清華大學(xué)微積分的講座劉坤林視頻講義全

1、WORD67/671. ys2002090701.htm1.1 函數(shù)與基本不等式函數(shù)關(guān)系，定義域與值域，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四類(lèi)初等性質(zhì)（廣義奇偶性）1.2 極限定義與性質(zhì)序列與函數(shù)極限定義與等價(jià)描述極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性與推論，比較性質(zhì)1.3 三個(gè)極限存在準(zhǔn)則1.4 兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)極限1.5 無(wú)窮小量比階等價(jià)無(wú)窮小量，同階無(wú)窮小量與高階無(wú)窮小量。1.6 極限相關(guān)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，變限積分，級(jí)數(shù)，微分方程，廣義積分等。1.7 連續(xù)函數(shù)基本概念，定義，連續(xù)性與極限的關(guān)系，連續(xù)性等價(jià)描述，連續(xù)性的判別閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)定理，最大最小值定理。2. ys2002090702.htm1.1 函數(shù)

2、與基本不等式函數(shù)關(guān)系，定義域與值域，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四類(lèi)初等性質(zhì)（廣義奇偶性）1.2 極限定義與性質(zhì)序列與函數(shù)極限定義與等價(jià)描述極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性與推論，比較性質(zhì)1.3 三個(gè)極限存在準(zhǔn)則1.4 兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)極限1.5 無(wú)窮小量比階等價(jià)無(wú)窮小量，同階無(wú)窮小量與高階無(wú)窮小量。1.6 極限相關(guān)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，變限積分，級(jí)數(shù)，微分方程，廣義積分等。1.7 連續(xù)函數(shù)基本概念，定義，連續(xù)性與極限的關(guān)系，連續(xù)性等價(jià)描述，連續(xù)性的判別閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)定理，最大最小值定理。3. ys2002090703.htm例15. 設(shè)與在有定義，在有間斷點(diǎn)，在上連續(xù)，且，則（A）在上必有間斷點(diǎn);（B）

3、在上必有間斷點(diǎn);（C）在上必有間斷點(diǎn);（D）在上必有間斷點(diǎn).例16.設(shè)，且至少存在一點(diǎn)，使，證明在上有正的最大值。例17.設(shè)，證明（1）存在； （2）收斂。例18.若，則（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 則 B(A) 。(B) 之去心鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(C) 之鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(D) 。例20.設(shè)定義在, 且都在處連續(xù),若 , 則 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.設(shè)當(dāng)是比高階的無(wú)窮小量, 則 A(A) , (B) (C) , (D) 4. ys2002090704.htm例15. 設(shè)與在有定義，在有間斷點(diǎn)，在上連續(xù)，且，則（A）在

4、上必有間斷點(diǎn);（B）在上必有間斷點(diǎn);（C）在上必有間斷點(diǎn);（D）在上必有間斷點(diǎn).例16.設(shè)，且至少存在一點(diǎn)，使，證明在上有正的最大值。例17.設(shè)，證明（1）存在； （2）收斂。例18.若，則（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 則 B(A) 。(B) 之去心鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(C) 之鄰域, 使當(dāng)時(shí), 。(D) 。例20.設(shè)定義在, 且都在處連續(xù),若 , 則 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.設(shè)當(dāng)是比高階的無(wú)窮小量, 則 A(A) , (B) (C) , (D) 5. ys2002090801.htm第2講 導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì) 要點(diǎn)與習(xí)題清華大

5、學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 坤林 主講2.1 導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義作為第3標(biāo)準(zhǔn)極限 應(yīng)用技巧2.2 導(dǎo)數(shù)性質(zhì)函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，可微性概念，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系2.3 微分與導(dǎo)數(shù)計(jì)算，高階導(dǎo)數(shù)2.4 導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性與函數(shù)增減性，局部極值，凹凸性與拐點(diǎn)6. ys2002090802.htm例1. 設(shè)，則在點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件為 B(A) 存在，(B) 存在(C) 存在，(D) 存在例2. 若存在，則k ， -k ，-2k ， -k .例3. 設(shè)可導(dǎo),且滿(mǎn)足條件,則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為 D(A) 2, (B) -1, (C) , (D) 2例4. 設(shè)在區(qū)間有定義, 若當(dāng)時(shí),有,則必是的 C(A) 間斷點(diǎn)； (B) 連續(xù)而不可

6、導(dǎo)的點(diǎn)(C) 可導(dǎo)的點(diǎn), 且；(D) 可導(dǎo)的點(diǎn), 且例5. 設(shè)曲線(xiàn) 在點(diǎn)處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為，則 例6. 若二次曲線(xiàn)將兩條曲線(xiàn),連接成處處有切線(xiàn)的曲線(xiàn)，則該二次曲線(xiàn)為 例7.設(shè)在點(diǎn)某領(lǐng)域可導(dǎo), 且當(dāng),已知, , 則例8. 設(shè)可導(dǎo), ,若使處可導(dǎo), 則必有 A(A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。例9. 設(shè), 其中是有界函數(shù),則在處有 D(A) 極限不存在; (B) 極限存在, 但不連續(xù)(C) 連續(xù), 但不可導(dǎo); (D) 可導(dǎo)例10. 設(shè) 在點(diǎn)處可導(dǎo), 則 D(A); (B);(C); (D).例11.設(shè)在某鄰域可導(dǎo),且，求極限 ；例12.設(shè)是的連續(xù)奇函數(shù)，且，則在處的導(dǎo)數(shù)為 A(A);

7、(B); (C); (D)不存在.例13.設(shè)在某 存在，已知，求.7. ys2002090803.htm例14.函數(shù)的上凸區(qū)間為 (0,1)例15. 設(shè)函數(shù) 由 確定，則 ，例16.設(shè)，求.Key: +例17.求函數(shù) 的漸近線(xiàn)。Key:垂直；斜漸進(jìn)線(xiàn)例18.設(shè)在的某領(lǐng)域連續(xù), 是的同階無(wú)窮小量（），且為其極大值,則存在,當(dāng) 時(shí), 必有 C(A) . (B) .(C) .(D) .例19. 設(shè)當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與在相切。又當(dāng)取值圍為 時(shí)，上述二曲線(xiàn)在恰有二個(gè)交點(diǎn)。例20. 設(shè) 滿(mǎn)足, 討論是否為的極值點(diǎn).。例21.已知函數(shù)滿(mǎn)足等式，且，則在處的二次Taylor多項(xiàng)式為.例22.設(shè)在某領(lǐng)域連續(xù), 且, ,

