聲學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題課一二章題

1、聲學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題課2014/10/22 0.5 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)衰減振動(dòng)方程的解。假設(shè)初始時(shí)1-18、試求當(dāng)力學(xué)品質(zhì)Qm |t 0 0， |t 0 0刻，試解的結(jié)果。d 2d Km 0解：質(zhì)點(diǎn)衰減振動(dòng)方程為： Mm+Rmdt 2dt e jrt 設(shè)，帶入方程有：r +jr 0220 0.5 ，即 0 由于 Qmr j 22解得：0則： r j j 2 20 0.5 (0 ) 0.5 (0 ) （2）、Qm注：兩種情況（1）、QmQm 0.5 (0 )（1）、當(dāng) j j 2 j j 2 22此時(shí)，方程有兩根：r，r1020則解的形式為： A e 02 t22 t2 jr tjr ttA eB eeB e00

2、12 |t 0 0 ， |t 0 0帶入初始條件0：A ，B 2 2 222200e 220 t22所以：B e tte0Qm 0.5 (0 )（2）、當(dāng) r2 j此時(shí)，方程有兩重根： r1d 2d+2 02則此時(shí)方程為：dt 2dt兩邊同時(shí)Laplace變換：s s 0 0 2 s s 0 2s 0s20s 0 |t 0 0， 0 | s ： 帶入初始條件t 002則： t te t0注意：結(jié)果（2）即為結(jié)果（1）中0 無限逼近于 的情況；對結(jié)果（1）Taylor展開并忽略高階小量即得到結(jié)果（2）。1-28、有一所謂壓差式傳聲器，已知由聲波引起在傳聲器振膜上產(chǎn)生的作用力振幅為：Fa Apa

3、，其中A為常數(shù)，pa 為傳聲器所在處聲壓的振幅對頻率也為常數(shù)，如果傳聲器采用電動(dòng)換能方式(動(dòng)圈式)，并要求在一較寬的頻率范圍內(nèi)，傳聲器產(chǎn)生均勻的開路電壓輸出，試問這一傳聲器的振動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)工作在何種振動(dòng)控制狀態(tài)？為什么？解： MKmmR2mme jtF F1-33、設(shè)有作用于質(zhì)量塊 Mm的主動(dòng)隔聲系統(tǒng)，有一外力上，010試求傳遞在基礎(chǔ)上力 F與 F0的振幅比。提示：作用在基礎(chǔ)上力 F 應(yīng)由彈簧Km 的彈力FK 和阻力FR所解：以質(zhì)量塊 Mm 為對象列運(yùn)動(dòng)方程如下：d 2dKm F10ejtMm+Rmdt 2dt其穩(wěn)態(tài)解為： jt jt F10 ZmjF1002 02 eeZm jt jF10 RF

4、10 K02 F K R e所以： ZmZmF10 Zm R2 2K 2F則：2z1 Q R22FK 2m 2記為：D故： ZFF z 1 z2 210m Qm2 MKK0m ， Mz ，Q m R2m ，Z其中：m0mmmRM0mm隔聲中位移傳遞比D 與主動(dòng)隔聲中力傳遞比 DF 表達(dá)式相同。(見P36)注意：2-3、長為l 的弦兩端固定，在初始時(shí)刻以速度 0 敲擊弦的中點(diǎn)，試求解弦的振動(dòng)位移。解：兩端固定的弦的振動(dòng)位移表達(dá)式為： x, t Cn cosnt Dn sin nt sin kn xn1注：初始各處速度不同。由題得，初始條件為： x, 0 0 200 x ,0 x l2l x, 0

5、 l 20 xl x , x l l2l2 2l x, 0 sin k x dx 0則： Cnnl02l x,0sin k x dxD nl0n0n2 l x2 x l222sin k x dx ll0 sin k x dx0lllnnl02nn l2l40 x cos kx sin k1 l cos k xx nl 2nnkkk 0 l2nnnnsin k x l88 l k l k l 1x cos kx n 0 sin=0sin n 2 n 2nk l n3 3c2 2kkn l2nnn80ln3 3c80ln3 3csin n sin n t sin n故： x, t n1sin t

6、sin k x k lx sinnnn22clln12-4、（上接2-3題）試證明外力傳給弦的初動(dòng)能等于弦作動(dòng)振動(dòng)時(shí)所有振方式振動(dòng)能的總和。解：弦的初動(dòng)能為：Ek 2 2l 22 l2l2l x dx2 dx l2x,0 dx 20l 0 x 2 l00 l206弦振動(dòng)時(shí)的總能量為：2 c 2n c n c 22 l2 2222222 2 l 06 6c216 2l l 42k 00062k 144496故：Ek Es ，得證 1n2 p附：關(guān)于級數(shù)求和。n12 2 p2 2 p!1Euler在1755年給出了求和公式： 1p1 B2 pn2 pn1B 1p 2B其中， 2 p 為數(shù)；當(dāng)時(shí)，4

7、302 4 411n1 1則有：2 4! 30 904n111n1k 1k 1又因?yàn)椋?44n2k 12k1 15 4 41 1n4116則有：2k 14k 4169096k 1n1k 1詳見用柏努利數(shù)表達(dá)級數(shù)sum from n=1 to 1/(n2p)的求和公式 _2-21、求解周界固定的矩形膜作振動(dòng)時(shí)的簡正頻率以及簡正振動(dòng)方式，如果膜的邊長為1：2， 試計(jì)算最小四個(gè)泛頻與基頻的比值。2 2 1 2解：膜的振動(dòng)方程為：x2y2t 2c2注：膜的橫振動(dòng)即弦的橫振動(dòng)從一維推廣到二維，同樣利用分離變量法（駐波法）求解。首先分離變量，設(shè)位移為： x, y, t X xY y T t 2 X x2Y

8、 y 2T t c2c21Y y T t t 2代入振動(dòng)方程：2y2，t 均無關(guān)的常數(shù)，設(shè)為 2 。x ，y都成立，故等號兩邊同時(shí)等于一個(gè)與x，y，t對任意2 X x2Y y 即：2c2c2則有： x 0 2Y y y22Y y 2c 2 1 T t ; 2 2 y Y y 022 2xyT t t 2y22T t c2T t 0c2 2t 2解得： X x A1 cos kx x B1 sin kx x Y y A2 cos ky y B2 sin ky y x |xl 0邊界條件：xY y | 0 ; Y y | 0y 0y lyt B3 sin t TA A 0 ; k n ，n 1, 2, 3 ; k m ，m 1, 2, 3 帶入邊界條件：12xyllxy x, y, t X xY y t 綜上：xy2 m n 2 c k 2 c k 2其中：xyll x yn 則其簡正振動(dòng)方式為：初始條件有關(guān)。2 m n 2c則其簡正頻率為： f22 l l xy12m2cn 1, 2, 3 ; m