模型20 母子形相似模型

1、專題20 母子形相似模型一、單選題 1古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)“黃金三角形”很美頂角為的等腰三角形，稱為“黃金三角形”如圖所示，中，其中，又稱為黃金比率，是著名的數(shù)學(xué)常數(shù)作的平分線，交于，得到黃金三角形；作交于，交于，得到黃金三角形；作交于，交于，得到黃金三角形；依此類推，我們可以得到無窮無盡的黃金三角形若的長為1，那么的長為（ ）ABCD【答案】B【分析】黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，它的頂角為36，每個(gè)底角為72它的腰與它的底成黃金比當(dāng)?shù)捉潜黄椒謺r(shí)，角平分線分對邊也成黃金比，并形成兩個(gè)較小的等腰三角形這兩三角形之一相似于原三角形，從而利用相似三角形的性質(zhì)得出規(guī)律，即可得到答案【詳解】解：， 平分，

2、，設(shè)，則 則， ，又，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，同理： ，同理：，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與方程思想，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，同時(shí)考查了二次根式的乘方運(yùn)算；解題時(shí)要注意方程思想的應(yīng)用2如圖，ABC中，D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD、BE的交點(diǎn)，CE=2AE，BF=EF，ENBC交AD于N，若BD=2，則CD長度為( ) A6B7C8D9【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到相等的角，再結(jié)合BF=EF先證明NEFDBF，即可得到NE=BD=2，再證明ANEADC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解【詳解】解：NEBC， NEF=DBF，ENF=BDF， 又BF=EF， NEF

3、DBF， NE=BD=2 NEBC， ANEADC， ， CE=2AE， ， CD=6故答案選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，主要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用二、解答題3如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M（1）求證：MFCMCA；（2）求證ACFABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)對頂角的性質(zhì)得，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證

4、明其夾角相等，便可證明；（3）由已知條件求得正方形的邊長，進(jìn)而由勾股定理求得的長度，再由，求得，進(jìn)而求得正方形的對角線長，便可求得其邊長【詳解】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，；（2）四邊形是正方形，同理可得，；（3），即，即正方形的邊長為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，關(guān)鍵是掌握相似模型及證明方法和正方形性質(zhì)4在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處（1）如圖1，若BC=2BA，求CBE的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)AB=5，且AFFD=10時(shí)，求BC的長；（3）如圖3，延長EF，與ABF的角平分線交于點(diǎn)M，

5、BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AD時(shí)，求的值【答案】（1）15；（2）3；（3）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出BC=BF，F(xiàn)BE=EBC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AFB=30，可求出答案；（2）證明FABEDF，由相似三角形的性質(zhì)得出，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=，則可求出AF，即可求出BC的長；（3）過點(diǎn)N作NGBF于點(diǎn)G，證明NFGBFA，設(shè)AN=x，設(shè)FG=y，則AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=x，則可求出答案【詳解】解：（1）四邊形ABCD是矩形，C=90，將BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，BC=BF，F(xiàn)BE=

6、EBC，C=BFE=90，BC=2AB，BF=2AB，AFB=30，四邊形ABCD是矩形，AD/BC，AFB=CBF=30，CBE=FBC=15；（2）將BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，BFE=C=90，CE=EF，又矩形ABCD中，A=D=90，AFB+DFE=90，DEF+DFE=90，AFB=DEF，F(xiàn)ABEDF，AFDF=ABDE，AFDF=10，AB=5，DE=2，CE=DC-DE=5-2=3，EF=3，DF=，AF=，BC=AD=AF+DF=（3）過點(diǎn)N作NGBF于點(diǎn)G，NF=ADNF=BF，NFG=AFB，NGF=BAF=90，NFGBFA，設(shè)AN=x，BN平分A

7、BF，ANAB，NGBF，AN=NG=x，AB=BG=2x，設(shè)FG=y，則AF=2y，AB2+AF2=BF2，(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=x，BF=BG+GF=【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵5已知正方形的邊長為4，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，和交于點(diǎn)（1）如圖，求證：（2）連接并延長交于點(diǎn)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)（如圖），求的長若點(diǎn)在邊上滑動(dòng)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長【答案】（1）證明見解析；證明見解析；（2）；【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=

8、BC=4，ABC=BCD=90，由SAS證明ABEBCF，即可得出結(jié)論；由得：ABEBCF，得出BAE=CBF，證出AGB=90，即可得出結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)得出CF=BE=BC=2，由勾股定理得出BF=2，由（1）得：AEBF，則BGE=ABE=90，證明BEGAEB，得出，設(shè)GE=x，則BG=2x，在RtBEG中，由勾股定理得出方程，解方程得出BG=2，由平行線得出，即可得出BH的長；由（1）得：AGB=90，得出點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)C、G、M在同一直線上時(shí)，CG為最小值，求出GM=AB=BM=2，由平行線得出=1，證出CF=CG=BE，設(shè)CF=CG=B

