2022年東北師大附屬中學(xué)高三第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案不等式的證明 2

1、不等式的證明 ( 教案 )A 一、知識梳理：常用的不等式的證明方法 : 1、比較法 比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結(jié)論；為了判斷作差出的符號，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或者幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。2、綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（均值不等式）和不等式的性質(zhì)，推出所經(jīng)證明的不等式，這個(gè)證明方法叫做綜合法，利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)要注意它們各自成立的條件。綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：即從已知條件 要條件，推導(dǎo)出所經(jīng)證明的結(jié)論 B。A出發(fā)，逐步推演不等式成立的必3 分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證

2、的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的 充分條件， 把證明不等式轉(zhuǎn)化為這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充 分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫分析法。4、反證法：正難則反 先假設(shè)要證明的問題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知的條件、應(yīng)用公理，定義、定 理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件（或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成 立的事實(shí)等）矛盾結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種證明方法稱 為反證法。5、放縮法：證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等 式，從而達(dá)到證明的目的，這種方法叫放縮法。所謂的放縮技巧：即欲證AB，欲尋找一個(gè)（

3、或多個(gè)）中間變量C，使得 ACB，由“ A 到 C就是“ 放” ，則 B 到 C就上“ 縮” 。二、題型探究 探究一：比較法：例 1：若水杯中b 克糖水中含有a 克糖，假如再加入m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來，并加以證明。探究二：分析法和綜合法例 2：已知正數(shù)a，b，求證：a bb+aa+b探究三：放縮法：1 例 3：求證： 1+ 1 2+例 4：證明不等式：1 11 2 3+ + 1 2 3 n 21 11+2+3+ +1n 2n （nN?）探究五：反證法：例 5：已知 a，b，c 都是小于有一個(gè)不大于1 4。三、方法提升1 的正數(shù)，求證： （1-a ）b，（1-b

4、 ）c，（1-c ）a 中至少（1）、分析法是求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式 轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，即“ 執(zhí)果索因”。（2）、綜合法的證明過程有時(shí)正好是分析法的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合的形式寫出證明過程，即：“ 由因?qū)Ч?。（3）、證明不等式的靈活多樣，但比較法，綜合法，分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本的方法， 要依據(jù)題設(shè)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證明方法的中推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)。四、反思感悟五、課時(shí)作業(yè)【說明】本試卷滿分100 分，考試時(shí)間x90 分鐘 . ）D.

5、 不能一、選擇題（每小題6 分，共 42 分）中最大的一個(gè)是（2x,b=1+x,c=111.設(shè) 0 x1，則 a=A.a B.b C.c 確定2.(2010 北京東城區(qū)一模，4)已知 a0,b-1,則下列不等式成立的是（）A.aa baB.a 2 ba a bb2C.a ba a 2 b）D.a aba2b2b的大小不確b23.設(shè) a b0，則下列關(guān)系式成立的是（aabA.aabb(ab)2B.aabb(ab)abD.aab b 與(ab)aC.a ab b=(ab)2定4.設(shè) a,bR+，且 ab-a-b1，則有（）( B.a+b 2 +1 C.a b A.a+b 2(2 +1) C.a+b

6、2 +1 D.a+b 2(2 +1) 5.若 0 x2,設(shè) a=2-xsinx,b=cos2x,則下式正確的是) A.a b B.a=b D.ab 答案： D 6.設(shè) a,b,c 為 ABC 的 3 條邊，且 S=a 2+b2+c2,P=ab+bc+ca,則( ) D.PSA.S 2P B.PS2P C.SP 2P 7.若 a,xyR+,且x +y axy恒成立，則a 的最小值是 ( ) D.1 A.22B.2C.2 答案： B 二、填空題（每小題 5 分，共 15 分）8.在 ABC 中，三邊 a、b、c 的對角分別為 _. A 、B、 C，若 2b=a+c，則角 B 的范圍是9.已知 ab

7、+bc+ca=1，則當(dāng) _時(shí)， |a+b+c|取最小值 _. 10.民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于 10%，并且這個(gè)比越大，采光條件越好， 則同時(shí)增加相等的窗戶面積與地板面積，采光條件變 _（填“ 好” 或“ 壞”）. 三、解答題（ 1113 題每小題 10 分， 14 題 13 分，共 43 分）11.已知函數(shù) f(x)=x2+ax+b, 當(dāng) p、q 滿足 p+q=1 時(shí)，試證明 pf(x)+qf(y) f(px+qy) 對任意實(shí)數(shù) x、y 都成立的充要條件是：0p1. 12.若 a、bR+且 a+b=1,求證：1a1 2b12. 213.已知 a、b、x、yR+且1,xy. ab求證 :xx