2021年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編--圓：與圓有關(guān)的位置關(guān)系（答案版）

1、2021全國(guó)中考真題分類匯編（圓）-與圓有關(guān)的位置關(guān)系一、選擇題1. （2021山東省臨沂市）如圖，PA、PB分別與O相切于A、B，P70，C為O上一點(diǎn)，則ACB的度數(shù)為（）A110B120C125D130【分析】由切線的性質(zhì)得出OAPOBP90，利用四邊形內(nèi)角和可求AOB110，再利用圓周角定理可求ADB55，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可求ACB【解答】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，AP、BP是O切線，OAPOBP90，AOB360909070110，ADBAOB55，又圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，ACB180ADB18055125故選：C2. （2021山東

2、省泰安市）如圖，在ABC中，AB6，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，CDE18，則GFE的度數(shù)是（）A50B48C45D36【分析】連接AD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到ADBC,根據(jù)垂直的定義得到ADBADC90,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到B30,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到GAD60,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AEDADE72,根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論?！窘獯稹拷猓哼B接AD,BC與A相切于點(diǎn)D，ADBC,ADBADC90,AB6,AGAD3,ADAB,B30GAD60,CDE18，ADE901872,ADAE,AEDADE72,DAE1

3、80ADEAED180727236,BACBAD+CAD60+3696,GFEGAE9648,故選：B3. （2021上海市）如圖，已知長(zhǎng)方形中，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)與圓A的位置關(guān)系是（ ）A. 點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi)B. 點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C. 點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi)D. 點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【答案】C【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)D、點(diǎn)E到圓心的距離即可【詳解】圓A與圓B內(nèi)切，圓B的半徑為1圓A的半徑為55點(diǎn)D在圓A內(nèi)在RtABC中，點(diǎn)C在圓A上故選：C4. （2021山西）如圖，在O 中，AB 切O 于點(diǎn) A，連接 OB 交O 于點(diǎn)

4、 C，過點(diǎn) A 作 AD/OB 交O 于點(diǎn) D，連接 CD.若B 50 ，則OCD 為（ ）A. 15B. 20C. 25D. 305. （2021四川省涼山州）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，的半徑為，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為_【答案】3【解析】【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQPQ，可得當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，此時(shí)CPAB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可【詳解】解：連接QC和PC，PQ和圓C相切，CQPQ，即CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，ABC是等邊三角形，當(dāng)CPAB時(shí)，CP最小，此時(shí)CPAB，AB

5、=BC=AC=4，AP=BP=2，CP=，圓C的半徑CQ=，PQ=3，故答案為：36. （2021瀘州市）如圖，O的直徑AB=8，AM，BN是它的兩條切線，DE與O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)，BD，OC相交于點(diǎn)F，若CD=10，則BF的長(zhǎng)是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)D作DGBC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CO交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC= 8，再證明HAOBCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在RtABD中，根據(jù)勾股定理可得；證明DHFBCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可求得【詳解】過點(diǎn)

6、D作DGBC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CO交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，AM，BN是它的兩條切線，DE與O相切于點(diǎn)E，AD=DE，BC=CE，DAB=ABC=90，DGBC，四邊形ABGD為矩形，AD=BG，AB=DG=8，在RtDGC中，CD=10，AD=DE，BC=CE，CD=10，CD= DE+CE = AD+BC =10，AD+BG +GC=10，AD=BG=2，BC=CG+BG=8，DAB=ABC=90，ADBC，AHO=BCO，HAO=CBO，OA=OB，HAOBCO，AH=BC=8，AD=2，HD=AH+AD=10；在RtABD中，AD=2，AB=8，ADBC，DHFBCF，解得，故選A7. （202

7、1浙江省嘉興市）已知平面內(nèi)有O和點(diǎn)A，B，若O半徑為2cm，線段OA3cm，OB2cm，則直線AB與O的位置關(guān)系為（）A相離B相交C相切D相交或相切【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷【解答】解：O的半徑為2cm，線段OA3cm，OB2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，點(diǎn)A在O外，點(diǎn)B在O上，直線AB與O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D8. （2021湖北省荊門市）如圖，PA，PB是O的切線，A，B是切點(diǎn)，若P70，則ABO（）A30B35C45D55【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PBOPAO90，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360得到BOA36

