數(shù)學分析12.3一般項級數(shù)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第十二章 數(shù)項級數(shù)2 一般項級數(shù)一、交錯級數(shù)概念：若級數(shù)各項符號正負相間，即u1-u2+u3-u4+(-1)n+1un+(un0, n=1,2,)，則稱它為交錯級數(shù). 定理12.11：(萊布尼茨判別法)若交錯級數(shù)滿足：(1)數(shù)列un單調遞減；(2)un=0，則該級數(shù)收斂.證：交錯級數(shù)的部分和數(shù)列Sn的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為：S2m-1=u1-(u2-u3)-(u2m-2-u2m-1)，S2m=(u1-u2)+(u3-u4)+(u2m-1-u2m).由條件(1)知上述兩式括

2、號內(nèi)的數(shù)皆非負，從而數(shù)列S2m-1遞減，數(shù)列S2m遞增. 又由條件(2)知00，總存在正數(shù)N，使得對nN和任意正整數(shù)r，有|un+1|+|un+2|+|un+r|，|un+1+un+2+un+r|，u1+u2+un+收斂. 得證！例1：證明：級數(shù)收斂.證：=01,原級數(shù)絕對收斂.性質1：級數(shù)的重排：正整數(shù)列1,2,n,到它自身的一一映射f:nk(n)稱為正整數(shù)列的重排，相應地對數(shù)列un按映射F:unuk(n)所得到的數(shù)列uk(n)稱原數(shù)列的重排；同樣的，級數(shù)也是級數(shù)的重排. 記vn=uk(n)，即=v1+v2+vn+.定理12.13：若級數(shù)絕對收斂，且其和等于S，則任意重排后所得到的級數(shù)也絕對

3、收斂，且有相同的和數(shù).證：不妨設為正項級數(shù)，用Sn表示它的第n個部分和，記Tm=v1+v 2+vm表示級數(shù)的第m個部分和.級數(shù)是的重排，對每一個vk都等于某一(1km).記n=maxi1,i2,im, 則對任何m，都存在n，使TmSn.由Sn=S知，對任何正整數(shù)m有TmS, 即收斂，其和TS.又級數(shù)也是的重排，ST，推得T=S.若為一般級數(shù)且絕對收斂，即正項級數(shù)收斂，同理可推得級數(shù)收斂，級數(shù)收斂. 令pn=，qn=；則當un0時，pn=un，qn=un；當un0時，pn=0，qn=-un0. 從而有0pn|un|，0qn|un|，pn+qn=|un|，pn-qn=un. 又收斂，,都是正項的收

4、斂級數(shù)，且S=-.同理得：=-，其中,分別是,的重排.=-=-=S. 得證!性質2：級數(shù)的乘積：由a=可推得有限項和與級數(shù)的乘積：(a1+a2+am)=. 繼而可推廣到無窮級數(shù)之間的乘積：設收斂級數(shù)=A, =B.將兩個級數(shù)中每一項所有可能的乘積列表如下：u1v1u1v2u1v3u1vnu2v1u2v2u2v3u2vnu3v1u3v2u3v3u3vnunv1unv2unv3unvn這些乘積uivj按各種方法排成不同的級數(shù)，如按正方形順序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+，如下表：u1v1 u1v2 u1v3 u1vnu2v1u2v2

5、u2v3u2vnu3v1u3v2u3v3u3vnunv1unv2unv3unvn或按對角線順序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+，如下表：u1v1u1v2u1v3u1vnu2v1u2v2u2v3u2vnu3v1u3v2u3vnunv1unv2unv3unvn定理12.14：(柯西定理) 設絕對收斂級數(shù)=A, =B，則由它們中每一項所有可能的乘積uivj按任意順序排列所得到的級數(shù)絕對收斂，且其和等于AB.證：設級數(shù),的部分和分別為：Sn=|w1|+|w2|+|wn|,Am=|u1|+|u2|+|um|,Bm=|v1|+|v2|+|vm|.其中wk=(k=1,2,