8、 則 A(A) 是的極大值.(B) 是的極小值,(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn).也不是的拐點(diǎn).例23.設(shè)對(duì)一切滿(mǎn)足 ，若,其中，則 B(A) 是的極大值. (B) 是的極小值.(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn), 也不是的拐點(diǎn).例24. 設(shè)對(duì)一切滿(mǎn)足 ，且,其中，則 C(A) 是的極大值.(B) 是的極小值.(C) 是的拐點(diǎn).(D) 不是的極值點(diǎn), 也不是的拐點(diǎn).例25若的奇函數(shù), 在, 且,則在有 B .(A)； (B);(C) ； (D).8. ys2002090905.htm第3講 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 要點(diǎn)與習(xí)題 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 坤林 主講 3.1 導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理與應(yīng)用技巧

9、3.2 Fermat定理, Rolle定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理。3.3 Taylor公式與應(yīng)用3.4開(kāi)區(qū)間與閉區(qū)間上的最大最小值問(wèn)題 不等式證明技巧9. ys2002090906.htm1. 設(shè)方程 ，2. 討論取何值時(shí),使得（1）方程有一個(gè)實(shí)根；（2）方程有二個(gè)不同實(shí)根；（3）方程有三個(gè)不同實(shí)根。2.設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且又， 證明存在使 .3.設(shè)在某 ，且, 則在 (A)連續(xù)；(B)為增函數(shù); (C)為正定函數(shù)；(D)能取到正值；4.設(shè)，證明不等式 5.設(shè)滿(mǎn)足 ，且，證明當(dāng)時(shí)存在常數(shù)，使得 ，并指明的取值圍。6.設(shè)在二階可導(dǎo)，對(duì)一切有，證明在曲線(xiàn) 上一點(diǎn)處的切

10、線(xiàn)與該曲線(xiàn)除切點(diǎn)外無(wú)交點(diǎn)。7.設(shè)二階可導(dǎo)，,試問(wèn)與在有幾個(gè)無(wú)交點(diǎn)？ 證明你的結(jié)論。10. ys2002090907.htm8設(shè)在（-1,1）有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，,試證:（1）對(duì)(-1,1)的任一存在唯一的，使. （2） .9(1)設(shè) ,證明不等式 .(2)設(shè) ,證明不等式.(求最大最小值)10 設(shè)可導(dǎo)函數(shù) , 滿(mǎn)足條件：.證明函數(shù)在中有不動(dòng)點(diǎn),即存在, 使得;證明對(duì)任意給定的初值，由迭代公式：，所確定的點(diǎn)列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)。11. 設(shè)，則 A(A) . (B) . (C) . (D) 12(1) 設(shè)，證明不等式 。(2)設(shè)，證明不等式。11. ys2002091001.htm13設(shè)在上二階可導(dǎo)，且證

11、明存在，使得 .14. 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且其中為非負(fù)常數(shù),，證明 .15. 設(shè)在上連續(xù)，且 若，證明 . 16. 設(shè)是周期為1 的周期函數(shù)，在可導(dǎo)，且 令，證明存在，使得。 17. 設(shè)證明 （1） （2） 18. 證明：當(dāng) 時(shí)成立不等式 19. 證明：當(dāng) 時(shí)成立不等式 20. 設(shè)函數(shù)由確定,求在處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程. Key: 切線(xiàn), 法線(xiàn) 21. 設(shè) ，則.22. 設(shè)在任意點(diǎn)滿(mǎn)足，若， 則.23設(shè)函數(shù) 由 確定，則，24. 已知函數(shù)在上二階可導(dǎo)。 若線(xiàn)段與曲線(xiàn)交于點(diǎn)， 證明：存在，使得。 12. ys2002091002.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：第4講 原

12、函數(shù)與不定積分 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 坤林 主講4.1 原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)與可積性的特別說(shuō)明4.2 不定積分計(jì)算技巧湊微分法，變數(shù)替換法，分部積分法，回歸法與遞推法，有理分式與三角有理分式的積分1. 求下列不定積分(1); (2)；(3)； (4)； (5)；(6)； 13. ys2002091003.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(7)； (8);2. 求下列不定積分(1）； (2) ；(3); (4）；(5）；(6）；(7)； (8）； 或 (9) ; (10) ; (11) ; (12), 或3.（1）設(shè)，計(jì)算（2）設(shè)一個(gè)的原函數(shù)為，求4. 設(shè)在上可導(dǎo)，其反函數(shù)為

13、，若，求。Key: 5. 設(shè), 求的表達(dá)式，并說(shuō)明是否的原函數(shù)。Key: ,不是的原函數(shù)。事實(shí)上沒(méi)有原函數(shù)。6. 設(shè)，則的一個(gè)原函數(shù)為 B （A） （B）（C） （D）7. 設(shè)在上可積，則下列命題中不正確的是 D （A）函數(shù)在上連續(xù)；（B）的任意兩個(gè)原函數(shù)之差必為常數(shù)；（C）的任意兩個(gè)原函數(shù)之和必為的原函數(shù)；（D）若為的一個(gè)原函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，則必為的原函數(shù)。8. 已知,則9. 設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，常數(shù)，則= A （A）。（B）。（C）。（D） 10. 設(shè)為已知單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，為的反函數(shù)， 則 C （A）。 （B）。 （C）。 （D）。 11設(shè)在上連續(xù)，記,試證（1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；（2

14、）若單調(diào)不增，則單調(diào)不減。14. ys2002091009.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：1. B （A）;（B） ;（C） ;（D） 設(shè)， 則 B （A）;（B）;（C）1; （D）1 3. 設(shè)，且，則 A （A）2;（B）3;（C）4;（D）1 . 4. 設(shè)， 當(dāng)時(shí)，是的 C （A）高階無(wú)窮小。（B）低階無(wú)窮小。（C）同階但不等價(jià)的無(wú)窮小。（D）等價(jià)無(wú)窮小. 5. 已知連續(xù)曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則= D ; (B) ; (C) ;(D) 6. 求 （=） 7. 設(shè)連續(xù)，已知，且,求. Key:. 8. 已知上的連續(xù)曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng), 證明 . 9. 設(shè)，則與的關(guān)系為

15、A （A）。（B）。（C）。（D）不確定 . 10. D （A）;（B）0; （C）;（D） 11. 設(shè)，則極限 D （A） ;（B）;（C）0;（D）. 15. ys2002091010.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：12. 設(shè)正定函數(shù)， 則在根的個(gè)數(shù)為 B （A）0;（B）1; （C）2;（D）3. 13.設(shè)，且單調(diào)減少，對(duì)任意記 ， ，則與的關(guān)系為 A（A）。（B）。（C）。（D）不確定. 14. 設(shè) ，且非負(fù)單調(diào)減少， 證明：. 15. 設(shè)，且對(duì)滿(mǎn)足的一切有， 則在上必有 B (2001-ex2) （A）恒為零 ; （B）恒為常數(shù); （C）恒為線(xiàn)性函數(shù); （

