熱物理過程及數(shù)值模擬-計算傳熱學(xué)

1、熱物理過程的數(shù)值模擬Numerical Simulation of Thermophysics Process講稿主講：李隆鍵第一章 概 論流動與傳熱過程的予測方法及特點流動、傳熱、燃燒問題是熱工類各專業(yè)和機械類動力機械專業(yè)所研究和解決的主要問題之一，燃燒問題實際上是有化學(xué)反應(yīng)的流動與傳熱問題，推而廣之，在所有熱物理過程中，幾乎都涉及到流動、傳熱問題。預(yù)測的重要性：在規(guī)定設(shè)計參數(shù)的相應(yīng)的結(jié)構(gòu)下，熱物理過程是否滿足要求，達到預(yù)定的指標(biāo)？要預(yù)測；優(yōu)化設(shè)計，不同方案的比較，要預(yù)測；減少設(shè)計、生產(chǎn)、再設(shè)計和再生產(chǎn)的費用；減少設(shè)計更改；減少試驗和測量次數(shù)。問題的核心：速度場、溫度場（傳熱量）、濃度場等。

2、一、熱物理問題的予測方法：理論分析法、實驗測定、數(shù)值模擬1、理論分析以數(shù)學(xué)分析為基礎(chǔ)，求解描述熱物理過程的定解問題，獲得函數(shù)形式的解，表示求解區(qū)域內(nèi)物理量連續(xù)分布的場（速度場、溫度場、濃度場）?？刂品匠?單值條件（數(shù)學(xué)模型）理論解（分析解，解析解）根據(jù)解的準(zhǔn)確程度，又可再分為：（1）精確分析解（嚴(yán)格解）特點：函數(shù)形式的解；它在求解區(qū)域精確地滿足定解問題。具體解法：直接積分法、分離變量法、積分變換法、熱源法、映射法。（2）近似分析解法特點：函數(shù)形式的解，在求解區(qū)域上近似地滿足定解問題（但在總量上滿足相應(yīng)的守恒原理，動量守恒、動量守恒、能量守恒、質(zhì)量守恒）。具體解法：積分法（從積分方程出發(fā)）變分近

3、似解法攝動法（從微分方程出發(fā)）2、實驗測定（1）純實驗法（2）相似理論實驗法：同類相似，減少變量數(shù)目減少工作量，得到規(guī)律性結(jié)果，可直接應(yīng)用。（3）實驗類比法：異類相似物理現(xiàn)象不同，規(guī)律相同：微分方程形式相同，單值性條件類似電熱類比，水熱類比3、數(shù)值模擬以數(shù)值計算方法為基礎(chǔ)，借助（利用）電子計算機求解物理過程的方法熱物理過程的數(shù)值模擬，對傳熱過程稱為傳熱的數(shù)值模擬、數(shù)值傳熱、計算傳熱。如前述，傳熱過程函蓋了流動、燃燒，所以計算傳熱學(xué)實質(zhì)上就代表了熱物理過理過程的數(shù)值模擬。用電子計算機對熱物理問題進行數(shù)值計算就象在實驗室中對該現(xiàn)象進行實驗測定一樣，可稱之為“數(shù)值實驗”。隨著高速、大容量電子計算機的

4、發(fā)展，特別是微型計算機的普及和推廣，這種數(shù)值實驗的方法越來越被更多的科技人員掌握和應(yīng)用，成為解決熱物理過程的一種重要方法。二、予測方法的比較與選擇1、分析解法（1）精確預(yù)測了數(shù)學(xué)模型所控制的的熱物理過程；（2）函數(shù)形式的解使得可以確定區(qū)域中任意位置物理量的大??；（3）以顯函數(shù)的形式，展示各有關(guān)參量對該熱物理過程的影響；（4）由于是函數(shù)形式的解，便于進一步的運算、處理，例如求導(dǎo)、積分。缺點：（1）獲得分析解的可能較小；（2）即使能求得分析解，也常常是無究級數(shù)，特殊函數(shù)以及涉及特征值問題的超越函數(shù)，要得到具體的數(shù)值結(jié)果，也需要繁復(fù)的計算；（3）數(shù)學(xué)模型的結(jié)果也需要有實驗檢驗。2、實驗方法（1）可以

5、獲得熱物理過程可靠的數(shù)據(jù)資料；（2）全比例設(shè)備實驗可予測由它完全復(fù)制的同類設(shè)備在相同條件下將如何運行和變化；（3）是研究一種新的基本現(xiàn)象的唯一方法；（4）是檢驗其它預(yù)測方法準(zhǔn)確程度的標(biāo)準(zhǔn)。缺點：（1）全比例實驗代價大（投資，物力，人力，周期）；（2）縮小比例模型實驗結(jié)果的外推受準(zhǔn)則數(shù)實驗范圍的限制，有些在全比例設(shè)備上才能出現(xiàn)的特征在縮小比例模型上并非總是能模擬（例如流動的渦），降低了模型試驗的效果；（3）測試?yán)щy及測量誤差；（4）有些過程無法預(yù)先進行試驗（航天，氣象預(yù)報）。3、數(shù)值模擬（1）成本低：在大多數(shù)實際應(yīng)用中，計算機運算的成本要比相應(yīng)的實驗研究成本低好幾個數(shù)量級，對象愈龐大，過程愈復(fù)雜

6、，此優(yōu)點愈突出；同時，與大多數(shù)物品價格不斷上漲的趨勢相反，計算成本還會降低；（2）速度快，周期短；不同方案的對比計算和優(yōu)選，這對某些大型實驗幾乎是不可能的。（3）信息完整：能提供計算區(qū)域內(nèi)所有各個位置上有關(guān)變量的值（速度、壓力、溫度、濃度等），而實驗則不可能測出整個區(qū)域各點處所有變量的值。（4）具有模擬真實條件的能力：幾何條件、邊界條件、物性條件、初始條件很容易模擬真實條件，不需要采用縮小模型或冷態(tài)實驗，無論大小、高位，低溫、過程快、慢。（5）具有模擬理想條件的能力：對于研究物理現(xiàn)象而不是工程問題時，注意力集中幾個基本參數(shù)而要設(shè)法消除所有無關(guān)的因素。幾何條件（維數(shù)變化，尺寸）、物性（常密度），