8、0PBOPAOP110，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解答】解：連接OA，PA，PB是O的切線，A，B是切點(diǎn)，PBOPAO90，P70，BOA360PBOPAOP110，OAOB，ABOBAO（180BOA）（180110）35，故選：B9. （2021福建省）如圖，AB為O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC，PD與O相切，切點(diǎn)分別為C，D若AB6，PC4，則sinCAD等于（）ABCD10. （2021吉林省長(zhǎng)春市）如圖，AB是的直徑，BC是的切線，若，則的大小為（ ）A. B. C. D. 11. （2021廣西賀州市）如圖，在中，點(diǎn)在上，以為半徑的與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）A

9、. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】連接OD，EF，可得ODBC，EFAC，從而得，進(jìn)而即可求解【詳解】解：連接OD，EF，與相切于點(diǎn)，BF是的直徑，ODAC，F(xiàn)EBC，ODBC，EFAC，OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=22=4，BC=，BE=，CE=-=故選：B12. （2021貴州省貴陽市）如圖，O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則AOC的度數(shù)是（）A144B130C129D108【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求ED108，由切線的性質(zhì)得：OAEOCD90，最后利用五邊形的內(nèi)角和相減可得結(jié)論【解答】解：正五邊形的內(nèi)角（52）1805108，ED1

10、08，AE、CD分別與O相切于A、C兩點(diǎn)，OAEOCD90，AOC5409090108108144，故選：A13. （2021湖南省婁底市）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】當(dāng)與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則此時(shí)A與直線相切，（需考慮左右兩側(cè)相切的情況）；設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)同時(shí)在A與直線上，故可以表示出點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)作，則此時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)算出長(zhǎng)度，最終得出結(jié)論【詳解】如下圖所示，連接，過點(diǎn)作，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，在中，又半徑為5，則，左右兩側(cè)都有相切的可能，A點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D二

11、填空題1. （2021岳陽市）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，為的外接圓，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是_（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）；若，則的長(zhǎng)為；若，則【答案】2. （2021江蘇省南京市） 如圖，是五邊形外接圓的切線，則_【答案】【解析】【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個(gè)角的和等于5個(gè)直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半【詳解】如圖：過圓心連接五邊形的各頂點(diǎn)，則 故答案為：3. （2021陜西?。┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，O的半徑為1若O在正方形ABCD內(nèi)平移（O可以與該正方形的邊相切）3+1【分析】當(dāng)O與CB、CD相切時(shí)，點(diǎn)A到O上的點(diǎn)Q的距離最大，如圖

12、，過O點(diǎn)作OEBC于E，OFCD于F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OEOF1，利用正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)O在AC上，然后計(jì)算出AQ的長(zhǎng)即可【解答】解：當(dāng)O與CB、CD相切時(shí)，如圖，過O點(diǎn)作OEBC于E，OFCD于F，OEOF1，OC平分BCD，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)O在AC上，ACBC5OE，AQOA+OQ4+13，即點(diǎn)A到O上的點(diǎn)的距離的最大值為3+3，故答案為3+24. （2021湖北省荊州市）如圖，AB是O的直徑，AC是O的弦，ODAC于D，連接OC，過點(diǎn)D作DFOC交AB于F，過點(diǎn)B的切線交AC的延長(zhǎng)線于E若AD4，DF，則BE【分析】根據(jù)垂徑定理得到ADDC，根據(jù)三角形中位線定理求出OC，根據(jù)

13、勾股定理求出OD，證明AODAEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可【解答】解：ODAC，AD4，ADDC4，DFOC，DF，OC2DF5，在RtCOD中，OD3，BE是O的切線，ABBE，ODAD，ADOABE，OADEAB，AODAEB，即，解得：BE，故答案為：5. （2021青海?。c(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則的半徑是 6.5cm或2.5cm【分析】點(diǎn)應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部于外部?jī)煞N情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，直徑最小距離+最大距離；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，直徑最大距離最小距離【解答】解：分為兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖1，點(diǎn)到圓上的最小距離PB