9、E=a，則CM=a+2，在RtBCM中，由勾股定理得出方程，解方程即可【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AB=BC=4，ABC=BCD=90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），AE=BF；由得：ABEBCF，BAE=CBF，CBF+ABF=90，BAE+ABF=90，AGB=90，AEBF；（2）解：如圖2所示：E為BC的中點(diǎn)，CF=BE=BC=2，BF=，由（1）得：AEBF，BGE=ABE=90，BEG=AEB，BEGAEB，設(shè)GE=x，則BG=2x，在RtBEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22，解得：x=，BG=2=，ABCD，即，解得：BH=；由（1）得：A

10、GB=90，點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由圖形可知：當(dāng)C、G、M在同一直線上時(shí)，CG為最小值，如圖3所示：AEBF，AGB=90，GM=AB=BM=2，ABCD，=1，CF=CG，CF=BE，CF=CG=BE，設(shè)CF=CG=BE=a，則CM=a+2，在RtBCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，解得：a=2-2，即當(dāng)CG取得最小值時(shí)，BE的長為2-2【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等和三角形相似是解題關(guān)鍵6如圖，已知雙曲線經(jīng)過斜邊

11、的中點(diǎn)，與直角邊相交于點(diǎn)，若的面積為3，求的值【答案】【分析】過點(diǎn)做軸,可得，再根據(jù)可得，最后根據(jù)即可求得k的值【詳解】解：過點(diǎn)做軸，垂足為，中，為斜邊的中點(diǎn)，為的中位線且雙曲線的解析式是，解得【點(diǎn)睛】主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定.過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義7已知，如圖，ABC中，AB2，BC4，D為BC邊上一點(diǎn)，BD1，AD+AC=8（1）找出圖中的一對相似三角形并證明；（2）求AC長【答案】（1）BADBCA，理由見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得

12、，然后由B是公共角，問題可證；（2）由（1）可得，再由AD+AC=8可求解【詳解】解：（1）BADBCA，理由如下： AB2，BC4，BD1，又B=B，BADBCA；（2）由（1）得：，即， AD+AC=8，解得：，【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵8如圖，在ABC中，ACB =90，AB=10， AC=8，CD是邊AB的中線動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長度的速度沿折線CD-DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)P作PQAC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作矩形PQMN，使點(diǎn)C、N始終在PQ的異側(cè)，且設(shè)矩形PQMN與ACD重疊部分圖形的面積是S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t0）

13、 （1）當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，用含的代數(shù)式表示PQ的長（2）當(dāng)點(diǎn)N落在邊AD上時(shí)，求t的值（3）當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（4）連結(jié)DQ，當(dāng)直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分時(shí)，直接寫出的值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或【分析】（1）證明ABCCPQ，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N落在邊AD上時(shí)，根據(jù)AM+MQ+CQ=8，構(gòu)建方程即可解決問題（3）分三種情形：如圖1中，當(dāng)0t時(shí)，重疊部分是矩形PQMN如圖3-1，當(dāng)t1時(shí)，重疊部分是五邊形PQMKJ，根據(jù)S=S矩形PQMN-SNKJ，求解即可如圖3-2中，當(dāng)1t2時(shí)，重疊部分是五邊

14、形KQMJD，根據(jù)S=SADC-SCQK-SAMJ，求解即可（4）分四種情形：如圖4-1中，設(shè)DQ交MN于J，當(dāng)MJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分如圖4-2中，設(shè)DQ交PN于J，當(dāng)PJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分如圖4-3中，設(shè)DQ交PN于J，當(dāng)PJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分如圖4-4中，設(shè)DQ交MN于J，當(dāng)MJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分【詳解】解：（1）如圖1中，在ABC中，ACB=90，AB=10，AC=8，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2BC=6CD是邊A

15、B的中線，CD=AD=5ACD=CADCQP=ACB，ABCCPQ， PQ=3t（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N落在邊AD上時(shí)，AM+MQ+CQ=84t+2t+4t=8解得t=（3）如圖1中，當(dāng)0t時(shí)，重疊部分是矩形PQMN，S=6t2如圖3-1，當(dāng)t1時(shí)，重疊部分是五邊形PQMKJ，S=S矩形PQMN-SNKJ=6t2-（10t-8）（10t-8）=-t2+60t-24如圖3-2中，當(dāng)1t2時(shí)，重疊部分是五邊形KQMJD，S=SADC-SCQK-SAMJ=12-（6-3t）（8-4t）-2t2t=-t2+24t-12，綜上所述，（4）如圖4-1中，設(shè)DQ交MN于J，當(dāng)MJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQM

