初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線大全備課講稿

1、初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線大全初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線大全人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當(dāng)問題的條件不夠時，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題，這是解決問題常用的策略。一.添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們，相交后證交角為90。；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。2按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該

2、叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：(1)平行線是個基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線(2)等腰三角形是個簡單的基本圖形：當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍

3、線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。(5)三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個中點(diǎn)時往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個中點(diǎn)則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添平線段的平行線得三角形中位線基本圖形。(6)全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱

4、形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線(7)相似三角形：相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(中點(diǎn)可看成比為1)可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。(8)特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1:1:，2;30度角直角三角形

5、三邊比為1:2:，3進(jìn)行證明(9)半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所又t弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二.基本圖形的輔助線的畫法.三角形問題添加輔助線方法方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用

6、關(guān)于平分線段的一些定理。方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)連對角線或平移對角線：(2)過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交

7、點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形內(nèi)平移兩腰(4)延長兩腰(5)過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高(6)平移對角線(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。(8)過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。(9)作中位線當(dāng)然在梯形的

8、有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。(1)見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還須作出相應(yīng)的半徑)，通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。(2)見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用”直徑所對的圓周角是

9、直角“這一特征來證明問題。(3)見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用“切線與半徑垂直這一性質(zhì)來證明問題。(4)兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。(5)兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個定

10、理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運(yùn)而生,其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種

11、方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那

12、么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角一一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵

13、。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例一口州如附上立匕E.為AABCa四宓一求正:AB+ac.空上外土CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交ABAC于MN,在AMhfr,AMANMD+D曰NE;(1)在BDW,MBMDBR(2)在CENfr,CN+NECE(3)由(1)+(2

14、)+(3)得：AM+AN+M拼MDbCWNEMDbD曰NE+BNCE.AB+AGBND日EC（法二：）如圖1-2,延長BD交AC于F,延長CEXBF于G,在人85和4GFCffiGDEt有：AB+AFBD+DGGF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FOG曰CE（同上）（2）DG+GEDE(同上)(3)由(1)+(2)+(3)得：AB+AF+GRFC+DGGEBNDGG斗G曰C曰DE.AB+AOBND日EG二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理

15、：例如：如圖2-1:已知D為4ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/BDO/BAC巳如.因為/BDCf/BAC在同一個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，叫適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三色形.使N.BDCM于在外角的位置，/BAC&于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時/BDC是口C（勺外角，丁./BDO/DEC同理/DEO/BAC:/BDO/BAC證法二：連接AD,并延長交BC于F./BDF是AABD勺外角./BDF/BAD同理，/CDF/CAD/BD斗/CDf/BAA/CAD即：/BDO/BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利

16、用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1:已知AD為4ABC的中線，且/1=/2,/3=/4,求證：B曰CFERff*eifE-m”ehimif，分析：要證BE+CFEF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明,須把BE,CF,EF移到同一個三個形中，而由已知/=/2,/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段,利用三角形全等對應(yīng)邊相WMWWWrwWM4rWWWWVWWMWWWWrfWWWWWWWWWWMWHWWWWWWMWWr*rWkrMWWWWWWWWWWWWWWWw4fWWWWMWWMWWWMWWWWiWWWWWWWWWWWMMWWWWM1

17、笠2型一e_n_FN_Ef移到回二1：二魚形工。一.證明：在DA取DN=DB，連接NE,NF,則DN=DC在DBEffizDNE中：DNDB（輔助線的作法）,12（已知）EDED（公共邊）.DB陷ADNE（SAS.BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：C已NF在4EFN中EN+FNEF（三角形兩邊之和大于第三邊）.BE+CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形例如：如圖4-1:AD為ABC勺中線,.Z.1=Z2.,.Z,3=N.4,一求證B

18、EfCFEF證明：延長ED至M使DM=DE連接CMME在BDEffiACDh/l,BDCD（中點(diǎn)的定義）1CDM（對頂角相等）EDMD（輔助線的作法）.BDEiACDM（SAS又/1=/2,/3=/4（已知）Z1+Z2+Z3+74=180好角的定義）./3+/2=90,即/ED已90/FD陣/EDF=90在AEDF和2乂口鵬EDMD（輔助線的作法）EDFFDM（已證）DFDF（公共邊）.ED/AMDF（SAS.EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）在/XCMH,CF+CMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）.BE+CFEF注：上題也可加倍FD,證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，可通過