7、BC（絕熱表面），ic（特定的初始溫度分布）。缺點：（1）數(shù)值模擬的對象是數(shù)學(xué)模型簡化處理，結(jié)果的準(zhǔn)確性有特價檢驗；（2）對一些十分復(fù)雜的問題（幾何形狀復(fù)雜，強烈非線性、物性變化大），數(shù)值解可能很難獲得，或者即便可以獲得，代價也是相當(dāng)昂貴的，例如，對湍流問題，要想通過求解非穩(wěn)態(tài)N-S方程來算出它們的全部與時間相關(guān)的結(jié)構(gòu)，則仍然是計算所不能及的；（3）對解的唯一判斷力較弱為了進一步討論數(shù)值模擬的缺點，可以把所有的實際問題分成兩大類：A類：有完整數(shù)學(xué)模型的一類問題，如熱傳導(dǎo)、層流問題、簡單的湍流邊界層問題；B類：迄今無完整數(shù)學(xué)模型的一類問題，如復(fù)雜湍流、某些非牛頓流體、某些兩相流動等，問題的分類還

8、有一標(biāo)準(zhǔn)問題，即描述到什么樣的程度可以認為是“夠了”，“合適”的。A類缺點：對這類問題，用計算機求解的優(yōu)越性遠遠大于實驗研究。 有數(shù)值模擬缺點的（2）、（3）兩條；在某些情況下也需要進行實驗檢驗。對于此類問題，研究計算方法的目的在于使這些計算方法理加可靠、準(zhǔn)確和有效，隨著研究的進展，其缺點將被不斷克服。B類缺點：A類的缺點B類全有，此外，必須進行實驗檢驗。數(shù)學(xué)模型的研究不斷地把B類問題轉(zhuǎn)化為A類：試算與修正。先提出一個模型計算求解與實驗結(jié)果進行比較修正模型，并不斷完善、湍流模型的最新發(fā)展就是這種轉(zhuǎn)換的一個典型例子，k-雙方程模型最初建立在科爾莫戈洛夫（Kolmgorov）(1942)及普朗特（

9、Prandtl）(1945)的工作基礎(chǔ)上的，但并未，也不可能付諸實現(xiàn)，只有到了20世紀(jì)70年代，當(dāng)計算機和計算方法變得更加強有力的是候，該模型才逐步趨于完整并付諸實際應(yīng)用。4、方法的選擇三種方法或三種手段相輔相成，互為補充。（1）分析解可以為檢驗數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確度提供比較依據(jù)；常常用有分析解的簡單問題檢驗方法的準(zhǔn)確度；（2）簡單的解極解可以為發(fā)展數(shù)值方法中的某些算法提供理論依據(jù)，調(diào)和平均；（3）物理規(guī)律、數(shù)學(xué)模型的正確建立必須通過對現(xiàn)象的充分觀察和測定，等；（4）出現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型中的物性參數(shù)只有通過實驗測定才能獲得。數(shù)值模擬的對象是熱物理過程的數(shù)學(xué)模型，所以其結(jié)果的準(zhǔn)確度首先取決于數(shù)學(xué)模型反映

10、實際熱物理過程的準(zhǔn)確度（包括所用的特性參數(shù)），然后才是所采用的數(shù)值方法，計算機并不能創(chuàng)造信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，它只能把人們所送入的信息，按照計算者安排的程式對信息進行加工、處理，從而得到相應(yīng)的結(jié)果。但是，一旦確立了與實際物理過程相符合的物理模型、數(shù)學(xué)模型、數(shù)值模擬又可以發(fā)揮很大的作用，它可以減少實驗工作量，拓寬實驗研究的范圍，實現(xiàn)對理想單值性條件的模擬；對那些耗資巨大，條件惡劣的實驗，或者難于進行的實驗來說，“數(shù)值實驗”更是一種有吸引力的輔助或替代手段。理論分析，實驗測定和數(shù)值模擬有機而協(xié)調(diào)地結(jié)合，是研究熱物理過程理想而有效的方法。本課程的內(nèi)容及安排一、內(nèi)容兩個組成部分理論部分：基礎(chǔ)理論（數(shù)學(xué)物理、

11、數(shù)值方法）熱物理過程的數(shù)值模擬：通用性，并以熱傳導(dǎo)、對流換熱、流場的計算為例，推廣到通用控制方程所描述的其它現(xiàn)象。論述方式的特點：（1）強調(diào)物理的概念和方法，而不過分倚重純數(shù)學(xué)的推導(dǎo)。（2）以一維為基礎(chǔ)，推廣（擴展）到二維、三維。2、實踐性環(huán)節(jié)：一個課程設(shè)計，程序設(shè)計，視情況而定。二、授課方式改變注入式，實行啟發(fā)式，培養(yǎng)自學(xué)能力。三、教材、參考書1、SV帕坦卡著、張政譯（郭寬良譯），“傳熱與流體流動的數(shù)值計算”。（Numerical Heat Transfer and Fouid Flow），科學(xué)出版社，1984。2，陶文銓編著，數(shù)值傳熱學(xué)，西安交通學(xué)大出版社，1988。第二章 物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)

12、描述數(shù)值計算的對象過程的數(shù)學(xué)模型，核心是控制方程。（數(shù)學(xué)模型：控制方程+單值性條件，？單值性條件）21控制微分方程1、控制微分方程的意義控制微分方程是一定守恒原理的數(shù)學(xué)表達式，影響因變量的各因素之間必定存在某種聯(lián)系?；貞泴?dǎo)熱方程：熱力學(xué)第一定律，對任意控制容積V，導(dǎo)入控制容積的熱流量+控制容積中的內(nèi)發(fā)熱量=控制容積中物質(zhì)能量的增量。導(dǎo)入控制容積的凈熱流量，控制容積內(nèi)的發(fā)熱量=，控制容積中物質(zhì)內(nèi)能的增量=。 散度定理： 非穩(wěn)態(tài)項 擴散項 源項比容，對常密度（不可壓縮）物質(zhì)運動（流動）時，增加：物體宏觀運動帶入的能量= 壓縮機械動 = 粘性摩擦功 =流體的變形率張量第二動力粘度，體積粘度對簡單可壓