16、N分成面積比為1：2的兩部分作DKAC于KPQ=MN=3t，MJ=2JM，MJ=MQ=2t，DQK=45，DKBC，AD=DB，AK=KC，DK=KQ=BC=3，CQ=1，4t=1，t=如圖4-2中，設(shè)DQ交PN于J，當(dāng)PJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分PJCQ，t=如圖4-3中，設(shè)DQ交PN于J，當(dāng)PJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分PJAQ， ，t=如圖4-4中，設(shè)DQ交MN于J，當(dāng)MJ=2JN時(shí)，直線DQ將矩形PQMN分成面積比為1：2的兩部分同法可證MQ=MJ=2t，AQD=45，由可知CQ=1，8-4t=1，t=，綜上所述，滿

17、足條件的t的值為，【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行線分線段成比例定理，多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題9如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根標(biāo)桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過標(biāo)桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.5m，標(biāo)桿頂端離地面2.4m，小明到標(biāo)桿的距離DF=2m，標(biāo)桿到塔底的距離DB=30m，求這座古塔的高度【答案】14.3m【分析】先根據(jù)小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EHAB可知，BH=DG=EF=1.5m，再小明眼睛離地面1.5m，竹桿頂端離地面2.4m求出CG的長，由于CDAB可得出

18、EGCEHA，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AH的長，進(jìn)而得出AB的長【詳解】解：小明、竹桿、古塔均與地面垂直，EHAB，BH=DG=EF=1.5m，EG=DF，GH=DB，小明眼睛離地面15m，竹桿頂端離地面24m，CG=CD-EF=23-15=08m，CDAB，EGCEHADF=2m DB=30m，即= ，解得：AH=128m，AB=AH+BH=128+15=143m，答：古塔的高度是143m【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，先根據(jù)題意得出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵10如圖，為的兩條切線，為切點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接，（1）求證：

19、；（2）若，求的值【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）如圖，作輔助線，證明APO=BPO得，再由為的直徑可得ABAD，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，由勾股定理得，再證明可求出，從而通過解直角三角形可得結(jié)論【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，為的兩條切線，為的直徑，（2），設(shè)，則，不妨設(shè)，則在中，為的切線，解得【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理與判定定理是解答此題的關(guān)鍵11如圖，是的直徑，是的弦，是的切線，切點(diǎn)為，的延長線相交于點(diǎn)(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，求的長【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OD，由題意易證C

20、DOCBO，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證；（2）由題意易得EDAEBD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及可求解【詳解】（1）證明：連接OD，如圖所示：ADOC，DAO=COB，ADO=COD，又OA=OD，DAO=ADO，COD=COB，OD=OB，OC=OC，CDOCBO，CDO=CBO，BC是的切線，CBO=CDO=90，點(diǎn)D在上，CD是的切線；（2）由（1）圖可得：ADO+EDA=90，ODB=DBO，是的直徑，ADB=90，即ADO+ODB=90，EDA=ODB=DBO，又E=E，EDAEBD，的半徑為4，AB=8，EB=AE+8，解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線定理與判定定理和相似三角

21、形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線定理及判定定理是解題的關(guān)鍵12如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2【分析】（1）先根據(jù)相似三角形的判定可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差即可得；（3）設(shè)，從而可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可求出a的值，最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得【詳解】（1），在和中，；（2），是等腰直角三角形，由（1）可

22、知，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，在和中，又，；（3）設(shè)，是等腰直角三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，在中，由（1）知，即，解得，在中，在和中，即，解得，又，解得，則的面積為【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵13如圖，在中，于，于，試說明：（1）（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接根據(jù)相似三角形的判定證明即可；（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明ADEACB，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明【詳解】解：（1）CDAB于D，BEAC于E，AEB=ADC=90，在ABE和ACD中ABEACD；（2

23、）ABEACD，在ADE和ACB中，ADEACBADBC=DEAC【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵14如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，C不重合），連接DE，作EFDE交射線BA于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作MNBC分別交CD，AB于點(diǎn)M、N，作射線DF交射線CA于點(diǎn)G（1）求證：EFDE；（2）當(dāng)AF2時(shí)，求GE的長【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及EFDE，證明DMEENF即可；（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算出DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，計(jì)算出DG，F(xiàn)G的值，利用特殊角的銳角三角函數(shù)計(jì)算出DE的