14、4cm，最大距離PA9cm，直徑AB4cm+9cm13cm，半徑r6.5cm；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖2，點(diǎn)到圓上的最小距離PB4cm，最大距離PA9cm，直徑AB9cm4cm5cm，半徑r2.5cm；故答案為：6.5cm或2.5cm6. （2021浙江省杭州）如圖，已知O的半徑為1，點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，T為切點(diǎn)，連結(jié)OT，則PT=【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得出OPT為直角三角形，再利用勾股定理求得PT長(zhǎng)度【解答】解：PT是O的切線，T為切點(diǎn)，OTPT，在RtOPT中，OT1，PT，故：PT7. （2021浙江省溫州市）如圖，O與OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B將OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到OAB，邊A

15、B交線段AO于點(diǎn)C若A25，則OCB85度【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OBA90，連接OO，如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AA25，ABAOBO，BOBO，則判斷OOB為等邊三角形得到OBO60，所以ABA60，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算OCB【解答】解：O與OAB的邊AB相切，OBAB，OBA90，連接OO，如圖，OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到OAB，AA25，ABAOBO，OBOO，OOB為等邊三角形，OBO60，ABA60，OCBA+ABC25+6085故答案為858. （2021浙江省溫州市）圖1是鄰邊長(zhǎng)為2和6的矩形，它由三個(gè)小正方形組成，將其剪拼成不重疊、無縫隙的大正方形（如圖2）62；

16、記圖1中小正方形的中心為點(diǎn)A，B，C，圖2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A，B，C,以大正方形的中心O為圓心作圓，則當(dāng)點(diǎn)A，B，則當(dāng)點(diǎn)A，B，C在圓內(nèi)或圓上時(shí)。圓的最小面積為 (168)【分析】如圖，連接FH,由題意可知點(diǎn)A,O,C在線段FH上,連接OB,BC,過點(diǎn)O作OHBC于H證明EGF30,解直角三角形求出JK,OH,BH,再求出OB2,可得結(jié)論【解答】解：如圖，連接FH,O,C在線段FH上,BC大正方形的面積12，F(xiàn)GGH2,EFHK2,在RtEFG中，tanEGF,EGF30,JKFG,KJGEGF30,dJKGK6)62,OFOHFH,OC,BCQH,BC2,OCHFHQ45,OHHC2,HB2(

17、6)3,OB5OH2+BH2(1)2+(8)2163,OAOCOB,當(dāng)點(diǎn)A，B，圓的最小面積為(168故答案為：62，(1689. （2021北京市）如圖，PA，PB是O的切線，A，B是切點(diǎn)若P50，則AOB 三、解答題1. （2021甘肅省定西市）如圖，ABC內(nèi)接于O，D是O的直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DCBOAC過圓心O作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（1）求證：CD是O的切線；（2）若CD4，CE6，求O的半徑及tanOCB的值【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)與已知條件得出,OCADCB，由圓周角定理可得ACB90，進(jìn)而得到OCD90，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到,

18、設(shè)BD2x,則OBOC3x,ODOB+BD5x,在RtOCD中，根據(jù)勾股定理求出x1,即O的半徑為3，由平行線的性質(zhì)得到OCBEOC,在RtOCE中，可求得tanEOC2,即tanOCB2【解答】（1）證明：OAOC,OACOCA,DCBOAC,OCADCB,AB是O的直徑，ACB90,OCA+OCB90,DCB+OCB90,即OCD90,OCDC,OC是O的半徑，CD是O的切線；（2）解：OEAC，,CD4，CE6，,設(shè)BD2x,則OBOC3x,ODOB+BD5x,OCDC,OCD是直角三角形，在RtOCD中，OC2+CD2OD2,(3x)2+42(5x)2,解得，x1,OC3x3,即O的半

19、徑為3，BCOE,OCBEOC,在RtOCE中，tanEOC2,tanOCBtanEOC22.（2021湖南省常德市）如圖，在中，以的中點(diǎn)O為圓心，為直徑的圓交于D，E是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于F（1）求證：是圓O的切線；（2）若，求的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OD，利用等腰三角形性質(zhì)，直角三角形證明即可；（2）設(shè)OD=x，求證，列比例求解即可【詳解】解：證明：連接OD，如圖：AB為直徑，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，ED=EB，OA=OD，是圓O的切線（2）E是BC中點(diǎn)，BC=4,BE=2，在和中，設(shè)OD為x，則，解得：,則3.（2021湖南省衡陽市）如圖，AB是O的直徑，D為