13、縮系統(tǒng)= 非穩(wěn) 對流 擴散對理想氣體及恒密度（固液）， ，對固、液，忽略p變化，則各項則代表著各因素在單位容積時的作用效果. 單位容積焓的變化率單位時間、單位面積、傳遞的焓。對流流量密度JC 單位容積流出的凈焓量擴散流量密度 源項2、化學(xué)組分方程的質(zhì)量分量擴散流密：3、能量方程如果為常數(shù)，OK時h=0，則由4、動量方程：某方向上的動量變化率，單位體積質(zhì)量x方向的動量，其它粘性力項，5、湍流的時間平均方程湍流：給定點處的物理量隨時間而變化，隨機性。工程上：關(guān)心的是運動狀態(tài)的時間平均特性非穩(wěn)定層流方程的時間平均方程，滯流流動的時間平均方程，假設(shè)湍流中存在相對于時均值的脈動，平均化（時均化）運算附加

14、項，雷諾應(yīng)力（湍流熱流），湍流擴散流量密度湍流模型，用平均性質(zhì)來表示的附加項。引入湍流粘度（湍流擴散系數(shù)）滯流應(yīng)力，流量必度時均方程層流方程，相應(yīng)的層流交換系數(shù)用有效系數(shù)代替。模型6、通用方程（1）向量形式對于不同的，有特定的、S與之間相對應(yīng)。大多數(shù)的傳遞過程，擴散流量密度Jd因變量的梯度確定，也有擴散流量密度不由梯度支配的情形，這時可將其（Jd）并入S中。連續(xù)性方程：（2）直角張量形式和法則：一項某下標(biāo)重復(fù)，則該下標(biāo)依次取1、2、3然后做和運算。如何把特定的控制微分方程改寫成通用形式。把相關(guān)因變量的非穩(wěn)態(tài)項，對流項及擴散項轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式；把擴散項內(nèi)梯度前的系數(shù)取為的表達式；把其余所有項之和置

15、于方程右端，定義為源項。通用方程可以是有量綱形式，也可以是無量綱形式，、S也相應(yīng)無量綱化。作用：通用方程通用數(shù)值方法公式通用計算機程度2-2 坐標(biāo)的性質(zhì)及控制方程的類型一、坐標(biāo)的性質(zhì)坐標(biāo)自變量。坐標(biāo)（系）或自變量的數(shù)目對問題的難易程度有很大影響，而對一定的問題而言，坐標(biāo)（自變量）數(shù)目是可變的，既可以用這個坐標(biāo)系來描述，又可以用別的坐標(biāo)系來描述。1、自變量的作用：在數(shù)值計算中，將選擇用來計算值的自變量值，所需計算值的位置的多少與自變量的數(shù)目有關(guān)，自變量數(shù)目所需計算的位置。因變量與自變量的相對性，適用于溫度場是坐標(biāo)的單調(diào)函數(shù)的情形。2、坐標(biāo)的選擇，原則：恰當(dāng)，合適。自變量數(shù)目最少的坐標(biāo)系網(wǎng)格節(jié)點數(shù)

16、少。（1）選擇最簡單的坐標(biāo)系圓柱（簡）中的軸對稱導(dǎo)熱：圓管內(nèi)的軸對稱流動：（2）運動坐標(biāo)系準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的概念，（3）利用充分發(fā)展的概念：存在這樣一個坐標(biāo)，當(dāng)過程發(fā)展到一定深度后，因變量的無量綱分布與該坐標(biāo)無關(guān)。，充分發(fā)展后平面自由射流；但（4）相似變換：減少自變量數(shù)目的變換統(tǒng)稱相似變換。半無限大物體（x0）在1B.C.下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：3、坐標(biāo)的單、雙向性采用單向坐標(biāo)和雙向坐標(biāo)的概念，可以形象地描繪不同類型控制方程的物理作用上的區(qū)別。單向坐標(biāo)：在一個坐標(biāo)軸上，如果擾動（或影響）只能向一個方向傳遞，則稱此坐標(biāo)為單向坐標(biāo)。何謂向一個方向傳遞？坐標(biāo)上任意給定位置處因變量之值只受該位置一側(cè)條件變化的影響，且該

17、點因變量之值也只對其一側(cè)位置上的固變量值發(fā)生影響。（“拋物型”表示一種“單向作用”的概念）時間坐標(biāo)是一個典型的單向坐標(biāo)。高溫固體的冷卻，其在某瞬時的溫度只受該瞬時以前的條件的影響。雙向坐標(biāo)：在一個坐標(biāo)軸上擾動（或影響）可以向兩側(cè)傳遞，稱為雙向坐標(biāo)。何謂向兩個方向傳遞？坐標(biāo)上任意給定位置處因變量之值要受該位置兩側(cè)條件變化的影響，且該處因變量之值也會對其兩側(cè)位置上的因變量值發(fā)生影響?？臻g坐標(biāo)是典型的雙向坐標(biāo)。但在一定條件下，空間坐標(biāo)也可以成為單向坐標(biāo)；在流體流動時，如果在某一個坐標(biāo)上有很強的單向流動，則重要的影響只能從上游傳播到下游，某處狀態(tài)也主要受其上游條件的影響，受下游條件影響很小?？偨Y(jié)：對流

18、是一種單向過程，而擴散是一種雙向過程：在流體流動時，二者同時存在，僅當(dāng)流作用很強（流量很大）時，擴散作用可忽略不計，空間坐標(biāo)才近似成為單向坐標(biāo)。二、控制方程的類型討論控制方程的類型對數(shù)值解的影響1、能量方程導(dǎo)熱：對流換熱：（已假定：）若常數(shù)，OK時h=0，則組成：非穩(wěn)態(tài)項，對流項，擴散項，源項控制方程：微分容積中守恒原理的數(shù)學(xué)描述。2、能量方程的守恒性質(zhì)數(shù)值計算中的控制容積無論多么小，總是有限容積，而不是微分容積。問題：對任意有限容積，控制方程是否也一定滿足守恒原理。守恒型控制方程，對任意大小的有限容積能使守恒原理得到滿足的控制方程。非 不能可以證明，在直角坐標(biāo)中，當(dāng)對流項為散度形式時，控制方