16、D）恒為平均值為零的周期函數(shù). 16. 設(shè)，且, ， 則由已知函數(shù)表出的 C （A）。（B）。（C）。 （D） 16. ys2002091011.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：17. 設(shè)在上可導(dǎo)，其反函數(shù)為， 若，求. 18. 設(shè)， 求.( =3 ) 19. 設(shè)在區(qū)間恒有 , 記，則必有 B (A)； (B)； (C)；(D) 不確定； 20. 設(shè) ， 則 A (A)必為正的常數(shù).(B）必為負(fù)的常數(shù).(C)恒為零.（D）不為常數(shù)。 21.設(shè)為連續(xù)奇函數(shù)，且，則 0 . 22.設(shè)為連續(xù)奇函數(shù)，且 ,則 . 23. 設(shè)，求.（答案：） 24. (A) 。(B) 。(C)

17、 。(D) 。 25確定常數(shù)的值，使（）。 17. ys2002091101.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：第6講 定積分綜合問(wèn)題與應(yīng)用 要點(diǎn)與習(xí)題 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 坤林 主講 6.1定積分區(qū)間變換與其應(yīng)用 綜合問(wèn)題與技巧 6.2 定積分應(yīng)用問(wèn)題 幾何應(yīng)用 物理應(yīng)用 6.3 由定積分決定的函數(shù)性態(tài)研究， 變限積分與含參數(shù)積分綜合問(wèn)題 6.4 積分不等式與處理技巧 18. ys2002091102.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：第6講 定積分綜合問(wèn)題與應(yīng)用 要點(diǎn)與習(xí)題 清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 坤林 主講 6.1定積分區(qū)間變換與其應(yīng)用 綜合問(wèn)

18、題與技巧 6.2 定積分應(yīng)用問(wèn)題 幾何應(yīng)用 物理應(yīng)用 6.3 由定積分決定的函數(shù)性態(tài)研究， 變限積分與含參數(shù)積分綜合問(wèn)題 6.4 積分不等式與處理技巧 19. ys2002091103.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：1. 證明 =. 2. 設(shè)上連續(xù)，3. 且滿(mǎn)足 , 證明存在,使得. 4. 證明連續(xù)周期函數(shù)的原函數(shù)必為線(xiàn)性函數(shù)與周期函數(shù)之和. 5. (1) 設(shè)為正整數(shù)，6. 計(jì)算. (2) 計(jì)算. (3) 設(shè)為正整數(shù)，計(jì)算廣義積分. (4) 設(shè)為正整數(shù)，求積分. (5) 計(jì)算 . (6) 計(jì)算. 20. ys2002091304.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提

19、供文檔資料本節(jié)課程容：7. 證明 . 8. , 且, 求,并討論的連續(xù)性. 7設(shè)在上可導(dǎo),記 為界定的面積， 為界定的面積， 證明對(duì)任意常數(shù)存在唯一的使得 。 21. ys2002091305.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：8設(shè)為上的連續(xù)非負(fù)單調(diào)增函數(shù),為 的形心.證明. 9. 設(shè)在上非負(fù),為 圍成區(qū)域之形心, 試證 . 10. 設(shè)為上的非負(fù)可積函數(shù),且滿(mǎn)足, 又設(shè)當(dāng)時(shí), .,記 (1) 求 ; (2) 若 , 求 ; (3) 若在上可積,在處連續(xù), 求 . 22. ys2002091306.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：11. 設(shè)上連續(xù)

20、，, 且 , ， 試證明: (1)在有零點(diǎn)； (2)若可導(dǎo)，則在亦有零點(diǎn)。 12. 設(shè)上連續(xù)，在可導(dǎo)，且滿(mǎn)足 ,證明至少存在一點(diǎn)， 使得.(例10.1.8) 13. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo), , 且滿(mǎn)足 (1) 求導(dǎo)數(shù) (2) 證明時(shí)成立不等式: . 14. 設(shè)滿(mǎn)足,求的極值與漸近線(xiàn), 并作的圖形.(2000基礎(chǔ)摸) 15. 已知是上的連續(xù)偶函數(shù)，證明： 。 16. 設(shè)是上非負(fù)連續(xù)且單調(diào)減的函數(shù)。 ， 證明有極限。 23. ys2002091307.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：17. 設(shè)在上連續(xù)非負(fù)，且為單調(diào)增函數(shù),，區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的體積記為，試證二階可導(dǎo)，并求。1

21、8. 上給定，對(duì)任意的，記是由所圍成的面積，記是由所圍成的面積，問(wèn)取何值時(shí)，總面積取得最大最小值，說(shuō)明理由。19. 在曲線(xiàn)上點(diǎn) 處引該曲線(xiàn)的法線(xiàn).由該法線(xiàn),軸與該曲線(xiàn)的部分圍成區(qū)域?yàn)镈,求D繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的體積.20設(shè)曲線(xiàn)由與確定.則該曲線(xiàn)當(dāng) 時(shí) 的法線(xiàn)方程為。 21. 設(shè)在區(qū)間上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),記, 試證 。 22. 設(shè)連續(xù)，, （1）當(dāng)為正整數(shù)時(shí), 且時(shí),證明. （2）求. 24. ys2002091401.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：九 一階與高階可降階常微分方程(一) 一個(gè)概念：微分方程的 “解”方程與其分類(lèi)解：方程的階、線(xiàn)性非線(xiàn)性解：一般解、特解

22、、定解條件、初值問(wèn)題(二) 三類(lèi)方程: 按類(lèi)求解；現(xiàn)察侍定函數(shù)或常數(shù)方法。一階方程:高階可降階方程: 高階線(xiàn)性方程: 線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線(xiàn)性方程的規(guī)察侍定法歐拉方程: 差分方程簡(jiǎn)介(三)幾類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題幾何問(wèn)題: 切線(xiàn)、法線(xiàn)，曲率，弧長(zhǎng)和面積物理力學(xué)問(wèn)題: 根據(jù)力學(xué)和物理定律,其他方面簡(jiǎn)單問(wèn)題。微分方程與解的概念判斷函數(shù) , , , 為任意常數(shù)，是否是方程: (a) ; (b) 之解？是否通解？ 求積分. () 方程, 是周期為的周期函數(shù),討論： 此解是否一定是周期函數(shù)？若是請(qǐng)證明,; 若不一定是請(qǐng)舉反例, 并找出一定為周期解的條件； 試討論這種方程解的特點(diǎn)。若函數(shù)滿(mǎn)足條件: , 欲使，其