19、延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形例如：如圖5-1:AD為4ABC的中線，求證：AB+AG2AQ分析：要證AB+AO2AR由圖想至ij:AB+BDAD,AOCDAD,所以有AB+AC+BD+CDANAD=2AR左邊比要證結(jié)論多BNCD故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AR即加倍中線，把所要-._.-,-.-.-證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。.M,E.HW.mIBBTHQ證明：延長AD至E,使DE=AD連接BE,貝UAE=2AD; AD為 ABC的中線（已知）.BACD（中線定義）在ACDffizEBD中BDCD（已

20、證）ADCEDB（對頂角相等）ADED（輔助線的作法）.AC*AEBD（SAS.BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在4ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊）圖5 1F.AB+AO2AD（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知ABCAD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD六、截長補(bǔ)短法作輔助線例如：已知如圖6-1:在ABC中，ABAC,/1=/2,P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB-AOPB-PC-=-4-LL-L分析：要證：AB-AGPB-PG想到利用三角形三-LU-f-LLI-.I-fTT.1Lfjj.邊關(guān)系定理證

21、之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AG訪金AB王機(jī)欣AN至TAG彳#AB-AOBN后f.m-.-b-WtfWWJVWMWWWWWWWWWWMWWMWWWWWWWW?WWIWWWWWWWWWWWMWWWMWWMWWWw4MWWWnjWSS連接PN貝UPOPN又在PNEfr,PB-PNBN即：AB-AOPB-PG證明：（截長法）在AB上截取AN=AC連接PN,在APNffiAAPCANAC（輔助線的作法）12（已知）APAP（公共邊）.AP率AAPC（SAS.POPN（全等三角形對應(yīng)邊相等）在4BPN中，有PB-PNPM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）.A

22、B-AOPB-PG七、延長已知邊構(gòu)造三角形:例如攵口圖j-1已知_AC=BQ.AACT.Ad.BaBDB.一求證.Ak.BC分析：欲證AD=BG先證分別含有ARBC的三角形全等，有幾種方案：ADC與ABCDAAODDfABO（CAABDABAC但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DACB，它們的延長交于E點(diǎn),.AD1ACBCBD（已知）丁./CAE=/DBE=90（垂直的定義）在DBEfCAE中EE（公共角）DBECAE（已證）BDAC（已知）.DB圖ACAE(AAS.ED=ECEB=EA（全等三角形對應(yīng)邊相等）.ED-

23、EA=EC-EB即：AD=BG（當(dāng)條件不足時可通過添加輔助線得出新的條件、為證題創(chuàng)造條件乩.）八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖8-1:AB/CQAD/BC求證：AB=CD分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD.AB/CDAD/BC（已知）./1=/2,/3=/4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在ABCtzCDA中2（已證）,ACCA（公共邊）4（已證）.AB登ACDA（ASA.AB=CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長例如：如圖9-1:在RQABC中，A況AC,/B

24、A如.例。，/=/2,CELL_BDB延長壬.E。.求證;BD=2CE圖9 1分析：要證BA2CE想到要才造線段2CE同時CEL/.AB加.生分裝垂已想到過將反延一長。.二-X-W.-1-.證明：分別延長BA,CE交于點(diǎn)F。.B已CF（已知）丁./BE已/BEG=900（垂直的定義）在4BEF與ABEC中，12（已知）BEBE（公共邊）BEFBEC（B證）.BEHABEC（ASA.CE=FE,CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）./BAC=90BECF（已知）./BAC=/CA曰90/1+/BDA=90/+/BFC=90./BDA=/BFC在AABMAACF中BACCAF（已證）BDABFC（已證）A