19、程是守恒的。將上面的控制方程對任一有限容積V作積分有限容積V上的能量平衡原理的表達式：單位時間內(nèi)有限容積中物質(zhì)內(nèi)能的增加量對流帶入的凈能量率導(dǎo)入的凈能量率生成的能量率若用非守恒型控制方程，有： 簡證：取平行六面體 3、控制方程的分類（1）從數(shù)學(xué)上分類，限于二階偏微分方程，對二元二階線性偏微分方程，下標(biāo)xy表示對該變量的導(dǎo)數(shù)，a、b、c、d、e、f、是x、y的函數(shù)，對求解區(qū)域R，方程的特性由系數(shù)之值決定，在區(qū)域內(nèi)任意一點有兩條實的特征線 雙曲型，在區(qū)域內(nèi)任意一點有一條實的特征線 拋物型，在區(qū)域內(nèi)任意一點無實的特征線 橢圓型三類方程在數(shù)學(xué)上的主要區(qū)別：影響區(qū)域和依賴區(qū)區(qū)域不相同。影響區(qū)域、依賴區(qū)域

20、；R中任一點P的依賴區(qū)域，為了唯一定之道，必須給函數(shù)值的點B依賴區(qū)域的集合；P的影響區(qū)域：變化時，函數(shù)值發(fā)生變化的點的集合。橢圓型方程（即求解區(qū)域上每一點都是橢圓型的）：對于能量方程無非穩(wěn)態(tài)項，自變量與時間無關(guān)。特點：無特征線，任一點P的依賴區(qū)域是包圍該點的區(qū)域封閉邊界曲線，而P點的影響區(qū)域則是整個求解區(qū)域。邊值問題，對應(yīng)于物理學(xué)上的一類平衡問題，或穩(wěn)態(tài)問題。求解區(qū)域內(nèi)各點處的因變量值是相互影響的，與雙向坐標(biāo)相聯(lián)系。結(jié)果：離散代數(shù)方程必須聯(lián)立求解（直接解法或迭代解法），而不可能把區(qū)域中某一部分的值求得后再去確定其區(qū)域上的值。拋物型方程：因變量與時間有關(guān)，或問題中存在類擬于時間的自變量，與單向坐

21、標(biāo)相聯(lián)系，能量方程有非穩(wěn)態(tài)項。對應(yīng)于：物理學(xué)上一類非平衡問題，或非穩(wěn)態(tài)問題，步進問題。特點：過區(qū)域中任一點P有一條實特征線，其方向與單向坐標(biāo)相垂直，如圖，P點的依賴區(qū)域和影響區(qū)域以特征線為分界線。對非穩(wěn)態(tài)問題：某一瞬間物體中的溫度（分布）取決于該瞬時以前的情況及邊界條件，而與該瞬時以后將要發(fā)生的情況無關(guān)，反之，某一時刻的溫度只影響此后的溫度分布邊界層類型的流動與換熱：忽略主流方向的擴散作用，下游的物理量（u,v,t）取決于上游，上游 只會影響下游的物理量。結(jié)果：不必將單向坐標(biāo)上所有位置處的離散方程聯(lián)立求解！只需從某一初始值出發(fā)，結(jié)合邊界條件，沿單向坐標(biāo)一步步向前推進步進法步進問題。大量節(jié)省計算

22、機的內(nèi)存及計算時間，二維存儲一維，三維存儲二維。雙曲型方程：依賴和影響區(qū)域與拋物型方程相同，即：依賴區(qū)域位于運動方向的上游，影響區(qū)域位于下游。不同之處：某點的依賴區(qū)域或影響區(qū)域，不是其上游或下游區(qū)域的全部，而只是過該點的兩條特征線之間的區(qū)域，如圖。例：無粘流體的非穩(wěn)態(tài)流動，無粘流體的穩(wěn)態(tài)超音速流動。大多數(shù)工程導(dǎo)熱、對流換熱問題都屬于橢圓型或拋物型方程，本課程只限于討論這兩類方程。（2）從物理現(xiàn)象上劃分在傳熱相應(yīng)于橢圓型與拋物型方程的物理過程，有專門的稱謂。拋物型有一個空間坐標(biāo)是單向坐標(biāo)邊界層型（流動或換熱）問題；橢圓型所有空間坐標(biāo)都是雙向的回流型（ ）問題。三、一維模型方程控制方程由四部分組成

23、：非穩(wěn)態(tài)項、對流項、擴散項、源項。在研究建立離散方程和方法時，為了避免復(fù)雜化，不必著眼于完全的方程，只需把同一類型的項取出一項作為代表來分析，得到一個維非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程，即在對流換熱問題數(shù)值計算研究中廣泛采用的所謂一維模型方程。非守恒型：守恒型：廣義變量：u、v、w、h、c等廣義擴散系數(shù)，對于傳熱S廣義源項，代表一切不能歸并到非穩(wěn)、對流，擴散項中去的量，不定是物理上的真正源項。對于導(dǎo)熱問題：C=常數(shù)，由對流換熱C=常數(shù)，h=cT第三章 離散化方法3-1傳熱問題數(shù)值求解的基本步驟一、數(shù)值解法的基本思想數(shù)值解法是一種離散近似的計算方法。這種方法得到的是求解區(qū)域中某些代表性位置上未知（待求）物理量

24、（速度、溫度、濃度等）的近似值，而不是象分析解或近似分析解那樣的連續(xù)函數(shù)，“數(shù)值解法”一詞即由此而得名。例：大平板（-LxL）在第三類B.C.下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱B.C.：i.C.：用分離變量法求解可得：令式中，分別是下列（特征）方程的根：，畢渥數(shù)，物理意義，內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻/外部換熱熱阻對不同的Bi值，有不同的值系列。結(jié)論：采用計算機進行數(shù)值計算不僅是求解偏微分方程的有力工具，而且對一些經(jīng)驗公式和用無窮級數(shù)表示的分析解，也常常需要用計算機來獲得數(shù)值結(jié)果。如何進行數(shù)值計算，基本思想？把原來在時間，空間坐標(biāo)上連續(xù)的物理量場（速度場，溫度場，濃度場等），用求解區(qū)域中有限個離散點上的值的集合來代替，并按一