23、中是常數(shù)，試. *end*25. ys2002091501.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：23. 設(shè)在區(qū)間()上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), (1)寫(xiě)出帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式; (1) 證明至少存在一點(diǎn) 使得. 24. 設(shè)均為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), ,并且滿(mǎn)足, 試證明在上成立不等式. 25. 設(shè)在某鄰域的連續(xù)函數(shù), 且當(dāng)時(shí)是的高階無(wú)窮小量, 則當(dāng)時(shí)是的 D （A）底階無(wú)窮小量；（B）高階無(wú)窮小量； （C）同階但不等價(jià)的無(wú)窮小量； （D）等價(jià)無(wú)窮小量。(綜例10.2.16) 26設(shè)在上可導(dǎo)，且滿(mǎn)足， 證明存在一點(diǎn)使得。 26. ys2002091502.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)

24、系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：例題1（1）討論取何值時(shí), 廣義積分 收斂,key: 收斂（2）又取何值時(shí), 廣義積分 收斂. 收斂,key: 收斂提示：用極限比較法，時(shí)與比較。時(shí)用定義，（1）；（2）發(fā)散。2. 計(jì)算廣義積分3.4. 就參數(shù)的取值討論下列廣義積分的收斂性(1) . (2) .5. 計(jì)算廣義積分(1) (2) (3) (4) 27. ys2002091503.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：例題1（1）討論取何值時(shí), 廣義積分 收斂,key: 收斂（2）又取何值時(shí), 廣義積分 收斂. 收斂,key: 收斂提示：用極限比較法，時(shí)與比較。時(shí)用定義，

25、（1）；（2）發(fā)散。2. 計(jì)算廣義積分3.4. 就參數(shù)的取值討論下列廣義積分的收斂性(1) . (2) .5. 計(jì)算廣義積分(1) (2) (3) (4) 28. ys2002091504.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：11設(shè)，收斂，則收斂性結(jié)論是（A）絕對(duì)收斂;（B）條件收斂;（C）發(fā)散;（D）不定12. (91) 己知級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)等于( C )(A）3; （B）7; （C）8; （D）9。13. 設(shè)，（1） 求； （2）證明，（2） ，（3） 級(jí)數(shù)收斂。14. 設(shè)且單調(diào)減，若級(jí)數(shù)發(fā)散，試問(wèn)是否收斂？證明結(jié)論。15. 設(shè)，,求.16. 設(shè)為上的連續(xù)周期函數(shù)，周期為

26、1，且，在上連續(xù)可導(dǎo)，令，證明級(jí)數(shù)收斂。17. 設(shè)，其中，若，則使級(jí)數(shù)收斂的取值圍是（A）;（B）;（C）;（D）29. ys2002091701.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：11設(shè)，收斂，則收斂性結(jié)論是（A）絕對(duì)收斂;（B）條件收斂;（C）發(fā)散;（D）不定12. (91) 己知級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)等于( C )(A）3; （B）7; （C）8; （D）9。13. 設(shè)，（1） 求； （2）證明，（2） ，（3） 級(jí)數(shù)收斂。14. 設(shè)且單調(diào)減，若級(jí)數(shù)發(fā)散，試問(wèn)是否收斂？證明結(jié)論。15. 設(shè)，,求.16. 設(shè)為上的連續(xù)周期函數(shù)，周期為1，且，在上連續(xù)可導(dǎo)，令，證明級(jí)數(shù)收斂。1

27、7. 設(shè)，其中，若，則使級(jí)數(shù)收斂的取值圍是（A）;（B）;（C）;（D）30. ys2002091702.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：第8講 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)綜合問(wèn)題與技巧8.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本問(wèn)題8.2 冪級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)8.3 級(jí)數(shù)的展開(kāi)與求和函數(shù)展開(kāi)與求和函數(shù)(A) 冪級(jí)數(shù)收斂與解析性的特點(diǎn)；(B) 冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)方法與依據(jù):八個(gè)基本初等函數(shù)在原點(diǎn)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)：, ;, ;, 。, ;, ,特別是有常用公式(5-1) , , (5-2) , , (5-3) , , 8. 4傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)與發(fā)斂定理。函數(shù)富氏展開(kāi)的幾種提法：若是周期為的周期函數(shù)，則有系數(shù)公式,

28、 , 若先給出在區(qū)間上的表達(dá)式，要求: “將在區(qū)間上展成富氏級(jí)數(shù)”. 其意思是有一周期為的周期函數(shù)，它在區(qū)間上是，其他地方按周期延拓。因此，其富氏系數(shù)可用公式計(jì)算：, , 。給出在區(qū)間上的表達(dá)式，要求: “將展成正(余)弦級(jí)數(shù)”或“作奇(偶)延拓”； 其意思是有一周期為的奇(偶)函數(shù)，它在區(qū)間上是，其富氏系數(shù)公式計(jì)算：正弦級(jí)數(shù): , ； , 。 余弦級(jí)數(shù): , ； , 。 三角級(jí)數(shù)逐點(diǎn)收斂定理：若周期為的可積期函數(shù)，其條件滿(mǎn)足以下之一者:在周期區(qū)間上逐段可微；在周期區(qū)間上逐段單調(diào)；則有: =1. 若在處發(fā)散，而在點(diǎn)收斂，則的取值圍是（A）;（B）;（C）;（D）2(88) 若級(jí)數(shù)，在處收斂，則

29、此級(jí)數(shù)在處 ( B )(A)條件收斂； （B）絕對(duì)收斂； (C）發(fā)散； （D）斂散性不能確定。31. ys2002091703.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：3若 收斂半徑為，級(jí)數(shù) 的收斂半徑為，則必有(A) ；(B) ；(C) ；(D) 不能確定.4. (1) 級(jí)數(shù) 的和為 （ 3 ）(2) 的和為 （ 0 ）5求在處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式,指明收斂域.6設(shè),試將展成的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)的和.(綜例13.7.5)7. 求的收斂域。8. 求的和。32. ys2002091704.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)系 坤林 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：9. 設(shè)函數(shù)，(1) 求 與的值；(2)

30、 試證當(dāng) 取正整數(shù)時(shí)亦為正整數(shù).10 (93) 設(shè),的付里葉級(jí)數(shù)為, 則其中的系數(shù) 的值為 ().11(89) 設(shè),而, ,其中, 則等于等于( B ).(A）; （B）; （C）; （D）。12(99) 設(shè), ,其中, 則等于等于( C ).(A）; （B）; （C）; （D）。13. 設(shè)滿(mǎn)足，n為正整數(shù)，且，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。14將展為的，指明收斂域。Key: .15將在處展開(kāi)。Key: ，.33. ys2002091901.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))九 一階與高階可降階常微分方程一階微分方程與其解法判斷下列一階方程的類(lèi)型: , ( 可分離型 )

