全國高中數(shù)學競賽講義直線和圓、圓錐曲線

1、競賽試卷18 直線和圓，圓錐曲線課后練習1已知點 A 為雙曲線 x2y21 的左頂點，點B 和點 C 在雙曲線的右支上，ABC 是等邊三角形，則ABC 的面積是（ A）333（C）3 3（D）6 33（ B）25 x42平面上整點（縱、橫坐標都是整數(shù)的點）到直線y的距離中的最小值是35（ A）34（ B）341（ D）117085（ C）30203若實數(shù) x, y 滿足 (x + 5)2+(y 12)2=142，則 x2+y2 的最小值為(A) 2(B) 1(C)3(D)24直線 xy1橢圓 x 2y 21相交于 A，B 兩點，該圓上點 P，使得 PAB面積等于3，43169這樣的點 P 共有

2、(A)1個(B)2個(C) 3個(D)4個5設 a， b R，ab0，那么直線axy b 0 和曲線 bx2 ay2 ab 的圖形是yyyyxxxxABCD6過拋物線 y2 8(x 2)的焦點 F 作傾斜角為 60o 的直線，若此直線與拋物線交于 A、B 兩點，弦 AB 的中垂線與 x 軸交于 P 點，則線段 PF的長等于168163ABCD8 33337方程x2y2sin3cos21 表示的曲線是sin 2cos 3A. 焦點在 x 軸上的橢圓B. 焦點在 x 軸上的雙曲線C. 焦點在 y 軸上的橢圓D. 焦點在 y 軸上的雙曲線x2y21(ab0) 中，記左焦點為 F，右頂點為 A，短軸上

3、方的端點為B。8在橢圓b2a2若該橢圓的離心率是51 ，則ABF =。29設 F1，F(xiàn)2 是橢圓 x2y 21 的兩個焦點， P 是橢圓上的點，且| PF1| : | PF2| 2 :1，則94三角形PF1F2 的面積等于 _競賽試卷10在平面直角坐標系XOY中，給定兩點M （ 1， 2）和 N（ 1， 4），點 P 在 X 軸上移動，當 MPN 取最大值時，點 P 的橫坐標為 _。11若正方形 ABCD的一條邊在直線y2x 17 上，另外兩個頂點在拋物線y x2 上 .則該正方形面積的最小值為.12已知 C： x2y2x2y 21( a b0) 。試問：當且僅當a,b 滿足什么01和C ：1

4、2b2a條件時，對 C 任意一點 P，均存在以P 為頂點、與 C0外切、與 C 內(nèi)接的平行四邊形？并證11明你的結論。x2y212在 x 軸上方公有一個公共點 P。13 設曲線 C1:(a 為正常數(shù) )與 C2:y =2(x+m)a21）實數(shù) m 的取值范圍（用 a 表示）；2）O 為原點，若 C1 與 x 軸的負半軸交于點 A，當 0a 1 時，試求 OAP 的面積的最大值2（用 a 表示）。14已知點A(0,2)和拋物線y2x4 上兩點B,C 使得ABBC ，求點C 的縱坐標的取值范圍15一張紙上畫有半徑為R 的圓 O 和圓內(nèi)一定點A，且 OA a./A 剛好與 A 點重合，這樣的每一種拆

5、法，都留下一條直線折痕，當拆疊紙片，使圓周上某一點/求所有折痕所在直線上點的集合競賽試卷16（ 04， 14）在平面直角坐標系xoy 中，給定三點A(0, 4), B( 1,0),C(1,0) ，點 P 到直線3BC 的距離是該點到直線AB， AC距離的等比中項。（）求點P 的軌跡方程；（）若直線 L 經(jīng)過 ABC 的內(nèi)心（設為 D），且與 P 點的軌跡恰好有 3 個公共點，求 L 的斜率 k 的取值范圍。過拋物線yx2 上的一點（1,1）作拋物線的切線，分別交x 軸于D，交y軸于點17AB. C在拋物線上，點E 在線段 AC 上，滿足 AE1;點 F 在線段BC 上，滿足 BF2 ，且ECF

6、C12 1 ，線段 CD 與 EF交于點 P.當點 C在拋物線上移動時，求點P 的軌跡方程 .競賽試卷課后練習答案1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C238.90o 9.310.設橢圓的長軸、 短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c，則由其方程知a 3，b 2，c5 ，故，| PF1| | PF2| 2a 6，又已知 PF1| ：| PF2 | 2：1，故可得 | PFl| 4，| PF2| 2在 PFlF2中，三邊之長分別為 2， 4， 25 ，而 22 42 (25 )2，可見 PFlF2 是直角三角形，且兩直角邊的長為 2 和 4，故 PFlF2的面積 411. 解：經(jīng)過