25、定方式建立起關(guān)于這些值的代數(shù)方程，求解代數(shù)方程以獲得物理量場的離散近擬解。二、基本步驟例：長方柱體中的導(dǎo)熱，已知：穩(wěn)態(tài)，四個側(cè)表面各自維持均勻溫度，用數(shù)值方法求柱體中的溫度分布。1建立物理模型，對問題作必要的簡化。(1) 假定涉及的溫度變化范圍不大，常物性；(2) 柱體長度方向端部效應(yīng)忽略不計，二維問題穩(wěn)態(tài)：二維、常物性、無內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題，1st B.C.。2. 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：控制方程+單值性條件有的工程實際問題的模型化工作較難，需要對實際問題進行仔細分析，還需要經(jīng)驗。例：離散電阻片熱源特點：溫度分布在一定的深度的不均勻，畸變溫度分布的不均勻性呈現(xiàn)周期性。所以只研究一個周期區(qū)間即可！區(qū)

26、域離散化：在計算區(qū)域中配置需要計算溫度的地點（位置）（稱為節(jié)點）這一步驟稱為區(qū)域離散化。控制方程的離散化：按照一定的原則（通常是守恒原理），建立每個節(jié)點上未知量（，溫度）與其鄰點上未知量之間的代數(shù)關(guān)系式（稱為離散方程）控制方程的離散化。例如，由能量方程可以得出每一節(jié)點溫度與相鄰節(jié)點溫度之間的代數(shù)關(guān)系。求解所得到的代數(shù)方程，獲得節(jié)點上的未知量之值。對所獲得的數(shù)值結(jié)果進行分析、比較和討論?；静襟E框圖（流程圖）：三、傳熱問題的主要數(shù)值方法1、有限差分法（Finte Difference Method, FDM）2、有限元法（Finite Element method, FEM）3、邊界元法（Bou

27、ndary Element Method, BEM）4、有限分析法（Finite Analysis Method, FAM）應(yīng)用最多的是有限差分法，與有限元法相比，差分法占有一定優(yōu)勢：方法發(fā)展的成熟程度；實施的難易程度；應(yīng)用的廣泛性。3-2 區(qū)域離散化方法定義：用一系列與坐標(biāo)軸平行的曲線將計算區(qū)域劃分成很多互不重疊的子區(qū)域，并選定每個子區(qū)域中的節(jié)點的過程。每一個節(jié)點可視為相應(yīng)微小容積（稱為控制容積）的代表，控制容積的邊界稱為界面（常用虛線表示）。沿坐標(biāo)軸方向聯(lián)結(jié)相鄰兩節(jié)點而形成的曲線簇稱為網(wǎng)格線（常用實線表示）。一、分類 根據(jù)節(jié)點在子區(qū)域中的位置進行劃分1、外節(jié)點法節(jié)點位于子區(qū)域的頂點用直線簇

28、劃分出子區(qū)域。節(jié)點：子區(qū)域的頂點即直線簇的突點網(wǎng)線線：直線簇界面：網(wǎng)格間距（相鄰兩節(jié)點間的網(wǎng)格線段）的中垂線；控制容積：不是子區(qū)域特點：子區(qū)域與控制容積不重合，先確定節(jié)點，后確定界面，practiceA，方法A2、內(nèi)節(jié)點法節(jié)點不在控制容積中心，節(jié)點位于子區(qū)域的中心界面：劃分子區(qū)域的直線簇控制容積：=子區(qū)域節(jié)點：控制容積的中心網(wǎng)格線：特點：先定界面，后d定節(jié)點,practiceB方法B。二、網(wǎng)格系統(tǒng)的標(biāo)記方法以二維為例1 i-j-n系統(tǒng)2 P、E、W、N、S系統(tǒng)節(jié)點間距（網(wǎng)格間距），界面間距對于均分網(wǎng)格：，內(nèi)、外節(jié)點法的節(jié)點分布在區(qū)域內(nèi)部趨于一致。例：一維網(wǎng)格系統(tǒng)三、兩種區(qū)域離散化方法的比較1、

29、邊界節(jié)點所代表的控制容積不相同A：，能更好地考慮邊界節(jié)點之間的傳熱作用，更符合實際；B：，不能考慮邊界節(jié)點之間的傳熱作用，（適合于今后處理2、3類B.C.的附加源項法）2、網(wǎng)格不均勻時界面位置A：界面位于相鄰兩節(jié)點正中間：B、否對導(dǎo)熱量計算的準(zhǔn)確度不相同 節(jié)點位置A：不在控制容積中心B：在控制容積中心、對求解區(qū)域內(nèi)材料物性突變的適應(yīng)能力不同A:B: 易方便地將物性發(fā)生階躍變化的交界面作為控制容積的界面，從而使同一控制容積內(nèi)的物性保持均勻一致。4、對B、C突變的適應(yīng)能力不同A：不便于適應(yīng)B：便于適應(yīng)結(jié)論：兩種方法都得到應(yīng)用，但當(dāng)有材料物性突變時，建議采用內(nèi)節(jié)點法。3-3 建立離散方程的方法建立離

30、散方程的常用方法有四種，即泰勒（Taylor）級數(shù)展開法、多項式擬合法、控制容積積分法及平衡法，這里主要介紹泰勒級數(shù)展開法和控制容積積分法。一、泰勒（Taylor）級數(shù)展示法定義：把控制方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表達式來代替而形成離散方程的方法。由于各階導(dǎo)數(shù)的差分表達式可以由泰勒級數(shù)展開而導(dǎo)出，故名曰泰勒級數(shù)展開法。以一維模型方程為例（1）為簡便計，假定為常數(shù)（2）1、導(dǎo)數(shù)的差分表達式建立均勻時間空間網(wǎng)格：在x-坐標(biāo)系的求解區(qū)域中，用劃分網(wǎng)格，把在時一空網(wǎng)格中節(jié)點（i，n）處之值記為t(i,n), 相應(yīng)地有、將作泰勒級數(shù)展開：.（3）（4）由式（3）移項可得同理，由式（4）移項可得由式（3）