6、n)，m=maxi1,j1,i2,j2,in,jn，則必有SnAmBm.絕對收斂級數(shù)與的部分和數(shù)列Am和Bm都有界，Sn有界，從而級數(shù)絕對收斂. 利用絕對收斂級數(shù)的可重排性，將絕對收斂級數(shù)按正方形順序重排如下：u1v1+(u1v2+u2v2+u2v1)+(u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1)+，把每一括號作一項，得新級數(shù)：p1+p2+p3+pm+收斂，且與和數(shù)相同，其部分和Pm=AmBm. 即有Pm=AmBm=AmBm =AB. 得證！例2：證明：級數(shù)1+2r+(n+1)rn+(|r|1)絕對收斂，并求其和.證：等比級數(shù)=1+r+r2+rn+=(|r|N時，對一切正整數(shù)p，都有0

7、)；(2) 都收斂.定理12.16：(狄利克雷判別法)若數(shù)列an單調遞減，且an=0，又且級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂.例3：證明：若數(shù)列an單調遞減，且an=0，則級數(shù)和對任何x(0,2)都收斂.證：2sin(+)=sin+2sincosx+2sincos2x+2sincosnx= sin+(sinx-sin)+sin(n+)x-sin(n-)x=sin(n+)x. 當x(0,2)時，sin0, cot+.=-=sinnxcot+-.又-cot-1sinnxcot+-cot，即當x(0,2)時，的部分和數(shù)列有界，由狄利克雷判別法知級數(shù)收斂. 2sin(-cot)=2sinsinx+2si

8、nsin2x+2sinsinnx-cos= (cos-cosx) +cos(n-)x-cos(n+)x-cos=-cos(n+)x. 當x(0,2)時，sin0, cot+.=cot-=. 又- csc=csc，即當x(0,2)時，的部分和數(shù)列有界，由狄利克雷判別法知級數(shù)收斂. 注：作為例3的特例，級數(shù)和對一切x(0,2)都收斂.習題1、下列級數(shù)哪些是絕對收斂，條件收斂或發(fā)散的：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).解：(1)4)；又級數(shù)收斂，原級數(shù)絕對收斂.(2)=10；原級數(shù)發(fā)散.(3)當p0時，0；原級數(shù)發(fā)散；當p1時，；又級數(shù)(p1)收斂，原級數(shù)絕對收斂.當0

9、p1時，令un=，則=1, =1，當n充分大時，即，從而1，即un+1un，un在n充分大后單調減.又un=0(0(n2)，且發(fā)散，原級數(shù)不絕對收斂.又單調減且=0，原級數(shù)條件收斂.(7)記un=，則=，原級數(shù)絕對收斂.(8)記un=，則=|，當-exe時，0，0，原級數(shù)發(fā)散.2、應用阿貝爾判別法或狄利克雷判別法判斷下列級數(shù)的收斂性：(1) (x0)； (2), x(0,2) (a0)；(3), x(0,).解：(1)當x0時，0=1，且=；若01，則1，即數(shù)列單調有界. 又級數(shù)收斂，由阿貝爾判別法知原級數(shù)收斂.(2)當a0時，數(shù)列單調遞減，且=0，又當x(0,2)時，csc，即的部分和數(shù)列有

10、界，由狄利克雷判別法知原級數(shù)收斂.(3)數(shù)列單調遞減，且=0，又當x(0,)，=+.又由2sinx=4sin(2n+1)x-4sinx，得=+2，即對任意x(0,)，級數(shù)有界，根據(jù)狄利克雷判別法知原級數(shù)收斂.3、設anan+10 (n=1,2,)且an=0. 證明：級數(shù)收斂.證：由anan+10 (n=1,2,)且an=0知，單調減且趨于0，由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂.4、設pn=，qn=. 證明：若條件收斂，則級數(shù)與都是發(fā)散的.證：若條件收斂，則發(fā)散，=+，發(fā)散；=-，發(fā)散.5、寫出下列級數(shù)的乘積：(1)； (2).解：(1)當|x|1時，兩個級數(shù)均絕對收斂，乘積按對角線一般項為： wn=xn-1, 從而有w2m=x2m-1=-2m+(-1)m(m2+m)+2m+(-1)m-1(m2+m)=0；w2m+1=x2m=x2m+=-x2m+x2m=- w2m+x2m=x2m=x2m(1-2+3-4+-2m+2m+1)=(m+1) x2m.=. (|x|1，又發(fā)散，存在n2n1，使u2=-，同理存在n3n2，使u3=-,ui+1=-，可得原級數(shù)的一個重排. ui,且發(fā)散，必發(fā)散.8、證明：級數(shù)收斂.證：記AL=n|=L, L=1,2,，顯然AL中元素n滿足L2n