25、B=AC（已知）.ABDAACF（AASBD=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）.BA2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形例如：已知：如圖10-1;AC.BD相交于O點(diǎn)，且AB=DGAOBR求證：/A=/D。分析：要證/A=/D,可證它們所在的三角形4ABOffiDCOlr等，而只有AB=DC和對頂?shù)趺鎮(zhèn)€條作，i一個條作難以證其全器只彳另尋其它白勺三疝形全等，由AB=DCAOBR若連接BG則ABCffiADC陳等，所以，證得/A=ZDo證明：連接BC,在AABC?口4DCB中ABDC（已知）ACDB（已知）BCCB（公共邊）.AB登ADCB（SSS）./A=/D（全等三角形對應(yīng)邊相等）卜一、取線段中

26、點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1:AB=DC./A=/D求證：ZABO/DCB分析：由AB=DG/A=/D,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接N0NC再由SAS公理有AB率ADCN故BN=CN/ABN=/DCN下面只需證/NBC=/NCB訕BC向孑/M注板MN向/SSSS石NB陣NCM而NBWNCB問題得證。證明：取AD,BC的中點(diǎn)N、M連接NB，NMNC則AN=DNBM=CM4AABNffiDCNfrANDN（輔助線的作法）AD（已知）ABDC（已知）.AB率ADCN（SAS；/ABN=/DCNNB=NC（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在NBMtANCMfrNB=NC（已證）,BM=CM（輔助線的作

27、法）NM=NM（公共邊）.NM空ANCiyi（SSS）./NB。/NCB（全等三角形對應(yīng)角相等）/NBC+/ABN=/NC濟(jì)/DCN即/ABC=/DCB巧求三角形中線段的比值例1.如圖1,在4ABC中，BDDC=1:3,AEE&2:3,求AF:FC解：過點(diǎn)D作DG/AC,交BF于點(diǎn)G所以DGFC=BDBC因為BDDC=1:3所以BDBO1:4即DGF01:4,FO4DG因為DGAF=DEAE又因為AEED=2:3所以DGAF=3:22AF=-DG即31:6例2如圖2,BOCQAF=FC,求EFFD解：過點(diǎn)C作CG/DE交AB于點(diǎn)G,則有EF:G諼AF:AC因為AF=FC所以AF:AO1:2EF

28、=-OC即EF:G諼1:2,2因為CGDE=BC:BD又因為BOCD所以BC:BD=1:2CG:DE=1:2即DE=2GC2GC-GC=-GC因為FD=ED-EF=22所以EF:FD=3-GCi-C?C=1：32小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙例3.如圖3,BDD01:3jAE:EB=2:3,求AF:FD。解：過點(diǎn)B作BG/AD,交CE延長線于點(diǎn)G所以DF:B氏CDCB因為BDDC=1:3所以CDC及3:4 TOC o 1-5 h z 即DF:B氏3:4,4因為AF:B氏AE:EB又

29、因為AEEB=2:32AF=-BG所以AF:B氏2:3即323-BGx-BG=8；9所以AF:D已34例.4.一如.4,B.DD會Jj3jaf=FD求.EF：解：過點(diǎn)D作DG/CE,交AB于點(diǎn)G所以EF:D&AF:AD即 EF: D& 1: 2因為AF=FD所以AF:A又1:2所以 BD BO 1: 4答案：1、1:因為DGCE=BDBG又因為BDC氏1：3,即DGCE=1:4,CE=4DG TOC o 1-5 h z 17AD口一一DG=DG因為FOCE-EF=22-DGi二DG所以EF:FO22=1：7練習(xí):1.一如圖.51B上DGAE：EA1:5,求AF:FB2.如圖6,ADDB=1:3

30、,AE:EO3:1,求BF:FC10;2.9初中幾何輔助線初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上

31、述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓形半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目

32、少困難。江忠點(diǎn)輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。由角平分線想到的輔助線口訣:圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通

33、常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹如圖1-1,/AOC=BOC如取OE=OF并連接DEDF,則有OE%AOFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1.如圖1-2,AB/CD,BE平分/BCD,CE平分/BCD點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD分析：此題中就涉及到角平分線，

34、可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自已試一試。例2.已知：如圖1-3,AB=2AC