24、值，最后證明DGEAGF，利用相似比列出方程即可求出GE的值【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，且MNBC，四邊形ANMD是矩形，BAC=45，ANM=DMN=90，EN=AN=DM，DEM+EDM=90，EFDE，DEM+FEN=90，EDM=FEN，在DME與ENF中DME=ENF=90，DM=EN，EDM=FEN，DMEENF（ASA），EFDE；（2）四邊形ABCD是正方形，ABDC，DAB=90，DF=，即，解得：DG=，F(xiàn)G=DF-DG=，又DE=EF，EFDE，DEF是等腰直角三角形，EDF=45，DE=EF=，GAF=GDE=45，又DGE=AGF，DGEAGF，即，解

25、得：，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)及判定，第（1）問的解題關(guān)鍵是證明DMEENF，第（2）問的解題關(guān)鍵是通過相似三角形的性質(zhì)列出方程15如圖，在ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=，CD4，BD2，求證：ACDBCA【答案】證明見解析【分析】根據(jù)AC=，CD4，BD2，可得，根據(jù)C =C，即可證明結(jié)論【詳解】解：AC=，CD4，BD2，C =CACDBCA【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵16如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，且垂足為點(diǎn)_ 若四邊形的面積為，求的面積【答案】（1）（2）2【分析】（1）由題意根據(jù)已知條件得到DAE=60，BAE=

26、30，由直角三角形的性質(zhì)可得BD=2AB，AB=2BF，以此即可求解；（2）根據(jù)題意通過證明BEFBDC，可得，進(jìn)行分析即可求解【詳解】解：（1）四邊形ABCD為矩形，DAE=2BAE，DAE=60，BAE=30，又AEBD，BAD=90，BD=2AB，AB=2BF，BD=4BF，DF=3BF，BF：DF=1：3，故答案為：1：3；（2）BAE=30AEB=60，AEBD，DBC=30，BFE=BCD=90，F(xiàn)BE=CBD，BFE=DCB，BEFBDC，四邊形的面積為，12SBEF=SBCD=SBEF+S四邊形EFDC，SBEF=2【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)與矩形的性質(zhì)以及直角三角

27、形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定定理證明BEFBDC是解答本題的關(guān)鍵17如圖，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（1）求直線的解析式及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交于點(diǎn)D，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)A是線段的中點(diǎn)，求拋物線的解析式【答案】（1）直線的解析式為，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為； ；（3）【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點(diǎn)式即

28、可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)D作軸于E，則求得AB=5，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，ED=x，證明，由相似三角形的性質(zhì)求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，將L的解析式和直線AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程，設(shè)，則是方程的兩根，得到，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，可求得m的值，即可求得L的函數(shù)解析式【詳解】（1）在中，令，則，解得，令，則，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）如圖，過點(diǎn)D作軸于E，則，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，而，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，的最大值為， （3）設(shè)平移后拋物線的解析式，聯(lián)立，整理，得：，設(shè)

29、，則是方程的兩根， 而A為的中點(diǎn)，解得：拋物線的解析式【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)18已知：如圖，在中，D是AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，且ABD =ACB（1）求證：ABDACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的長.【答案】(1)見詳解；（2）【詳解】（1）證明：A=A,ABD =ACB, ABDACB. （2）解: ABDACB，19如圖，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，

30、以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0t2.5）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是【分析】根據(jù)勾股定理求得AB=5cm（1）分AMPABC和APMABC兩種情況討論：利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值（2）如圖，過點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H，構(gòu)造平行線PHAC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據(jù)“S=SABCSBPH”列出S與t的關(guān)系式，則

31、由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值【詳解】解：如圖，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm根據(jù)勾股定理，得（1）以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，分兩種情況：當(dāng)AMPABC時(shí)，即，解得；當(dāng)APMABC時(shí)，即，解得t=0（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng)時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似（2）存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值理由如下：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值如圖，過點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H則PHAC，即，S有最小值當(dāng)時(shí)，S最小值=答：當(dāng)時(shí)，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是20如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上

32、，OAOB，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），OA：OC3：1，拋物線yax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，頂點(diǎn)為D（1）求a、b、c的值；（2）若直線yx+n與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F當(dāng)n1時(shí)，求BAFBAD的值；若直線EF上有點(diǎn)H，使AHC90，求n的取值范圍【答案】（1）a=-1，b=2，c=3；（2）BAFBAD45；n的取值范圍n【分析】（1）根據(jù)已知條件得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，代入拋物線yax2+bx+c中即可求解；（2）根據(jù)已知條件求得點(diǎn)F、點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB、BD、AD的長，由勾股定理可知為直角三角形，然后證明OAFBAD，即OAFBAD，根據(jù)等角轉(zhuǎn)換即可求解；根據(jù)已知條件直線EF