20、O上一點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上，且CDAB（1）求證：CD是O的切線；（2）若DE2，BDE30，求CD的長(zhǎng)【分析】(1)連結(jié)OD，利用已知條件證明ODCD即可求證CD是O的切線；(2)連結(jié)OE，根據(jù)BDE30，E為的中點(diǎn)即可求出BOD度數(shù)以及求證三角形EOD為等邊三角形，進(jìn)而求出DOC度數(shù)，再利用tanDOC的值即可求出CD的長(zhǎng)【解答】解：（1）證明：連結(jié)OD，如圖所示：AB是直徑，BDA90，BDO+ADO90，又OBOD，CDAB，BBDOCDA，CDA+ADO90，ODCD，且OD為O半徑，CD是O的切線；（2）連結(jié)OE，如圖所示：BDE30，BOE2BDE60，又E為的中

21、點(diǎn)，EOD60,EOD為等邊三角形，EDEOOD2,又BODBOE+EOD120，DOC180BOD18012060,在RtDOC中，DOC60,OD2，tanDOCtan60,CD24.（2021懷化市）如圖，在半徑為5cm的O中，AB是O的直徑，CD是過O上一點(diǎn)C的直線，且ADDC于點(diǎn)D，AC平分BAD，E是BC的中點(diǎn)，OE3cm（1）求證：CD是O的切線；（2）求AD的長(zhǎng)【分析】（1）連接OC，由AC平分BAD，OAOC，可得DACOCA，ADOC，根據(jù)ADDC，即可證明CD是O的切線；（2）由OE是ABC的中位線，得AC6，再證明DACCAB，得，即，從而可得AD【解答】（1）證明：連

22、接OC，如圖：AC平分BAD，DACCAO，OAOC，CAOOCA，DACOCA，ADOC，ADDC，CODC，CD是O的切線；（2）E是BC的中點(diǎn)，且OAOB，OE是ABC的中位線，AC2OE，OE3，AC6，AB是O的直徑，ACB90ADC，又DACCAB，DACCAB，即，AD5.（2021江蘇省連云港） 如圖，中，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，平分（1）求證：是切線；（2）延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E，若，求的值【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用SAS證明，可得，即可得證；（2）由已知條件可得，可得出，進(jìn)而得出即可求得；【詳解】（1）平分，是的切線（2）由（1）可

23、知，又，且，6. （2021宿遷市）如圖，在RtAOB中，AOB=90，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D在邊OB上，且CD= BD（1）判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）已知AB=40，求的半徑【答案】（1）直線CD與圓O相切，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接 證明可得 從而可得答案；（2）由 設(shè) 則 再求解 再表示 再利用 列方程解方程，可得答案【詳解】解：（1）直線CD與圓O相切，理由如下：如圖，連接 為的半徑，是的切線（2） 設(shè) 則 （負(fù)根舍去）的半徑為：7.（2021山東省聊城市）如圖，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圓，AE是直徑，交BC

24、于點(diǎn)H，點(diǎn)D在上，連接AD，CD過點(diǎn)E作EFBC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC交AF于點(diǎn)G（1）求證：EF是O的切線；（2）若BC2，AHCG3，求EF和CD的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2），【解析】【分析】（1）因?yàn)锳E是直徑，所以只需證明EFAE即可；（2）因EFBG，可利用，將要求的EF的長(zhǎng)與已知量建立等量關(guān)系；因四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，可證得，由此建立CD與已知量之間的等量關(guān)系【詳解】（1）證明：ABAC，又AE是O的直徑，AB=AC，AEBCAHC=90EFBC，AEF=AHC=90EFAEEF是O的切線（2）如圖所示，連接OC，設(shè)O的半徑為r在RtCOH中，又OH=AH-OA

