知母群體中各層的比率，但在配額抽樣裡，事先並不完全知道母群體的分佈，但按照研討者的學識和判斷，研擬出配額的依據(jù)。.第二節(jié) 抽樣方法 (9)判斷抽樣它必須仰賴研討者主觀的判斷來進行抽樣。判斷抽樣又比配額抽樣更為主

6、觀。因為在配額抽樣中，研討者只是去估計母體的比例而已。但在判斷抽樣裡，研討者甚至判斷哪些份子較具代表性，以決定能否要對它進行調(diào)查。.第三節(jié) 抽樣分佈 (1)推論統(tǒng)計學就是利用樣本統(tǒng)計量來估計母體參數(shù)的一門學問。統(tǒng)計量的機率分佈稱為抽樣分佈理論sampling distribution theory。根本上我們關(guān)心該分佈是何種機率分佈，平均數(shù)和變異數(shù)各為多少，藉以估計母體參數(shù)。.第三節(jié) 抽樣分佈 (2)定理7.1令X1, , Xn為獨立隨機變項，其平均數(shù)分別為m1, , m n，其變異數(shù)分別為 , , 。假設(shè)令Y的平均數(shù)和變異數(shù)分別為 .第三節(jié) 抽樣分佈 (3)例子1令X1表示丟公平硬幣出現(xiàn)的點

7、數(shù)，X2表示丟公平骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則3X1 2X2的平均數(shù)和變異數(shù)分別是多少？作法公平硬幣出現(xiàn)的點數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為0.5以及0.25。丟骰子出現(xiàn)的點數(shù)為間斷均勻分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5以及2.92。X1和X2互為獨立，得3X1 2X2的平均數(shù)為3 0.5 2 3.5 = -5.5，變異數(shù)為32 0.25 + 22 2.92 = 13.93。 .第三節(jié) 抽樣分佈 (4)例子2X和Y變項互為獨立，X變項的變異數(shù)為 ，Y變項的變異數(shù)為 ，aX + bY的變異數(shù)是多少？作法aX + bY的變異數(shù)為a2 + b2 。.第三節(jié) 抽樣分佈 (5)推論1X1，Xn的平均數(shù)均為m，變異數(shù)均為 ，

8、且ai 都等於1/n： 的平均數(shù)會等於母體平均數(shù)m，變異數(shù)會等於母體變異數(shù)除以n，即s2/n。即： .第三節(jié) 抽樣分佈 (6)定理7.2令X1, , Xn為來自常態(tài)分佈的獨立隨機變項，其平均數(shù)分別為m1, , mn，變異數(shù)分別為 , , 。假設(shè)令則Y為常態(tài)分佈，平均數(shù)為和變異數(shù)分別為.第三節(jié) 抽樣分佈 (7)推論 1令X1, , Xn為來自常態(tài)分佈N(m, s2)的獨立隨機變項，則樣本平均數(shù) 推論2令X1, , Xn為來自常態(tài)分佈N(m, s2)的獨立隨機變項，則.第三節(jié) 抽樣分佈 (8)推論3令X1, , Xn為來自標準常態(tài)分佈N(0, 1)的獨立隨機變項，則.第三節(jié) 抽樣分佈 (9)例子3

9、假設(shè)智商的分佈為N(100, 225)。隨機抽樣25人調(diào)查其智商，並計算智商的樣本平均數(shù)。假設(shè)重複抽樣無數(shù)次，每次抽樣25人，並計算樣本平均數(shù)，則樣本平均數(shù)會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？ 作法令這25人的智商分別為X1, , X25。知它們均服從常態(tài)分佈N(100, 225)，根據(jù)定理7.2得知，樣本平均數(shù)的抽樣分佈為N(100, 225/25)。 .第三節(jié) 抽樣分佈 (10)定理7.3令Z1, , Zn為標準常態(tài)分佈的獨立隨機變項，則定理7.4令X1, , Xn為來自常態(tài)分佈N(m, s2)的獨立隨機變項，且其樣本平均數(shù)為 ，樣本變異數(shù)為S2 ，則 (1) 和S2相互獨立，(2).第

10、三節(jié) 抽樣分佈 (11)例子4假設(shè)智商的分佈為常態(tài)分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為100和225。假設(shè)隨機抽樣25人調(diào)查其智商，並計算智商的樣本變異數(shù)S2。假設(shè)重複抽樣無數(shù)次，每次抽樣25人，並計算樣本變異數(shù)，則樣本變異數(shù)S2會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？ .第三節(jié) 抽樣分佈 (12)作法令這25人的智商分別為X1, , X25，均服從常態(tài)分佈N(100, 225)，因此由於卡方分佈的平均數(shù)是其自在度，變異數(shù)為2倍的自在度，因此 的平均數(shù)是24，變異數(shù)是48。所以S2的平均數(shù)是225，變異數(shù)是4218.7 (=48 / (24/225)2)。 .第三節(jié) 抽樣分佈 (13)定理7.5 中央極限

11、定理令X1, , Xn為來自某平均數(shù)為m，變異數(shù)為s2的母體的獨立隨機變項，當n趨近無限大時，其樣本平均數(shù)會趨近於N(m, s2/n)。在實用上，只需樣本數(shù)n夠大如n 25，樣本平均數(shù)就會很接近常態(tài)分佈。其實即使n小於25，只需母體分佈與常態(tài)分佈相去不遠，如類似單峰和左右對稱形狀，樣本平均數(shù)會近似常態(tài)分佈。.第三節(jié) 抽樣分佈 (14)例子5知丟骰子出現(xiàn)點數(shù)為間斷均勻分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5和2.92?，F(xiàn)丟骰子25次，計算骰子點數(shù)的平均數(shù)。假設(shè)這樣無數(shù)次，每次均丟骰子25次，並計算骰子點數(shù)的平均數(shù)，則骰子點數(shù)的平均數(shù)會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？作法根據(jù)中央極限定理，樣本平均數(shù)接