31、, ( 可分離型, 明顯積分因子 ), (零齊方程)(可分離型, 一階線(xiàn)性, 明顯積分因子)(零齊方程, 一階線(xiàn)性, 明顯積分因子)(對(duì)x是一階線(xiàn)性, 明顯積分因子)( 零齊方程, 明顯積分因子)(零齊方程, 伯努利方程, 全微分方程), (型)*end*34. ys2002091902.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))九 一階與高階可降階常微分方程解方程：. () (93) 函數(shù)過(guò) ，且其切線(xiàn)斜率 為，則( =)(91) 連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足則是(B)(A) ; (B) ; (C) ; (D) .(92)的通解是 ( ).(93)求滿(mǎn)足之特解. ( )(88)求

32、 的通解. ( 零齊; 伯努利; 全微分 )若，求一般解. () 若, 求一般解. ( 伯努利) 若 求一般解 . ( 對(duì)線(xiàn)性,) 若, 求一般解. (簡(jiǎn)單積分因子 ) 若, 求一般解. (積分因子、零齊、對(duì)x線(xiàn)性 ) 若, 求一般解. (佰努利、積分因子、置換: ) 綜合題：(99)今有 其中，試求上的連續(xù)函數(shù)解。( )(96)設(shè)為連續(xù)函數(shù)求初值問(wèn)題 的解. 其中，；若(常數(shù))，證明當(dāng), 有 .(01)函數(shù)列, 滿(mǎn)足初值問(wèn)題：求： () 初值問(wèn)題 且, 其中為連續(xù)函數(shù), 證明：上述初值問(wèn)題之解, 有 。 若方程中, 為常數(shù)，是周期為連續(xù)周期函數(shù),試證：存在唯一的周期為的特解。( ) 二階可降

33、階方程 與其解法 ; ( 令, 其解為：( ); ( )(021,2) ,求( 或 ). ( 令 ), (), 求一般解。.*end*35. ys2002091903.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))九 一階與高階可降階常微分方程解方程：. () (93) 函數(shù)過(guò) ，且其切線(xiàn)斜率 為，則( =)(91) 連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足則是(B)(A) ; (B) ; (C) ; (D) .(92)的通解是 ( ).(93)求滿(mǎn)足之特解. ( )(88)求 的通解. ( 零齊; 伯努利; 全微分 )若，求一般解. () 若, 求一般解. ( 伯努利) 若 求一般解 . ( 對(duì)

34、線(xiàn)性,) 若, 求一般解. (簡(jiǎn)單積分因子 ) 若, 求一般解. (積分因子、零齊、對(duì)x線(xiàn)性 ) 若, 求一般解. (佰努利、積分因子、置換: ) 綜合題：(99)今有 其中，試求上的連續(xù)函數(shù)解。( )(96)設(shè)為連續(xù)函數(shù)求初值問(wèn)題 的解. 其中，；若(常數(shù))，證明當(dāng), 有 .(01)函數(shù)列, 滿(mǎn)足初值問(wèn)題：求： () 初值問(wèn)題 且, 其中為連續(xù)函數(shù), 證明：上述初值問(wèn)題之解, 有 。 若方程中, 為常數(shù)，是周期為連續(xù)周期函數(shù),試證：存在唯一的周期為的特解。( ) 二階可降階方程 與其解法 ; ( 令, 其解為：( ); ( )(021,2) ,求( 或 ). ( 令 ), (), 求一般解。

35、.*end*36. ys2002091904.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十 高階線(xiàn)性方程一般理論與常系數(shù)線(xiàn)性方程(三) 高階線(xiàn)性微分方程與其解法 階線(xiàn)性齊次方程方程： 階線(xiàn)性非齊次方程方程： 階線(xiàn)性常系數(shù)齊次方程方程： 階線(xiàn)性常系數(shù)非齊次方程方程： 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線(xiàn)性齊次、非齊次方程求解1. (89)和是連續(xù)函數(shù), 且線(xiàn)性無(wú)關(guān)的三個(gè)函數(shù)都是二階線(xiàn)性非齊次方程之解，和是任意常數(shù)，則其通解是: (D) (A) ; (B) ;(C) ; (D) 2. (01)設(shè), (為任意常數(shù)) ,為某二階常系數(shù)齊次微分方程的通解，則該方程為 ( ) 補(bǔ)充

36、：求方程的一般解。() *end*37. ys2002092101.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十 高階線(xiàn)性方程一般理論與常系數(shù)線(xiàn)性方程(三) 高階線(xiàn)性微分方程與其解法 階線(xiàn)性齊次方程方程： 階線(xiàn)性非齊次方程方程： 階線(xiàn)性常系數(shù)齊次方程方程： 階線(xiàn)性常系數(shù)非齊次方程方程： 線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線(xiàn)性齊次、非齊次方程求解1. (89)和是連續(xù)函數(shù), 且線(xiàn)性無(wú)關(guān)的三個(gè)函數(shù)都是二階線(xiàn)性非齊次方程之解，和是任意常數(shù)，則其通解是: (D) (A) ; (B) ;(C) ; (D) 2. (01)設(shè), (為任意常數(shù)) ,為某二階常系數(shù)齊次微分方程的通解，則

37、該方程為 ( ) 補(bǔ)充：求方程的一般解。() *end*38. ys2002092102.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十 高階線(xiàn)性方程一般理論與常系數(shù)線(xiàn)性方程3. (00)具有特解的三階線(xiàn)性常系數(shù)齊次方程是：( B ) ; (B)(C) ; (D)4. (93) 有一特解,求與通解。 (, , )5. (89)方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式( 為常數(shù))是 (B) (A); (B); (C); (D).7. (00)求的特解。 () (96)求之通解. () (90)求之通解. ( ) (92)求之通解, () (87)求之通解 () (87)求之通解, ()

38、 (92)求之通解, ( ) (88)求之通解 () (88)函數(shù)滿(mǎn)足方程，, 在點(diǎn)處之切線(xiàn)與曲線(xiàn) 在該點(diǎn)切線(xiàn)重合，求 . ( ) (91)求之通解 () (90)求之通解 () (99)求之通解 () (87)求之通解. () *end*39. ys2002092103.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十 高階線(xiàn)性方程一般理論與常系數(shù)線(xiàn)性方程綜合題6. (89)利用代換 將方程 化簡(jiǎn)， 再求一般解。 (). 21 (89)設(shè), 求。 () 23 (00)在可導(dǎo), 滿(mǎn)足：, 求函數(shù) (2) 證明：. 26 (01)若, ; 求 , () 25 (97)設(shè)二