35、/BADWCADDA=DB求證DC!AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。A構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。E圖1-3例3.已知：如圖1-4,在4ABC中，/C=2ZB,AD平分/BAC求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？練習(xí)已知在ABC中，AD平分/BAC/B=2ZC,求證：AB+BD=AC已知：在ABO,/CAB=ZB,AE平分/CA皎BC于E,AB=2AC,求證：AE=2CE已知：在ABC,AB

36、AC,A時/BAC勺平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CMAB-AC已知：D是4ABC的/BAC勺外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DG求證：BD+CDAB+AC（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1.如圖2-1,已知ABAD,/BACWFAC,CD=BC求證：/ADC廿B=180分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ADCf/B之和為平角例2.如圖2-2,在ABC中，/A=90,AB=AC/ABDWCBD求證：BC=AB+AD分析：過D作DHBC于E,貝UAD=DE=CE貝U構(gòu)造出全等三角形，

37、從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3.已知如圖2-3,ABC勺角平分線BMC附目交于點(diǎn)P。求證：/BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP,證AP平分/BAC即可，也就是證B、AC的距離相等。練習(xí)：1.如圖2-4/AOPWBOP=15,PCOA,PDLOA如果PC=4貝UPD=()P到A2.已知在ABCt, / C=90,AD平分 / CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AGA4B3C2D1.已知：如圖2-5,/BACWCAD,ABADCHAB,1AE=2(AB+AD.求證：/D+/B=180。.已知：如圖2-6，在正方形ABCm，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為B

38、C上的點(diǎn)，/FAEWDAE求證：AF=AD+CF.已知：如圖2-7,在RtAABO,/ACB=90,CDAB,垂足為D,AE平分/CA皎C叱F,過F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH圖2-7（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1.已知：如圖3-1,/BADMDACABAC,CDAgD,1H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC2分析：延長CD交

39、AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證。例2.已知：如圖3-2,AB=AC/BAC=90,AD為/ABC的平分線，CHBE.求證：BD=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在ABC中，ADAE分別/BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)B作BFAD交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于ML求證：AM=ME分析：由ARAE是/BAC內(nèi)外角平分線，可得EA，AF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等。例4.已知：如圖3-4,在ABC中，AD平分/BACAD=ABCMLAD交AD1,一延長線于M求證：

40、AM=(AB+AC2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作aA1一BD關(guān)于AD的對稱AED然后只需證DM=1EG另21外由求證的結(jié)果AM=(AB+AC，即2AM=AB+AC2也可嘗試作AC岷于CM勺對稱FCM然后只需證DF=CFffl可。練習(xí)：.已知：在ABC,AB=5AC=3D是BC中點(diǎn)，AE是/BAC的平分線，且CELAE于E,連接DE求DE.已知BEBF分別是ABC勺/ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFBF于F,AEBE于E,連接EF分另U交ABAC于MN,求證MN=1BC2（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平

41、行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1例4如圖，ABAC,/1=/2,求證：AACBD-CD如圖，BCBABD平分/ABC且AD=CD求證：/A+/C=18Q例6如圖，AB/CDAEDE分另I平分/BAD&/ADE求證：AD=AB+GD練習(xí):1.已知，如圖，/C=2ZA,AC=2BC求證：ABCg直角三角形。2,已知：如圖，AB=2AC/1=/2,DA=DB求證：DC!AC.已知CEAD是ABC勺角平分線，/B=60,求證：AC=AE+CD.已知：如圖在ABC,/A=90,AB=ACBD是

42、/ABC的平分線，求證：BC=AB+AD三由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再

43、運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖1-1:D、E為4ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）A將DE兩邊延長分別交ABAC于MN,/MDE.N在AAMhfr,AM+ANMD+DE+N3;)在ABDh/l,MB+MDBD(2)在CENfr,CN+NECE(3)由(1)+(2)+(3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE.AB+ACBD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,在ABF和GFCffiGDEt有：AB+AFBD+DG+GE角形兩邊之和大于第三邊）(DGF+FCGE+CE上)(2)DG+GED

44、加上)(3)由(1)+(2)+(3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+ACBD+DE4oEC在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1:已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：/BDCZBACo固因為/BDC與/BAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/BDC處于在外角的位置，/BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時/BDCgC!勺外角，丁./BD