25、=3-r，解得，EFBC，四邊形ABCD內(nèi)接于，8.（2021湖北省隨州市）如圖，是以為直徑的上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)（1）求證：；（2）若的直徑為9，求線段的長(zhǎng)；求線段的長(zhǎng)（1）見解析；（2）；【分析】（1）連接，由是的切線，可得，可證，可得由，可得即可；（2）連接，由的直徑為9，可求可證，由，由（1）可知，可證，由性質(zhì)可得，解方程得【詳解】（1）證明：連接，是的切線，又，又在中，；（2）連接，的直徑為9，在中，又，且，在中，由（1）可知，DOE=FBE，ODE=BFE，即，解得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意9.（2021湖北省宜昌市）如圖，在菱形ABCD中，O是對(duì)角

26、線BD上一點(diǎn)（BODO），OEAB，垂足為E，以O(shè)E為半徑的O分別交DC于點(diǎn)H，交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，EF與DC交于點(diǎn)G（1）求證：BC是O的切線；（2）若G是OF的中點(diǎn)，OG2，DG1求的長(zhǎng)；求AD的長(zhǎng)【分析】（1）過點(diǎn)O作OMBC于點(diǎn)M，證明OMOE即可；（2）先求出HOE120，再求出OH4，代入弧長(zhǎng)公式即可；過A作ANBD，由DOGDAN，對(duì)應(yīng)邊成比例求出AD的長(zhǎng)【解答】解：（1）證明：如圖1，過點(diǎn)O作OMBC于點(diǎn)M，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，ABDCBD，OMBC，OEAB，OEOM，BC是O的切線（2）如圖2，G是OF的中點(diǎn)，OFOH，OGOH，ABCD，OEAB，OFCD，OG

27、H90，sinGHO，GHO30，GOH60，HOE120，OG2，OH4，由弧長(zhǎng)公式得到的長(zhǎng)：如圖3，過A作ANBD于點(diǎn)N，DG1，OG2，OEOH4，OD，OB2，DN，DOGDAN，AD10.（2021山東省菏澤市）如圖，在O中，AB是直徑，弦CDAB，垂足為H，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為弦DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AE交CD于點(diǎn)P，若FEFP（1）求證：FE是O的切線；（2）若O的半徑為8，sinF，求BG的長(zhǎng)【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AAEO，F(xiàn)PEFEP，由余角的性質(zhì)可求FEP+AEO90，可得結(jié)論；（2）由余角的性質(zhì)可求FEOG，由銳角三角函數(shù)

28、可設(shè)EG3x，OG5x，在RtOEG中，利用勾股定理可求x2，即可求解【解答】解：（1）如圖，連接OE，OAOE，AAEO，CDAB，AHP90，F(xiàn)EFP，F(xiàn)PEFEP，A+APHA+FPE90，F(xiàn)EP+AEO90FEO，OEEF，F(xiàn)E是O的切線；（2）FHGOEG90，G+EOG90G+F，F(xiàn)EOG，sinFsinEOG，設(shè)EG3x，OG5x，OE4x，OE8，x2，OG10，BG108211. （2021四川省成都市）如圖，AB為O的直徑，C為O上一點(diǎn)，連接AC，BC，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，且BCDA（1）求證：CD是O的切線；（2）若O的半徑為，ABC的面積為2，求CD的長(zhǎng)；（

29、3）在（2）的條件下，E為O上一點(diǎn)，連接CE交線段OA于點(diǎn)F，若，求BF的長(zhǎng)【分析】（1）連接OC,由AB為O的直徑，可得A+ABC90，再證明ABCBCO,結(jié)合已知BCDA，可得ACB90，從而證明CD是O的切線；（2）過C作CMAB于M,過B作BNCD于N,由ABC的面積為2,可得CM2，由BCMA得，可解得BM1，根據(jù)BCMBCN，可得CNCM2，再由DBNDCM,得即，解DN22，故CDDN+CN2;（3）過C作CMAB于M,過E作EHAB于H,連接OE,由CMAB，EHAB，可得,而，故HE1，MF2HF,RtOEH中，OH2，可得AHOAOH2，設(shè)HFx,則MF2x,則(1)+2x