7、 M 、 N 兩點的圓的圓心在線段MN 的垂直平分線y=3 x 上，設圓心為S（ a， 3 a），則圓 S 的方程為： ( x a)2( y 3a)22(1a2 )對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當MPN 取最大值時，經(jīng)過M，N，P 三點的圓S必與 X 軸相切于點P，即圓 S 的方程中的a值必須滿足 2(1 a2 )(a 3)2 , 解得a=1 或 a= 7。即對應的切點分別為P(1,0)和 P ( 7,0)，而過點 M， N， p 的圓的半徑大于過點M ，N， P 的圓的半徑，所以MPNMP N ，故點 P（ 1， 0）為所求，所以點P 的橫坐標為 1。1

8、2. 解：設正方形的邊AB 在直線y2x17 上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標為C ( x1 , y1 ) 、 D (x2 , y2 )，則 CD所在直線l 的方程 y2xb, 將直線 l 的方程與拋物線方程聯(lián)立，得 x 22xbx1, 21b1.令正方形邊長為a, 則 a 2( x1x2 ) 2( y1 y2 )25( x1 x2 )220(b1). 在 y 2x17 上任取一點 （ 6，,5），它到直線 y2xb 的距離為 a, a|17b |5 .、聯(lián)立解得 b13, b263.a 280, 或 a 21280. amin280.13.利用極坐標解決：以坐標原點為極點，x 軸為極軸建立極

9、坐標系，則橢圓的極坐標方程為1cos2sin2-（ 1）2a2b2顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設A( 1, ) ，則 B( 2,90)代入（ 1）式相加：111122a2b212由于該菱形必與單位圓相切，故原點到AB 的距離為1，競賽試卷1112211111112，從而22，2212abx 2y 2114.解： (1)由a 2消去 y 得： x 22a 2 x2a2 ma 20y 22( xm)設 f ( x) x 22a2 x2a 2 ma2 ，問題 (1)化為方程在x ( a，a)上有唯一解或等根只需討論以下三種情況：1 0 得： ma 2122，此時 xp a ，當且僅當 a a

10、a，即 0 a 1 時適2合；2 f (a)f ( a)0，當且僅當 a m a；3 f ( a)0 得 m a，此時 xp a2a2，當且僅當 a a 2a2 a，即 0a1 時適合f (a) 0 得 m a，此時 xp a 2a 2，由于 a 2a2 a，從而 m a綜上可知，當0a 1 時， ma 212或 a m a；當 a1 時， a m a(2) OAP的面積 S1 ay p2 0 a 1 ，故 a m a 時， 0a 2a a 212m a，2由唯一性得xpa2aa212m顯然當m a時， xp取值最小由于xp 0 ，從而yp 1x p2取值最大，此時a2yp2 aa 2 ， S

11、 a a a2 當 ma 21時， xp a2， yp1a 2，此時 S1 a 1a 222下面比較 aaa 2與1 a1a 2 的大?。?令 a a a 21 a 1 a 2 ，得 a123故當 0 a 1時， aaa 2 1a1a 2，此時 Smax1a 1a 2322當 1a1時， aaa 21 a1a 2，此時 Smaxaaa232215.解：設 B 點坐標為 ( y124, y1 ) ， C 點坐標為 ( y 24, y) 競賽試卷顯然 y1240 ，故 k ABy121y124y12由于 ABBC ，所以 k BC( y12)從而yy1( y12) x ( y124)y1 得：y

12、2x 4，消去 x ，注意到 y(2 y1 )( yy1 )10y122(2 y) y1(2 y1)0由0解得： y0或 y4當 y0時，點 B 的坐標為 (3,1)；當 y4時，點 B 的坐標為 (5,3)，均滿足是題意故點 C 的縱坐標的取值范圍是y0 或 y4 16.解：如圖，以 O 為原點， OA 所在直線為 x 軸建立直角坐標系，則有A(a，0)設折疊時，O 上點 A/ ( Rcos, Rsin)與點 A 重合，而折痕為直線MN ，則 MN 為線段 AA/ 的中垂線設P(x， y)為 MN 上任一點，則 PA/ PA5 分 ( xR cos)2( yRsin ) 2( xa) 2y2