31、式（4）可得說明：O（rder）表示數(shù)量級之意，O（x）,O(x)2表示未寫出的高階項之和的數(shù)量級，常稱為截斷誤差。O(x)表示截斷誤是x的數(shù)量級，O(x)2則表示截斷誤差是（x2）的數(shù)量級。特別注意，O（x）并未給出截斷誤差的準(zhǔn)確值，而只表明截斷誤差是如何隨x0而變小的，例如O（x）即表示截斷誤差隨x0而按x減小，O(x)2則表示截斷誤差隨x0而按（x2）減小。所以O(shè)(x)2比O（x）高一個x的階，當(dāng)x足夠小時，截斷誤差為O(x)2的表達式比截斷誤差為O（x）的表達式更準(zhǔn)確。這里，t(i,n)、t(i+1,n)和t（i-1,n）是函數(shù)在節(jié)點（i,n）、(i+1,n)和（i-1,n）處的精確值

32、，它是未知、待求的。在進行數(shù)值計算時，只能獲得其近似值，分別記為且它們應(yīng)滿足以下關(guān)系式(或按以下關(guān)系式來確定近似解：向前差分一階精度向后差分一階精度中心差分二階精度向前、向后差分雙涉及所論節(jié)點一側(cè)的節(jié)點函數(shù)值，稱為單側(cè)差分或偏差分中心差分涉及所論節(jié)點兩側(cè)的節(jié)點函數(shù)值幾何表示：一般規(guī)律：用到的節(jié)點函數(shù)值越多，涉及的節(jié)點區(qū)域范圍越大，提供的特定變量的變化信息越充分、完整，差分表達式的準(zhǔn)確度越高！請自證：同理，對非穩(wěn)態(tài)項的一階偏導(dǎo)數(shù)也有類似的差分表達式：對二階導(dǎo)數(shù)項亦有：；自證：差分表達式正確性的檢驗；各階導(dǎo)數(shù)的差分表達式應(yīng)當(dāng)滿足兩個基本要求（1）函數(shù)為常數(shù)時，差分表達式亦應(yīng)成立（差分表達式中分子各

33、項系數(shù)的代數(shù)和為零）；（2）差分表達式的量綱必須與導(dǎo)數(shù)的量綱一致。2、控制方程的差分表達式離散方程的建立有各階導(dǎo)數(shù)的差分表達式后，如何得到控制方程的差分表達式；把控制方程中的所有導(dǎo)數(shù)用同一節(jié)點處的相應(yīng)差分表達式來代替，并將所有各項的截斷誤差相加，從而得到要求的差分離散方程和相應(yīng)的截斷誤差。問題：在一個時間步上，按步進方式采用向前差分很容易獲得相應(yīng)的差分表達式如何處理？在間隔內(nèi)，也是隨時間變化的。怎樣選擇展開點？有三種常用的選擇三種常用格式（1）顯格式：，選在時層的開始時刻，用中心差分；（2），全隱格式，展開點選在時層終了時刻仍用中心差分；（3）C-N格式，展開點選在時層的正中間，仍用中心差分；

34、關(guān)鍵是，將在（）處展開。兩式相加，所以注意：的差分表達式，對節(jié)點（）展開是中心差分，對再用中心差分，所以思考：以上三種典型格式的物理意義。二、多項式擬合法導(dǎo)數(shù)的差分表達式也可以通過多項式的擬合來獲得，這相當(dāng)于對未知函數(shù)的局部變化曲線（型線）采用多項式來逼近。1、線性擬合：假定函數(shù)在節(jié)點（i、n）附近對x的變化是近似的線性關(guān)系（線性化），則有：?。╥，n）的x坐標(biāo)，則由此二式得的向前差分為2、二次擬合，且仍取于是有由此解得：可得一、二階導(dǎo)數(shù)的差分表達式分別為：在流動與傳熱問題的數(shù)值計算中，多項式擬合法主要用來處理邊界條件，例如當(dāng)由已知的節(jié)點溫度確定邊界上的熱流或由給定的熱流確定節(jié)點溫度。例：在圖

35、示情形中，已知邊界（節(jié)點）和區(qū)域內(nèi)部節(jié)點的溫度，材料導(dǎo)熱系數(shù)，試用多項式擬合法確定邊界上的熱流。解：（1）線性擬合邊界附近溫度成線性變化，則（2）邊界附近溫度分布的二次曲線擬合，解得于是得與有二階精度的單側(cè)差分格式一致對于采用離散化方法B的網(wǎng)格：此二式相減，反之，如果給定了邊界上的熱流密度qB，則可用多項式擬合法由qB及內(nèi)節(jié)點溫度來計算邊界溫度。例如，從上面兩個二次曲線擬合所得的qB表達式，可以立即寫出qB和所表達的：方法A方法B對方法A的網(wǎng)格，采用三次多項式擬合時，此式的截斷誤差可通過將對節(jié)點（i,1）作Taylor展開來獲得。三、控制容積積分法控制容積積分法又稱有限容積法，是傳熱問題數(shù)值計

36、算中廣為采用的方法?？刂迫莘e積分法的主要實施步驟可以歸納如下：1、步驟（1）將節(jié)點視為控制容積的代表，把守恒型控制方程在任一控制容積和時間間隔內(nèi)對空間變量和時間變量作積分。（2）選定函數(shù)（溫度）隨空間坐標(biāo)和時間坐標(biāo)的變化規(guī)律，即分布曲線（常稱形狀函數(shù)、型線）。（3）根據(jù)選定的型線，作出方程中的各項積分，并整理成關(guān)于未知節(jié)點函數(shù)值（溫度值）的代數(shù)方程。在舉例說明控制容積積分法的具體實施過程以前，先介紹兩各常用的型線，即階梯式分布和分段線性分析。2、兩種常用型線（a）t-x (b)t-在t-的階梯式分布中，又有顯式與隱式兩種情形。顯式：在的整個時間間隔內(nèi)，函數(shù)（溫度）均取為開始時刻之值，僅在該間隔