30、+x+(2)2,可解得HF1,MF2,從而BFBM+MF(1)+2+1【解答】（1）證明：連接OC,如圖：AB為O的直徑，ACB90，A+ABC90，OBOC,ABCBCO,又BCDA，BCD+BCO90，即ACB90，OCCD,CD是O的切線；（2）過C作CMAB于M,過B作BNCD于N,如圖：O的半徑為，AB2，ABC的面積為2,ABCM2，即2CM2，CM2，RtBCM中，BCM90CBA,RtABC中，A90CBA,BCMA,tanBCMtanA,即,解得BM1，(BM+1已舍去），BCDA,BCMA,BCDBCM,而BMCBNC90，BCBC,BCMBCN(AAS),CNCM2，BN

31、BM1，DNBDMC90,DD,DBNDCM,即，解得DN22，CDDN+CN2;（3）過C作CMAB于M,過E作EHAB于H,連接OE,如圖：CMAB，EHAB，,，由（2）知CM2，BM1，HE1，MF2HF,RtOEH中，OH2，AHOAOH2，設(shè)HFx,則MF2x,由AB2可得：BM+MF+HF+AH2，(1)+2x+x+(2)2,解得：x1,HF1,MF2,BFBM+MF(1)+2+112.（2021四川省樂山市）如圖，已知點(diǎn)是以為直徑的圓上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，且（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（

32、1）連接、，根據(jù)已知條件證明，即可得解；（2）由（1）可得，得到，令，根據(jù)正切的定義列式求解即可；【詳解】解：（1）證明：連結(jié)、，即是的切線（2）由（1）知，又，即令，即，即，即，解得或（舍），的半徑為13. （2021四川省涼山州）如圖，在中，AE 平分交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，是的外接圓，交AC于點(diǎn)F（1）求證：BC是的切線；（2）若的半徑為5，求【答案】（1）見解析；（2）20【解析】【分析】（1）連接OE，由OA=OE，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由AE為角平分線得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得到AC與OE平行，再根據(jù)兩直線平行同位角相等及

33、C為直角，得到OE與BC垂直，可得出BC為圓O的切線；（2）過E作EG垂直于OD，利用AAS得出ACEAGE，得到AC=AG=8，從而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面積公式可得結(jié)果【詳解】解：（1）證明：連接OE，OA=OE，1=3，AE平分BAC，1=2，2=3，OEAC，OEB=C=90，則BC為圓O的切線；（2）過E作EGAB于點(diǎn)G，在ACE和AGE中，ACEAGE（AAS），AC=AG=8，圓O的半徑為5，AD=OA+OD=10，OG=3，EG=4，ADE的面積=2014.（2021瀘州市）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AE是O的直徑

34、，連接EC（1）求證：；（2）若，于點(diǎn)，求的值【答案】（1）證明見詳解；（2）18【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)是O的切線，AE是O的直徑，可得，利用，得到，根據(jù)圓周角定理可得，則可證得；（2）由（1）可知，易得，則有,則可得，并可求得，連接，易證，則有，可得【詳解】解：（1）連接是O的切線，AE是O的直徑，又根據(jù)圓周角定理可得：，；（2）由（1）可知， ,，又中，如圖示，連接，15. (2021四川省自貢市)如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的O上，過D作O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)F，連接AD，F(xiàn)D（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求EF的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）見解析；

35、（3）EF【解析】【分析】（1）連接OD，BD，由圓的切線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理可求得EDA=ABD，再利用等角的余角相等，可證明結(jié)論；（2）如圖，連接BD、BF，利用平行線的性質(zhì)以及圓周角定理證得C=ADF，根據(jù)（1）的結(jié)論可證明ADFACD，可證明結(jié)論；（3）設(shè)OA=OD=x，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理得到OC=4x，CD，AC =5x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可詳解】（1）證明：連接OD，BD，ED是O的切線，D為切點(diǎn)，ODED，ODA+EDA=90，AB為O的直徑，ADB=90，ODA+ODB=90，ODB=EDA，OB=OD，ODB=OBD，EDA=ABD，E=90，(等角余

36、角相等)；（2）如圖，連接BD、BF，AB為O的直徑，AFB=90，BFCF，C=ABF=ADF，由（2）得，ADFACD，,；（3）過D作DHAB于H，連接OD，BD，設(shè)OA=OD=x，在RtODC中，OC=4x，則CD=， AC=OA+OC=5x，由（2）得，即，C+DOC=90，ODH+DOH=90，ODH=C，在RtODH中，OH=，DH=，由（1）得，DH=DE=，EFD=ABD(圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角)，由（1）得EDA=ABD，EFD=EDA，EADEDF，即，EF，在RtDEF中，即，解得：，EF16. （2021天津市） 已知內(nèi)接于，點(diǎn)D是上一點(diǎn) （）如圖，若為的直徑，連

