【創(chuàng)新設(shè)計】20162017學(xué)年高中數(shù)學(xué)推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法課件新人教版選修22

1、 2.3數(shù)學(xué)歸納法第二章推理與證明 1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理.2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點突破當(dāng)堂檢測 自查自糾 知識梳理 自主學(xué)習(xí)知識點一歸納法及分類答案由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法，歸納法可以分為 歸納法和 歸納法，完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的，因為它考察了問題涉及的所有對象；不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠，因為它只考察了某件事情的部分對象，但它是一種重要的思考問題的方法，是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用完全歸納法證明

2、，是解決問題的一種重要途徑.完全不完全完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后，得出一般結(jié)論的推理方法，又叫枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況不多時，采用完全歸納法.思考下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，請在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù).(1)1,5,9,13,17，()；答案21821知識點二數(shù)學(xué)歸納法答案1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立.2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時注意幾點：(1)用數(shù)

3、學(xué)歸納法證明的對象是與 有關(guān)的命題.(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可.(3)步驟的證明必須以“假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立”為條件.正整數(shù)n答案不能保證猜想一定正確，需要嚴(yán)密的證明.(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件？答案第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.條件事實上給出了一個遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K1塊也倒下.返回答案 題型探究 重點突破題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立解析答案反思與感悟例1求證：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*).反思與感悟證明(1)當(dāng)n1時，左邊112，右邊2112，左邊

4、右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，當(dāng)nk1時，左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)2k13(2k1)(2k1)22k113(2k1)2(k1)1右邊.當(dāng)nk1時，等式也成立.由(1)(2)可知，對一切nN*，原等式均成立.反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項，增加怎樣的項.解析答案解析答案題型二證明不等式問題解析答案反思與感悟解析答案證明由已知條件可得bn2n(nN*

5、)，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，不等式成立.則當(dāng)nk1時，反思與感悟要證當(dāng)nk1時，不等式成立，反思與感悟當(dāng)nk1時，不等式成立.由(1)(2)可知，對一切nN*，原不等式均成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊證明目標(biāo)，在湊證明目標(biāo)時，比較法、綜合法、分析法都適用.反思與感悟解析答案解析答案(2)假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，則當(dāng)nk1時，解析答案所以當(dāng)nk1時不等式成立.由(1)(2)知，不等式對一切nN*都成立.題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題解析答案反思與感悟例3求證nN*時，an1(a1)2n1能被a2a1整除.反思與感悟證明(1)當(dāng)n1時，a11(

6、a1)211a2a1，命題顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被a2a1整除，故當(dāng)nk1時命題成立.由(1)(2)知，對任意nN*，命題成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問題時，關(guān)鍵是從當(dāng)nk1時的式子中拼湊出當(dāng)nk時能被某數(shù)整除的式子，并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意非負(fù)整數(shù)n，An11

7、n2122n1能被133整除.證明(1)當(dāng)n0時，A011212133，能被133整除.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k0)時，Ak11k2122k1能被133整除，那么當(dāng)nk1時，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1，能被133整除.由(1)(2)可知，對于任意非負(fù)整數(shù)n，An都能被133整除.題型四用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題解析答案反思與感悟例4已知n個平面都過同一點，但其中任何三個平面都不經(jīng)過同一直線，求證：這n個平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.反思與感悟證明(1)當(dāng)n1時，1個平面

8、把空間分成2部分，而f(1)1(11)22(部分)，所以命題正確.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，命題成立，即k個符合條件的平面把空間分為f(k)k(k1)2(部分)，當(dāng)nk1時，第k1個平面和其他每一個平面相交，使其所分成的空間都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k1)f(k)2kk(k1)22kk(k12)2(k1)(k1)12(部分)，即當(dāng)nk1時，命題也成立.根據(jù)(1)(2)，知n個符合條件的平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k增加到k1時，所證的幾何量增加多少，同時要善于利用幾何圖形的直觀性，建立k與k1之間的遞推關(guān)系.反

9、思與感悟解析答案解析答案證明(1)當(dāng)n2時，兩條直線的交點只有一個，當(dāng)n2時，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k2)時命題成立，那么，當(dāng)nk1時，l與其他k條直線的交點個數(shù)為k，從而k1條直線共有f(k)k個交點，當(dāng)nk1時，命題成立.由(1)(2)可知，對任意nN*(n2)命題都成立.解析答案因弄錯從nk到nk1的增加項致誤防范措施返回易錯易混錯解當(dāng)n1時，解析答案防范措施即n1時不等式成立.假設(shè)nk(k1，且kN*)時不等式成立，那么，當(dāng)nk1時，即nk1時，不等式成立.正解當(dāng)n1時，即n1時不等式成立.解析答案防范措施防范措施假設(shè)nk(k1，kN*)時不等式成立，那么，當(dāng)nk1時，所

10、以nk1時，不等式成立.防范措施當(dāng)nk1時，可以寫出相應(yīng)增加的項，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.返回 當(dāng)堂檢測12345A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a4B解析答案解析當(dāng)n1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，左邊是1a，故選B.12345解析答案12345答案C比較可知C正確.12345解析答案2k解析觀察f(n)的表達式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，因此f(2k1)比f(2k)多了2k項.12345解析答案4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN*)第一步應(yīng)驗證_.n3時是否成立解析n的最小值為3，所以第一步驗證n3時是否成立.12345解析答案5.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達式為_.課堂小結(jié)1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可.有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ).2.歸納假設(shè)的作用.在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點：(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證nk1時，必須用上歸納假設(shè).返回3.利用歸納假設(shè)