39、階連續(xù)可導(dǎo)，且滿(mǎn)足方程： 求. () 27. (022) 設(shè)滿(mǎn)足：，則當(dāng)時(shí)，求= (C). (A)不存在； (B)等于1; (C)等于2; (D)等于3 22. (84)設(shè)級(jí)數(shù). 求收斂域; 證明滿(mǎn)足方程; 求和函數(shù). (1), ; (2); (3).23. (021) (1) 驗(yàn)證級(jí)數(shù)滿(mǎn)足方程; (2) 利用上述結(jié)果求級(jí)數(shù)的和函數(shù).( ) 24.(00)在半空間, 對(duì)任何光滑有向曲面, 有其中在一階連續(xù)可導(dǎo), 且求。 () 20. (94) ,且知 是全微分方程，求，并求方程通解。 () *end*40. ys2002092405.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程

40、容：(續(xù))十一、歐拉方程、線(xiàn)性差分方程與微分方程的應(yīng)用(四) 歐拉方程: 對(duì)一般齊次方程： 令 得; 單根：, 重根：; 復(fù)根：, 1. Eurler 方程：求解 () (五)線(xiàn)性微分方程組一般的二階方程為：, 利用消元法：化成二階方程: 2, 求方程組之通解。 () *end*41. ys2002092406.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十一、歐拉方程、線(xiàn)性差分方程與微分方程的應(yīng)用(六). 線(xiàn)性差分方程求解問(wèn)題。 一階線(xiàn)性差分方程: 。 二階線(xiàn)性差分方程: 。 解法1：一階線(xiàn)性差分方程的遞推求解： .解法2：二階線(xiàn)性齊次差分方程的特征根法求解： 令形

41、式解 ,代入方程得特征方程: , 根: (1) 為實(shí)根, 對(duì)應(yīng)有解： 和 ; (2) 為重根, 對(duì)應(yīng)有解： 和 ，或者 (3) , ,對(duì)應(yīng)有解： 和. (4) 關(guān)于解的結(jié)構(gòu)理論與線(xiàn)性微分方程類(lèi)似，由此得一般解: 例 題 3. (98) 求差分方程的一般解。 () 4. 斐波拉契數(shù)( ) 5. 銀行實(shí)行貸款購(gòu)房業(yè)務(wù)，貸元，月利，個(gè)月本利還清，在這個(gè)月按復(fù)利計(jì)息，每月連本帶息還元。 (1) 求的關(guān)系； (2) 記個(gè)月的平均利息，求. ( )*end*42. ys2002092407.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十一、歐拉方程、線(xiàn)性差分方程與微分方程的應(yīng)用(

42、七) 微分方程應(yīng)用問(wèn)題兩類(lèi)問(wèn)題：幾何方面的應(yīng)用, 物理、力學(xué)方面的應(yīng)用;兩種方法：一是規(guī)律“翻譯”; 二是微量平衡分析; 做題的三步曲： 列方程 解方程 解的分析. 在幾何方面的應(yīng)幾何量的分析表示：切線(xiàn)MT：方程; 次切距, 切線(xiàn)長(zhǎng), 法線(xiàn)MN：方程; 次法距, 法線(xiàn)長(zhǎng); 孤微分與弧長(zhǎng): ; 曲率: (99) 函數(shù)二階可導(dǎo)，且, 過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作該曲線(xiàn)的切線(xiàn)與軸的垂線(xiàn), 上述兩直線(xiàn)與軸所圍成的三角形面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線(xiàn)的方程。() (95)設(shè)曲線(xiàn)在第一象限，其上任一點(diǎn)之切線(xiàn)與軸總相交，記交點(diǎn)為，己知，又過(guò)點(diǎn)，求此曲線(xiàn)之方程。() (91)在上半平面上

43、求上凹曲線(xiàn)，其上任一點(diǎn)處的曲率等于此曲線(xiàn)在該點(diǎn)法線(xiàn)段長(zhǎng)的倒數(shù)，又曲線(xiàn)在點(diǎn)處與x軸平行。 () (98)為上凸連續(xù)曲線(xiàn)，其上任一點(diǎn)處的曲率等于, 且在點(diǎn)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為, 求此曲線(xiàn)的方程與其極值。由條件確定其解 (98)在連續(xù)，若曲線(xiàn)、直線(xiàn)、與軸所圍的平面圖形, 繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體積為 ，且,求 所滿(mǎn)足微分方程與條件, 并求其解。() (01)平面曲線(xiàn)上任一點(diǎn), 到原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處切線(xiàn)在軸上的截距, 且過(guò)點(diǎn). 求曲線(xiàn)的方程; ( ) 求在第一象限部分的一條切線(xiàn)使其與與兩坐標(biāo)軸所圍面積最小。() (96)過(guò)平面曲線(xiàn), 上任一點(diǎn) 切線(xiàn)在軸上的截距等于 , 求曲線(xiàn)的方 程. () (022

44、) 求微分方程的一個(gè)解，使得由曲線(xiàn)與直線(xiàn)以與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小。(93)物體A從點(diǎn)(0,1)沿y軸正向以常速v運(yùn)動(dòng)，物體B從(-1,0)與A同時(shí)出發(fā), 速度為 2v，指向A，求的B運(yùn)動(dòng)微分方程與初始條件 () (00)從船上向海中下沉某種儀器，需確定下沉深度y (從海平面算起) 與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力作用下，由靜止從海平面垂直下沉，在下沉中阻力與速度成正比，比例系數(shù)，同時(shí)受到浮力，設(shè)儀器質(zhì)量為，體積為，海水比重為，試建立方程并求解. (y) 光線(xiàn)穿過(guò)薄水層時(shí)，被吸收之?dāng)?shù)量與入射量以與水層厚度成正比。若穿過(guò)2米厚的水層時(shí)，最初的光線(xiàn)被吸收掉，試問(wèn)到達(dá)

45、水深12米處時(shí), 光線(xiàn)還剩多少？() (00)某湖泊水量為，每年入湖含污物A的污水，入湖污水量，入湖不含A的水量為, 流出量。己知1999年底湖中有污物，超過(guò)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。為治污從2000年初開(kāi)始，限定入湖污水含A濃度不超過(guò)，問(wèn)多少年后湖中含污物的量降至。( , ) 13. 作一個(gè)柱臺(tái)座，柱臺(tái)座斷面面積函數(shù)為 , , 臺(tái)柱高為, 其上受力為，使每個(gè)斷面上的壓強(qiáng)都一樣(等強(qiáng)度柱臺(tái)座), 求。 (, ) 一容器總高為, 在高度為處的斷面面積為，在底部有一面積為的小孔，若水流出速度是水深的函數(shù), ,若在容器裝滿(mǎn)水后, 將底部小孔打開(kāi)，問(wèn)多久水將流盡？ ( ) 將質(zhì)量為的物體, 以初速垂直向上射出，設(shè)空氣