37、接，求和的大小；（）如圖，若/，連接，過點(diǎn)D作切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求的大小【答案】（），；（）【解析】【分析】（）由圓周角定理的推論可知，即可推出；由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，從而求出（）連接，由平行線的性質(zhì)可知由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出再由三角形內(nèi)角和定理可求出從而由圓周角定理求出由切線的性質(zhì)可知即可求出【詳解】（）為的直徑，在中，；，（）如圖，連接，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是的切線，即17. （2021湖北省恩施州）如圖，在RtAOB中，AOB90，O與AB相交于點(diǎn)C，與AO相交于點(diǎn)E，連接CE，已知AOC2ACE（1）求證：AB為O的切線；（2）若AO20，BO15

38、，求CE的長(zhǎng)【分析】（1）證OCAB即可證AB為O的切線；（2）作EHAC于H，利用三角形相似和勾股定理分別求出EH和CH的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出CE即可【解答】（1）證明：OCOE，OCEOEC，AOC2ACE，OCAOCE+ACE（OCE+OEC+AOC）90，OCAB，AB為O的切線；（2）解：作EHAC于H，AO20，BO15，AB25，即，OC12，AEOAOE20128，EHAC，OCAC，EHOC，AEHAOC，即，EH，BC9，ACABBC25916，AH，CHACAH16，CE18.（2021浙江省溫州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M經(jīng)過原點(diǎn)O（2，0），B（0，8），連結(jié)

39、AB直線CM分別交M于點(diǎn)D，E（點(diǎn)D在左側(cè)），交x軸于點(diǎn)C（17，0）（1）求M的半徑和直線CM的函數(shù)表達(dá)式；（2）求點(diǎn)D，E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在線段AC上，連結(jié)PE當(dāng)AEP與OBD的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求所有滿足條件的OP的長(zhǎng)【分析】（1）點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M（1,4），則圓的半徑AM，再用待定系數(shù)法即可求解；（2）由AM得：（x1）2+（x+4）2（）2，即可求解；（3）當(dāng)AEPDBO45時(shí)，則AEP為等腰直角三角形，即可求解；AEPBDO時(shí)，則EAPDBO，進(jìn)而求解；AEPBOD時(shí)，同理可解【解答】解：（1）點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M（1，則圓的半徑為AM，設(shè)直線CM的表達(dá)式為ykx+b，

40、則，解得，故直線CM的表達(dá)式為yx+；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x+），由AM得：（x3）2+（x+2（）8，解得x5或3，故點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為（5、（5；（3）過點(diǎn)D作DHOB于點(diǎn)H，則DH3，故DBO45，由點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；由點(diǎn)A、E、B、D的坐標(biāo)得8，同理可得：BD3，OB8，當(dāng)AEPDBO45時(shí)，則AEP為等腰直角三角形，EPAC，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,5），故OP5；AEPBDO時(shí)，EAPDBO，EAPDBO，即，解得AP8，故PO10；AEPBOD時(shí)，EAPDBO，EAPOBD，即，解得AP，則PO5+，綜上，OP為5或10或19.（2021江蘇省鹽城市）如圖，O為線段PB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的O交PB于點(diǎn)A，點(diǎn)C在O上，連接PC，滿足PC2PAPB（1）求證：PC是O的切線；（2）若AB3PA，求的值【分析】（1）由PC2PAPB得，可證得PACPCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得PCAB，根據(jù)圓周角定理得ACB90，則CAB+B90，由OAOB得CABOCA，等量代換可得PCA+OCA90，即OCPC，即可得出結(jié)論；（2）由AB3PA可得PB4PA，OAOC1.5PA，根據(jù)勾股定理求出PC2PA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出的值【解答】（1）證明：連接OC，PC2PAPB，PP，PACPCB，PCAB，ACB90，CAB+B90，OAOB，C