37、的結(jié)束時刻才取得終了時刻（+）之值；隱式：在整個時間間隔內(nèi)，函數(shù)（溫度）均取為終了時刻之值。CN：在間隔內(nèi)，從開始時刻值直線變化到終了時刻之值。3、實施過程控制容積P，y、z方向均為單位長度，（1）將模型方程對控制容積P在時間間隔內(nèi)積分體現(xiàn)了間隔內(nèi)控容P上的能量平衡關(guān)系。（2）選擇的型線，完成積分計算非穩(wěn)態(tài)項，t及對x作階梯式變化，擴散項，對作顯式、階梯式變化，間隔內(nèi)按時刻計算，得式中，必須轉(zhuǎn)換為用節(jié)點溫度值來表示，涉及t隨x的變化方式，取為分段線性分布，則有式中，分別是界面e,上的導(dǎo)熱系數(shù)。源項 S對及x均作階梯式變化，且對為顯式變化。（3）將各項積分結(jié)果代入能量平衡式，整理得到離散方程（兩

38、端同除以）式中主節(jié)點系數(shù)；鄰點系數(shù)，b-常數(shù)采用均勻網(wǎng)格時，常物性改用（i、n）網(wǎng)格標(biāo)記，則上式將與泰勒級數(shù)展開法得到的顯格式結(jié)果相同。關(guān)于型線選擇的說明：型線是一種輔助關(guān)系式，一旦離散方程建立起來，型線就失去了意義，因此不必追求一致性，即對不同的物理量可以選擇不同的型線；對同一物理量在不同的項中，可以選擇不同的型線。選擇的原則：便于積分運算；使離散方程有較好的數(shù)值特性（顯，隱？）四、控制容積平衡法把守恒定律直接應(yīng)用于所研究的控制容積，并把節(jié)點視為控制容積的代表，即可導(dǎo)出節(jié)點上未知物理量值之間的代數(shù)關(guān)系式。對于模型方程所表示的一維擴散問題，守恒定律（熱力學(xué)第一定律）表現(xiàn)為：時間間隔內(nèi)控制容積P

39、中能量（熱能）的增量，等于同一時間間隔內(nèi)擴散進入該控制容積的凈熱量及內(nèi)熱生成量之和，故有進一步假定：1、上式右端各項取時刻之值（顯式）；2、界面導(dǎo)數(shù)亦按分段線性計算；3、對x均作階梯式變化與控容積分法的型線相同則經(jīng)整理得到的節(jié)點溫度代數(shù)方程與控制容積積分法相同。五、建立離散方程方法的比較1、泰勒級數(shù)展開法和多項式擬合法偏重于從數(shù)學(xué)角度進行推導(dǎo)，把控制方程中的各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表達式代替，易于對離散方程的數(shù)學(xué)特性進行分析（如分析截斷誤差等）。缺點：非均勻空間網(wǎng)格時的離散方程形式比較復(fù)雜；導(dǎo)出過程的物理概念不夠清晰； 不能完全保證所得差分方程具有守恒特性。2、控制容積積分法和平衡法：著重于從物理

40、觀點分析，推導(dǎo)過程的物理概念清晰，離散方程系數(shù)有一定的物理意義，所得到的離散方程都是有限大小容積上某種物理量與守恒的表達式，具有守恒特性。缺點：不便對方程進行數(shù)學(xué)特性分析。3-4 差分方程（離散方程）的特性分析無論采用四種建立離散方程方法中的哪一種方法，在推導(dǎo)過程都作了近似處理，必然會引入誤差，直接影響數(shù)值解的準(zhǔn)確度，從數(shù)學(xué)的角度看，這些誤差包括：差分方程的截斷誤差相容性問題差分方程解的截斷誤差收斂性問題計算過程中引入的舍入誤差穩(wěn)定性問題另一方面，希望所獲得的數(shù)值解能保持熱物理過程和現(xiàn)象原有的一些基本屬性，例如在有限容積范圍內(nèi)的守恒特性，在純對流問題中擾動僅沿流動方向傳遞的特性。一、數(shù)學(xué)特性1

41、、截斷誤差和相容性討論誤差，必須引入差分方程精確解的概念。差分方程精確解離散方程求解過程中不引入任何誤差的解，其所采用的計算機是無限位字長的?？紤]最簡單的一維擴散問題：（1）符號表示對函數(shù)在點（i，n）作規(guī)定微分運算的算子，例如，對上述一維擴散問題，有微分算子：而，就是節(jié)點（i、n）處的方程（1）符號表示對節(jié)點函數(shù)作某些差分運算的算子，例如（2）于是，就代表了方程（1）的差分格式。一個差分方程的截差是指其差分算子與相應(yīng)微分算子之差，記為，差分方程的截差可以通過對差分方程的精解解作Taylor展開來導(dǎo)出（特別對控容積分法和平衡法導(dǎo)出的差分方程，并假設(shè)差分方程精確解滿足作Taylor展開的條件）。

42、例如，對方程（1）的差分格式，（2）把在點（i，n）作Taylor展開，并代入該差分方程，整理得到：所以 （當(dāng)時）定義：當(dāng)時間和空間網(wǎng)格的步長（間距）均趨于零時，如果差分方程的截斷誤差0，則稱此差分方程與微分方程相容。相容性意味著當(dāng)時空網(wǎng)格間距均0時，差分方程逼近微分方程，差分方程所數(shù)值模擬的確系原控制微分方程。相容性條件：截差呈的形式，且m、n均大于零時，差分方程具有相容性。注意：當(dāng)截差表達式中含有項時，相容性僅在一定條件下才能滿足。例：一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的Dufort-Frankel格式控制方程Richardson格式：三層格式思路：中心差分二階精度對時間t的一階偏導(dǎo)數(shù)用中心差分。，意指時刻滿

43、足， =其中差分方程理查森格式是一個顯格式，但與前面提到的前三種格式不同：前三種格式：由n層（n+1）時層，涉及兩個時層，稱為二層格式。Richardson格式：由n-1、nn+1，涉及三個時層，稱為三層格式。時，相容，該差分方程數(shù)值模擬的確是，但該格式是完全不穩(wěn)定格式，無實用價值。如何使不穩(wěn)定穩(wěn)定？Dufort,Frankel格式將用代替，則差分方程變?yōu)闊o條件穩(wěn)定的三層顯式格式。出現(xiàn)的問題：格式的精度；要求的速度比的速度快，為什么所以討論：當(dāng)（常數(shù)）當(dāng)時，且0，相容，數(shù)值模擬的是導(dǎo)熱方程，但截差，則格式逼近的是如下雙曲型方程不滿足相容性要求的差分方程模擬的是別的微分方程，數(shù)值解沒有意義。2、