12、近常態(tài)分佈，其平均數(shù)為母體平均數(shù)3.5，變異數(shù)為0.12 (=2.92/25)。 .第三節(jié) 抽樣分佈 (15) 定理7.6 假設(shè)由平均數(shù)為m1和m2，變異數(shù)為 和 的常態(tài)分佈母體抽隨機抽出樣本數(shù)為n1和n2的獨立樣本，則假設(shè)母體並非常態(tài)分佈，只需樣本數(shù)n1和n2夠大如均大於25，就可放心運用常態(tài)分佈了。 .第三節(jié) 抽樣分佈 (16)例子6丟硬幣25次，計算出現(xiàn)點數(shù)的平均數(shù)正面一點，反正零點，也丟骰子25次，計算出現(xiàn)點數(shù)的平均數(shù)。然後將硬幣的平均數(shù)減骰子的平均數(shù)，得到兩平均數(shù)差異。假設(shè)重複這樣無數(shù)多次，這些無數(shù)多次的平均數(shù)差異成何分佈？平均數(shù)和變異數(shù)各式多少？.第三節(jié) 抽樣分佈 (17)作法丟硬

13、幣出現(xiàn)的點數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為0.5以及0.25。丟骰子出現(xiàn)的點數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5以及2.92。令 為硬幣的平均數(shù)， 為骰子的平均數(shù)，則 的平均數(shù)為0.53.5 = -3，變異數(shù)為 根據(jù)中央極限定理， 近似常態(tài)分佈。 .第四節(jié) 估計式 (1)推論統(tǒng)計包括兩大部份：估計和假設(shè)檢定。估計分為點估計和區(qū)間估計。母體參數(shù)的點估計：利用統(tǒng)計量的某一個值加以估計。例如用樣本平均數(shù)這個統(tǒng)計量的大寫表示變項，小寫表示特定的數(shù)值估計母體平均數(shù)m。統(tǒng)計量又稱為估計式estimator，以闡明其估計母體參數(shù)的功用。同一個參數(shù)可以有好多個估計式。.第四節(jié) 估計式 (2)不偏性 令q為所欲估計的參數(shù)，

14、唸做theta hat為其估計式。假設(shè) E ( ) = q，那麼 就具有不偏性。或謂 是q的不偏估計式unbiased estimator。 樣本平均數(shù)的期望值為母體平均數(shù)，因此樣本平均數(shù)是母體平均數(shù)的不偏估計式。 .第四節(jié) 估計式 (3)例子7令X1, X2, X3, X4為隨機從母體抽出的4個值，樣本平均數(shù)是母體平均數(shù)m的不偏估計式，已如上述。但X1、 、 、 能否也是母體平均數(shù)的不偏估計式？ .第四節(jié) 估計式 (3)作法E(X1) =m.第四節(jié) 估計式 (4)例子8樣本變異數(shù)S2是母體變異數(shù)s2的不偏估計式嗎？作法.第四節(jié) 估計式 (5)有效性 假設(shè)q是所欲估計的參數(shù)， 是眾多估計式中的

15、一種。假設(shè)E( -q )2在一切的估計式中最小， 就是最有效的估計式。在一切的估計式中，具有最小的均方誤，就是最有效的估計式。假設(shè)只限於從不偏估計式中挑選最有效的，那麼該估計式就是不偏的最小變異估計式。 .第四節(jié) 估計式 (6)例子9在例子7中， 、X1、Y1、Y2都是母體平均數(shù)的不偏估計式。何者較為有效？作法 .第四節(jié) 估計式 (7)一致性假設(shè)樣本數(shù)n越大，估計式 與母體參數(shù)q 的誤差量越小。假設(shè)樣本數(shù)趨近於無限大， 與q 的差量小於微量e的機率趨近1。即該估計式 就具有一致性consistency 是母體平均數(shù)的不偏估計式，且變異數(shù)為s2/n。假設(shè)n趨近於無限大，則s2/n趨近於0 ，因此

16、 具有一致性。 .第四節(jié) 估計式 (8)例子10例子7中的X1、Y1、Y2能否具有一致性？作法即使樣本數(shù)n再大，X1、Y1、Y2的變異數(shù)都不會改變，當然也不會趨近於0。換句話說，樣本數(shù)添加，並無助於X1、Y1、Y2趨近於母體平均數(shù)，因此它們不具有一致性。 .第四節(jié) 估計式 (9)充分性令X1，Xn為隨機變項，其聯(lián)合機率函數(shù)為f(x1, , xn; q)。統(tǒng)計量 是q的充分統(tǒng)計式或具有充分性，假設(shè)且為假設(shè)f(x1, , xn; q) = g( ; q) h(x1, , xn)其中h(x1, , xn) 與q 無關(guān)。此時， 包含了一切從樣本資料來推估q的訊息，再也沒有其他剩餘的訊息了。固定充分統(tǒng)計量後，X1，Xn的條件機率就與q無關(guān)。 .第四節(jié) 估計式 (10)在二項式分佈中，樣本中勝利次數(shù)就是勝利機率p的充分統(tǒng)計量。其他的訊息例如這幾次試驗中，哪幾次是勝利，哪幾次是失敗。是無法