13、即 2R( x cosy sin) R2a22ax10 分x cosy sinR2a22axx2y22Rx2y 2可得： sin()R2a22ax(sinx, cosx2y)2R x2y 2x2y2y 2R2a22ax 1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15 分2Rx2y2(xa ) 2y2平方后可化為2 1，( R)2( a )2(R)2222(xa)2y221 外 (含邊界 )的部分20即所求點的集合為橢圓圓( R)2(R)2( a )2222分17. 解：（）直線 AB、AC、BC的方程依次為 y4 ( x 1), y4 (x1), y0 。點 P(x,y)1313到 AB、 AC、

14、 BC的距離依次為 d13y4 |, d23 y4 |, d3| y | 。依設，| 4x| 4x55d1d2d32 , 得 |16 x2(3 y4)2 |25y 2 ，即16 x2(3 y4)225 y20, 或16 x2(3 y 4) 225 y20 ，化簡得點 P 的軌跡方程為競賽試卷圓 S： 2x22y23y 20與雙曲線 T:8x 217 y212 y80（）由前知，點P 的軌跡包含兩部分圓 S： 2x22y23 y 2 0與雙曲線 T： 8x217 y 212 y80因為 B（ 1，0）和 C（1， 0）是適合題設條件的點，所以點B 和點 C 在點 P 的軌跡上，且點 P 的軌跡曲

15、線 S與 T 的公共點只有B、C 兩點。ABC 的內(nèi)心 D 也是適合題設條件的點，由 d1d2d3 ，解得 D (0, 1) ，且知它在圓 S 上。2直線 L 經(jīng)過 D，且與點 P 的軌跡有3 個公共點，所以，L 的斜率存在，設 L 的方程為1y kx21（i ）當 k=0 時， L 與圓 S 相切，有唯一的公共點D；此時，直線y平行于 x 軸，表明 L2與雙曲線有不同于D 的兩個公共點，所以L 恰好與點 P 的軌跡有3 個公共點。 .10 分（ii ）當 k0時， L 與圓 S 有兩個不同的交點。這時，L 與點 P 的軌跡恰有 3 個公共點只能有兩種情況：情況 1 ：直線 L 經(jīng)過點 B 或

16、點 C，此時 L 的斜率 k11) 。，直線 L 的方程為 x(2 y545 42)代入方程得 y(3 y4)0 ，解得或F(- ,。表明直線 BD 與曲線 T 有 2 個交E( ,3)3 33點 B、 E；直線 CD與曲線 T 有 2 個交點 C、F。故當 k1時， L 恰好與點 P 的軌跡有 3 個公共點。21情況 2 ：直線 L 不經(jīng)過點 B 和 C（即 kL），因為 L 與 S 有兩個不同的交點，所以28x217 y212y80與雙曲線 T 有且只有一個公共點。 即方程組ykx1有且只有一組實數(shù)解，2消去 y 并化簡得 (817k 2 ) x25kx2504該方程有唯一實數(shù)解的充要條件

17、是817 k20或 ( 5k )24(817k 2 ) 2504解方程得 k2342。，解方程得 k217綜合得直線 L 的斜率 k 的取值范圍是有限集0,1 ,234 ,2 。2172競賽試卷18. 解 一 ： 過 拋 物 線 上 點A 的 切 線 斜 率 為 ： y2 x |x 12,切 線AB 的 方 程 為y2x1.B、 D 的坐標為 B(0,1), D(1D 是線段 AB 的中點 .,0),2設 P(x, y) 、 C ( x0 , x02 ) 、 E( x1 , y1 ) 、 F (x2 , y2 ) ，則由 AE1知，ECx111 x0, y111x02;BE2 ,得11FC11

18、x212 x0 , y212 x02 .212EF所在直線方程為：y11 x02x11 x01111,12 x0211x022 x011x012111211化簡得 (21) x0(12) y(21)x 23 x1x02x2 . 00當 x01時，直線 CD 的方程為： y2x02 xx0222x01xx01312聯(lián)立、解得，消去 x0，得 P 點軌跡方程為：y.x02(3x 1)y33當 x01時，EF方程為：3 y( 12113)x312 ,CD 方程為： x1，2244242x1 ,2聯(lián)立解得2也在P 點軌跡上.因 C 與 A 不能重合，x01,x.1 .3y12所求軌跡方程為y1(3x1) 2 (x2 ).331,0),故 D是 AB的中點 .解二：由解一知，AB 的方程為 y2x1, B(0, 1), D(CD ,t1CACB2令1