33、上有點(diǎn)H，使AHC90，則以AC為直徑的圓G與直線EF有公共點(diǎn)，當(dāng)直線EF在x下方與G相切時(shí)，EGKEFO，即，設(shè)E（3n，0），F(xiàn)（0，n），n0，根據(jù)相似比可求出n的值，當(dāng)直線EF在x下方與G相切時(shí)，EGKEFO，同理可得n的值，綜上即可得到n的取值范圍【詳解】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），OA：OC3：1，A（3，0），OAOB，B（0，3），把A、B、C三點(diǎn)都代入二次函數(shù)的解析式得， ，解得， ；（2）n1，yx+nx1，F(xiàn)（0，1）OF1，由（1）知，拋物線的解析式為yx2+2x+3（x1）2+4，D（1，4），A（3，0），B（0，3），OA3，AB，BD，AD，BD2+AB2AD

34、2，ABDAOF90， ，OAFBAD，OAFBAD，OAOB3，AOB90，OAB45，BAFBADOAB+OAFBAD45；直線EF上有點(diǎn)H，使AHC90，則以AC為直徑的圓G與直線EF有公共點(diǎn)，如圖，當(dāng)直線EF在x下方與G相切時(shí)，則EGKEFO，A（3，0），C（1，0），GKAC2，G（1，0），直線yx+n與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)FE（3n，0），F(xiàn)（0，n），n0，OFn，EFn， ，解得，n或0（舍）；經(jīng)檢驗(yàn)，n是該方程的根，如圖，當(dāng)直線EF在x下方與G相切時(shí)，則EGKEFO，A（3，0），C（1，0），GKAC2，G（1，0），直線yx+n與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)FE（

35、-3n，0），F(xiàn)（0，n），n0，OFn，EFn， ，解得，n或0（舍）；經(jīng)檢驗(yàn)，n是該方程的根，若直線EF上有點(diǎn)H，使AHC90，則n的取值范圍n【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形的綜合應(yīng)用，涉及求二次函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)與判定、圖形運(yùn)動(dòng)問題等，根據(jù)題意找到相似三角形并靈活運(yùn)用相似比是解題關(guān)鍵21如圖，點(diǎn)A在線段EB上，且EAAB，以AB直徑作O，過點(diǎn)E作射線EM交O于D、C兩點(diǎn)，且過點(diǎn)B作BFEM，垂足為點(diǎn)F（1）求證：CDCB2CFEA；（2）求tanCBF的值【答案】（1）見解析；（2）tanCBF【分析】（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到ADB90，再根據(jù)題意

36、即可證明ABDCBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出ADCBCFAB，最后根據(jù)等量代換即可得證；（2）連接OD，過O作OHCD于點(diǎn)H，設(shè)O的半徑為r，CDx，則CHDHx，根據(jù)易證EODEBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)題意及等量代換即可求得ED2CD2x，根據(jù)勾股定理可表示出OH，根據(jù)BFEM得出平行，即可HF、CF，再根據(jù)勾股定理求得BF，最后根據(jù)anCBF代入即可得出答案【詳解】（1）連接BD，如圖1，AB是O的直徑，ADB90，BFEM，BFC90，ADBCFB90，BCFBAD，ABDCBF，ADCBCFAB，ADCD，AEAB，CDCBCF2AE，即CDCB2CFEA；（2）連

37、接OD，過O作OHCD于點(diǎn)H，設(shè)O的半徑為r，CDx，如圖2，則CHDHx，AODABC，ODBC，EODEBC，EAABOAOBr，BC，EDEC，ED2CD2x，OH，BFEM，OHBF，HFEH，CFHFCH，BF，EF2+BF2EB2，r22x2，BF，tanCBF【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、求角的正切，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵三、填空題22如圖，正方形ABCD中，BC=2，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連接DM，DM與AC交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為DM中點(diǎn)，點(diǎn)E為DC上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)DFE=45時(shí)，則DE= _ 【答案】【分析】如圖，連接首先求出、的長，證明，可得，即求出【詳解】解：四邊形是正方形，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，在中，點(diǎn)F為DM中點(diǎn)，即有故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題23如圖，在邊長為4正方形中，以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，點(diǎn)在上，且連接并延長，與交于點(diǎn)，與延長線交于點(diǎn)連接交于點(diǎn)若，則_【答案】【分析】作于，交于，根據(jù)勾股定理可得