46、阻力與運(yùn)動(dòng)速度的平方成正比, 比例系數(shù)。求物體到達(dá)的高度，到這最高處的時(shí)間，落到原地時(shí)的速度與下落時(shí)間？ (上升的最高度; 上升到頂點(diǎn)的時(shí)間: 落地時(shí)間: ; 其中 ). *end*43. ys2002092408.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十一、歐拉方程、線(xiàn)性差分方程與微分方程的應(yīng)用(七) 微分方程應(yīng)用問(wèn)題兩類(lèi)問(wèn)題：幾何方面的應(yīng)用, 物理、力學(xué)方面的應(yīng)用;兩種方法：一是規(guī)律“翻譯”; 二是微量平衡分析; 做題的三步曲： 列方程 解方程 解的分析. 在幾何方面的應(yīng)幾何量的分析表示：切線(xiàn)MT：方程; 次切距, 切線(xiàn)長(zhǎng), 法線(xiàn)MN：方程; 次法距, 法線(xiàn)

47、長(zhǎng); 孤微分與弧長(zhǎng): ; 曲率: (99) 函數(shù)二階可導(dǎo)，且, 過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作該曲線(xiàn)的切線(xiàn)與軸的垂線(xiàn), 上述兩直線(xiàn)與軸所圍成的三角形面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記為，并設(shè)恒為1，求此曲線(xiàn)的方程。() (95)設(shè)曲線(xiàn)在第一象限，其上任一點(diǎn)之切線(xiàn)與軸總相交，記交點(diǎn)為，己知，又過(guò)點(diǎn)，求此曲線(xiàn)之方程。() (91)在上半平面上求上凹曲線(xiàn)，其上任一點(diǎn)處的曲率等于此曲線(xiàn)在該點(diǎn)法線(xiàn)段長(zhǎng)的倒數(shù)，又曲線(xiàn)在點(diǎn)處與x軸平行。 () (98)為上凸連續(xù)曲線(xiàn)，其上任一點(diǎn)處的曲率等于, 且在點(diǎn)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為, 求此曲線(xiàn)的方程與其極值。由條件確定其解 (98)在連續(xù)，若曲線(xiàn)、直線(xiàn)、與軸所圍的平面圖形, 繞軸旋

48、轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體積為 ，且,求 所滿(mǎn)足微分方程與條件, 并求其解。() (01)平面曲線(xiàn)上任一點(diǎn), 到原點(diǎn)的距離恒等于該點(diǎn)處切線(xiàn)在軸上的截距, 且過(guò)點(diǎn). 求曲線(xiàn)的方程; ( ) 求在第一象限部分的一條切線(xiàn)使其與與兩坐標(biāo)軸所圍面積最小。() (96)過(guò)平面曲線(xiàn), 上任一點(diǎn) 切線(xiàn)在軸上的截距等于 , 求曲線(xiàn)的方 程. () (022) 求微分方程的一個(gè)解，使得由曲線(xiàn)與直線(xiàn)以與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小。 (93)物體A從點(diǎn)(0,1)沿y軸正向以常速v運(yùn)動(dòng)，物體B從(-1,0)與A同時(shí)出發(fā), 速度為 2v，指向A，求的B運(yùn)動(dòng)微分方程與初始條件 () (00)從船上向海中下沉某種

49、儀器，需確定下沉深度y (從海平面算起) 與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力作用下，由靜止從海平面垂直下沉，在下沉中阻力與速度成正比，比例系數(shù)，同時(shí)受到浮力，設(shè)儀器質(zhì)量為，體積為，海水比重為，試建立方程并求解. (y) 光線(xiàn)穿過(guò)薄水層時(shí)，被吸收之?dāng)?shù)量與入射量以與水層厚度成正比。若穿過(guò)2米厚的水層時(shí)，最初的光線(xiàn)被吸收掉，試問(wèn)到達(dá)水深12米處時(shí), 光線(xiàn)還剩多少？() (00)某湖泊水量為，每年入湖含污物A的污水，入湖污水量，入湖不含A的水量為, 流出量。己知1999年底湖中有污物，超過(guò)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。為治污從2000年初開(kāi)始，限定入湖污水含A濃度不超過(guò)，問(wèn)多少年后湖中含污物的量降至。( , ) 1

50、3. 作一個(gè)柱臺(tái)座，柱臺(tái)座斷面面積函數(shù)為 , , 臺(tái)柱高為, 其上受力為，使每個(gè)斷面上的壓強(qiáng)都一樣(等強(qiáng)度柱臺(tái)座), 求。 (, ) 一容器總高為, 在高度為處的斷面面積為，在底部有一面積為的小孔，若水流出速度是水深的函數(shù), ,若在容器裝滿(mǎn)水后, 將底部小孔打開(kāi)，問(wèn)多久水將流盡？ ( ) 將質(zhì)量為的物體, 以初速垂直向上射出，設(shè)空氣阻力與運(yùn)動(dòng)速度的平方成正比, 比例系數(shù)。求物體到達(dá)的高度，到這最高處的時(shí)間，落到原地時(shí)的速度與下落時(shí)間？ (上升的最高度; 上升到頂點(diǎn)的時(shí)間: 落地時(shí)間: ; 其中 ). *end*44. ys2002092601.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資

51、料本節(jié)課程容：(續(xù))十二 向量代數(shù)與空間解析幾何題 目： (88)已知都是單位向量,且有, 求()(95)已知 ，則 (4)證明余弦定理和正弦定理。1),2)證明 5. (87)設(shè), 則三直線(xiàn) 交于一點(diǎn)的充要條件是：(D)三向量線(xiàn)性相關(guān); (B) 三向量線(xiàn)性無(wú)關(guān); (C) rank()=); (D)相關(guān), 而無(wú)關(guān).6, 若, 求使得; ()使得; ()在由所構(gòu)成的平面上的投影向量;()使得三向量共面。()7, 求兩條空間直線(xiàn)間的距離。 ()8, 求點(diǎn)到平面的距離. ()9, 證明：不共線(xiàn)的三向量, 構(gòu)成封閉三角形的充要條件是：若三個(gè)非零向量, 滿(mǎn)足條件：, 試求它們之間的夾角與各自的模。 (

52、) 11 在什么條件下，關(guān)于的向量方程有解？有多少解？解的一般形式是什么？ ()*end*45. ys2002092602.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十二 向量代數(shù)與空間解析幾何題 目： (88)已知都是單位向量,且有, 求()(95)已知 ，則 (4)證明余弦定理和正弦定理。1),2)證明 5. (87)設(shè), 則三直線(xiàn) 交于一點(diǎn)的充要條件是：(D)三向量線(xiàn)性相關(guān); (B) 三向量線(xiàn)性無(wú)關(guān); (C) rank()=); (D)相關(guān), 而無(wú)關(guān).6, 若, 求使得; ()使得; ()在由所構(gòu)成的平面上的投影向量;()使得三向量共面。()7, 求兩條空間直