44、離散誤差和收斂性離散誤差：網(wǎng)格點上（i，n）差分方程的精確解與該點處微分方程的精確解的偏差稱為差分方程解在該點處的離散誤差，記為；當(dāng)時間和空間網(wǎng)格間距和均0時，如果所有網(wǎng)格節(jié)點（i、n）上的離散誤差均0，則稱該差分方程的解是收斂的，或者說解具有收斂性。相容性是收斂性的必要條件，但不是充分條件。舍入誤差：計算機的字長總是有限的，在運算過程中必然有四舍五入，產(chǎn)生舍入誤差，節(jié)點（i，n）上實際求得的數(shù)值解與其對應(yīng)的差分方程的精確解之間的偏差，記為；數(shù)值解的總偏差；計算實踐表明，是的主要成分。的影響因素，m、n均0（相容性要求?。┮话愣?，m、n之值越大（即截差階數(shù)越高），；在一定截差下，網(wǎng)格加密（）

45、，。但決不是截差越高，網(wǎng)格越密，數(shù)值解的準(zhǔn)確性就越高！網(wǎng)格加密，運算次數(shù)，機時，對解的準(zhǔn)確度造成影響；解的準(zhǔn)確性受所有節(jié)點上截差的影響，而在近邊界的內(nèi)節(jié)點上通常不易獲得高階截差的離散方程，故無論網(wǎng)格如何加密，解的準(zhǔn)確性也受此約束！所以通常采用具有二階截差的格式究竟收斂性的條件或者判據(jù)是什么？這里不擬直接就收斂性進行證明，而引述一個定理，Lax等價性定理：對于線性初邊值問題，如果問題是適定的，并且差分方程（格式）滿足相容性條件，那么差分格式的穩(wěn)定性就是該格式收斂性的充分而必要的條件。所以集中注意力格式的穩(wěn)定性討論！3、誤差傳播（累積）和穩(wěn)定性用步進法求解非穩(wěn)態(tài)問題（廣而言之，拋物型問題）時，數(shù)值

46、解是在單向坐標(biāo)上按步長（對時間單向坐標(biāo)是按時層），逐漸推進的，以時間坐標(biāo)為例，如果在某一時層（n）上引入誤差，則會影響到其后的各時層的計算結(jié)果，計算過程誤差的引入是不可避免的，例如：舍入誤差，初始條件、邊界條件給定的誤差等，定義：對于一定的差分格式，如果在某一時間層上引入的誤差在其后逐層的計算中能得到控制，即逐步消失或保持有界，則此差分格式是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的差分格式?jīng)]有實用價值，因為在這種情形下，累積誤差將隨時層的而逐步，以至差分方程的真解終將被誤差所淹沒。對常系數(shù)差分方程而言，任意時層上引入誤差產(chǎn)生的影響最終可以歸結(jié)為在初始時層上引入的誤差對數(shù)值解所造成的影響，即初值不穩(wěn)定性

47、。穩(wěn)定性與否是格式本身所固有的？舉例說明顯格式，均勻網(wǎng)格，引入，則格式變?yōu)椋ňW(wǎng)格傅里葉數(shù)）為簡化計算，取，則問題的差分格式為假定：（1）B.C.精確，無誤差（2）在初始層（n=0，初始條件），某節(jié)點（i,0）產(chǎn)生誤差，而在初始層其它節(jié)點上無誤差；（3）在以后各層的計算中，完全準(zhǔn)確無誤。這是一種最輕微的情況，看這唯一的誤差如何影響節(jié)點溫度的發(fā)展與傳播？差方程的精解解設(shè)為，則偏差，它將滿足下列誤差方程：看由引起的誤差傳播50000040000300020010n=0ni誤差逐層減小，并將最終消失，所以當(dāng)F=1/2時，顯格式是穩(wěn)定的。改取，則有誤差傳播？圖（自己完成），結(jié)論：誤差逐層增大，所以F=1

48、時，顯格式是不穩(wěn)定的（I，B，C）。4、差分格式的穩(wěn)定性理論分析（1）矩陣分析法顯格式：A全隱格式：C-N格式：上述三種典型格式的矩陣形式可統(tǒng)一表示為：式中，H是三對角矩陣，其元素依賴于FA，稱為增長矩陣，b,是相應(yīng)的常數(shù)向量。（N-1）（N-1）假定B.C.準(zhǔn)確給定，只是在初始層上引入了誤差，而在其后各時層的計算中未再引入其它誤差，則由此而得到的解應(yīng)滿足下列方程：近似解可以導(dǎo)出誤差：應(yīng)當(dāng)滿足的方程為描述誤差的傳播規(guī)律，稱為誤差方程，顯然，它是差分格式的齊次形式。顯格式：右端的不等式顯然對一切，都成立，左端：所以，時，顯格式穩(wěn)定！全隱格式，H=B-1，B=2I-A設(shè)A的特征向量為，則： =所以B的特征值 所以H=B-1的特征值，為：恒1，無條件穩(wěn)定C-N格式：H=（I+A）（I+B）1恒1，無條件穩(wěn)定。加權(quán)格式：，無條件穩(wěn)定，條件穩(wěn)定，穩(wěn)定條件為（2）傅里葉級數(shù)法von.Neumann方法一維問題：0，L，利用誤差的網(wǎng)格函數(shù)（定義在網(wǎng)格節(jié)點上），在0，L上定義一個函數(shù)，B、C準(zhǔn)確給定，定義為階梯函數(shù)。取為將周期性地延拓到整個x軸，并展開成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，得系數(shù)是時層數(shù)n的函數(shù)，具有諧波波幅的意義，用來表示：因為所討論的問題是線性的，滿足迭加原理，故考察誤差隨時層的變化時，只需取傅里葉級中的