53、線(xiàn)間的距離。 ()8, 求點(diǎn)到平面的距離. ()9, 證明：不共線(xiàn)的三向量, 構(gòu)成封閉三角形的充要條件是：若三個(gè)非零向量, 滿(mǎn)足條件：, 試求它們之間的夾角與各自的模。 ( ) 11 在什么條件下，關(guān)于的向量方程有解？有多少解？解的一般形式是什么？ ()*end*46. ys2002092603.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十二 向量代數(shù)與空間解析幾何空間解析幾何平面與直線(xiàn)的方程: 平面： 法向量 , 方程: , 即 直線(xiàn): 方向 , 方向數(shù) ; 方程: , 或 ,即, 或 平面，直線(xiàn)間的關(guān)系: 以來(lái)判斷其垂直、平行、相交的情況。 二次曲面: 橢球面

54、單葉、雙葉雙曲面 橢圓、雙曲拋物面 () 特殊曲面: 柱面, 錐面, 旋轉(zhuǎn)面 柱面: 方程中缺變量: 如, ; 錐面: 方程中變量次數(shù)一樣, 如, 旋轉(zhuǎn)面, 如，上曲線(xiàn) 繞軸旋轉(zhuǎn)而成之曲面方程 為: 空間區(qū)域的不等式表示 橢球體: ; 半平面: *end*47. ys2002092604.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十二 向量代數(shù)與空間解析幾何題 目： 13. (90)過(guò)點(diǎn)M(1,2,-1)，與直線(xiàn)垂直的平面方程是( ).14. (91)己知 和 , 求過(guò)平行的平面方程。()15. (87)與, , 兩直線(xiàn)平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程 ( )16. 今有直線(xiàn)

55、：, 求：與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程；()與關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程；() 與關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程；() 17. 平分由兩平面: 和，所成兩面角的平面方程是什么？(, )(87)過(guò)點(diǎn)，垂直于直線(xiàn)L1: ，平行于平面 的直線(xiàn)是 ( )19. 求過(guò)的直線(xiàn)方程，滿(mǎn)足下列條件：和平面平行; 2)與直線(xiàn)相交. ()找直線(xiàn)、平面問(wèn)關(guān)系的問(wèn)題(93)與之間夾角是( )(92)曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)中，與平面平行的有幾條？(兩條)(89)己知曲面上P點(diǎn)之切平面平行，求P點(diǎn). P(1, 1, 2).(98)矩陣滿(mǎn)秩，則兩直線(xiàn)：和. (A)交于一點(diǎn)； (B) 重合； (C) 平行不重合；(D) 異面。24. (94)己知與

56、，線(xiàn)段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)面S，求S與平面所圍立體的體積。()(98)求直線(xiàn), 在平面 上投影直線(xiàn)L0的方程，并用 L0 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面S的方 ()26. 己知二次型 的秩2,求特征值；( );指出表示什么曲面？(橢圓拋物面 )*end*48. ys2002092801.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十三 多元微分學(xué)與其應(yīng)用(1) 多元函數(shù)定義與符號(hào)：函數(shù)符號(hào)的三式： 顯式; 隱式： 和 參數(shù)式: 多元極限：多路逕 連續(xù)：初等函數(shù)連續(xù)性，閉域上連續(xù)函數(shù)的三性質(zhì): 有界性，取最大最小性，中值性 (2) 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)與梯度,一元

57、化方法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則: 函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù); 幾多中間變量有幾多項(xiàng)；幾層復(fù)合有幾層積。關(guān)鍵在函數(shù)關(guān)系分析。微分：定義為線(xiàn)性主部，可微，可導(dǎo)，連續(xù)的關(guān)系； 微分的幾何意義：切平面存在 可微的充分條件：一階偏導(dǎo)連續(xù) (3) 多元微分學(xué)的應(yīng)用求空間曲面的法線(xiàn)、切平面；求空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面； 多元臺(tái)勞公式研究函數(shù)性態(tài)多元極值問(wèn)題：無(wú)條件、條件極值問(wèn)題；閉域上最值問(wèn)題*end*49. ys2002092802.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十三 多元微分學(xué)與其應(yīng)用多元微分方法*end*50. ys2002092803.htm清華大

58、學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十三 多元微分學(xué)與其應(yīng)用題 目 1. (94)在的兩個(gè)偏導(dǎo)存在是函數(shù)在連續(xù)的 (D)(A) 充分條件; (B) 必要條件; (C)充要條件; (D) 既非充分又非必要。2. (021)考慮二元函數(shù)的下列性質(zhì):(1) 在連續(xù); (2) 在兩偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);(3) 在可微; (4) 在兩偏導(dǎo)數(shù)存在。則有：(A)(A) (2)?(3) ? (1); (B) (3)?(2) ? (1);(C) (3)?(4) ? (1); (D) (3)?(1) ? (4);3. (92)設(shè), 其中, 求:()注意： 的函數(shù)結(jié)構(gòu)都一樣。4. (93)，5. 求,.

59、 ( =)6. (88)設(shè), 求： (0)7. (98)設(shè), , 求：, ( )8. (00)設(shè)函數(shù) , 求. ( )9. (99)己知, , 求.( )10. 設(shè), 又, ,求 , ( 注意符號(hào)的運(yùn)用 )( =; =)11. 設(shè), 求表示式： ( 注意循環(huán)對(duì)稱(chēng)性 ) ()12. (98)設(shè)變量可把方程簡(jiǎn)化成求？(3)13. 若滿(mǎn)足關(guān)系: , ( * ), 則稱(chēng) f 為k次齊次函數(shù) 。 證明：f 為k次齊次函數(shù) 含有隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題14. (87)設(shè)z是方程所確定的函數(shù), 求.()15. (91)方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)M( 1, 0, -1 )處的全微分. ( )16. (98)設(shè) 求dz 和(

60、 , = )17. 設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，18. 且由方程所確定，19. 求du. ( )20. 函數(shù)由方程確定，21. 求 ( , , )22. (99)設(shè)函數(shù), 由方程 確定, , 求. ( )23. (92)函數(shù)在點(diǎn)M(1, 2, -2)處的梯度值。(24. (93) 數(shù)量場(chǎng) 則 ( )25. (01) ，26. 則=*end*51. ys2002092804.htm清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系 譚澤光 主講并提供文檔資料本節(jié)課程容：(續(xù))十三 多元微分學(xué)與其應(yīng)用多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用27. (88)求橢球面 S 在某點(diǎn)M之切28. 平面，29. 使之過(guò)直線(xiàn) LM。( , 和 )30. (93)由曲線(xiàn)