45、CDEC同理/DECBAC:/BDCBAC證法二：連接AR并廷長交BC于F,這時/BD支ZXABD的外角，./BDF/BAD同理，/CDF/CAD./BDF+/CDF/BAD它CAD即：/BDC2BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1:已知AD為4ABC的中線，且/1=/2,/3=/4,求證：BE+CFEF。變:要證BE+CFEF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE,CF,EF移到同一個三角形中，而由已知/1=/2,

46、/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN,FN,EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NE，NF,貝UDN=DC在DBEffi4NDE中：DN=DB輔助線作法）/1=/2（已知）ED=ED（公共邊）.DB陷ANDE（SAS.BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在4EFN中EN+FNEF三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFEF注意：當(dāng)證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1:在4ABC中，ABAC/1=/2,P為AD上任

47、一點(diǎn)求證：AB-ACPB-RC分析|要證：AB-ACPB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AG彳#AB-AC=BN再連接PN則PC=PN又在PNB中，PB-PNPB-PC證明：（截長法）在AB上截取AN=Ad接PN,在AAPNffHAAPCAN=AC（輔助線作法）*/1=/2（已知）AP=AP（公共邊）.AP*AAPC（SAS,PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）在BPN,有PB-PNBN三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PCPM-P，角形兩邊之差小于第三邊）AB-ACPB-PC例1 .如圖,例2

48、如圖，在四邊形ABCg,AC平分/BADCHAB于E,AD+AB=2AE求證：/ ADC廿 B=1800例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=ACA=108,BD平分ABC求證：BC=AB+DC1于 M 且 AM=MB求證：CD=2 DRCD例4如圖，已知RtzXABC中，/ACB=90,AD是/CAB的平分線，DMLAB.如圖，AB/CDAEDE分另I平分/BAD#/ADE求證：AD=AB+GD.如圖，ABC,/BAC=90,AB=ACAE是過A的一條直線，且B,C在AE的異側(cè)，BDLAE于D,CELAE于E。求證：BD=DE+CE四由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線

49、。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1,AD是AABC的中線，WJSaabd=Saacf，SaABC（因為AABgAACD是等底同高的）。例1.如圖2,AABC中,AD是中線，延長AD到E,使DE=ADDF是ADCE的中線。已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。解：因為AD是AABC的中線，所以Saacd=-Saab（=-X2=1,又因CDA

50、ACE的中線，故Sacd=Saac=1,因DF是ACDE勺中線，所以SaCDF=-SaCDE=_X1=o222ACDFI勺面積為-0Z（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCDt,AB=CDE、F分別是BGAD的中點(diǎn)，BACD的延長線分別交EF的延長線GA求證：/BGE=CHE證明：連結(jié)BR并取BD的中點(diǎn)為M連結(jié)MEMF,.MEABCD勺中位線，.MEJCDMEFWCHE=2.MF是AABD勺中位線，.MF：AB,./MFEWBGE2vAB=CDME=MF./MEFWMFE從而/BGEWCHE（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知AABC中，AB=5AC=3連B

51、C上的中線AD=2求BC的長。解：延長AD至IE,使DE=AD貝UAE=2AD=22=4。在AAC的AEBD中，.AD=ED/ADChEDBCD=BD.AAC匪AEBD.AC=BE從而BE=AC=3在AABE中，因AJ+BE=42+32=25=AB,故/E=90,BD=J-3+口園9=JE十=Tb,故BC=2BD=2j。AD又是BC邊上的中圖5例4.如圖5,已知AABC中，AD是/BAC的平分線,線。求證：AABC是等腰三角形。證明：延長AD至IE,使DE=AD仿例3可證：ABE四ACAD故EB=AC/E=/2,又/1=/2,/1=/E,；AB=EB從而AB=AC即AABC是等腰三角形（四）、

52、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,已知梯形ABCD,AB/DC,ACLBC,ADLBD,求證：AC=BDo證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DECE，貝UDECE分另為RtAABDRtAABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB,因止匕/CDE=TDCE.AB/DC,./CDE=1,/DCE=2,./1=/2,在AAD百口ABCE中，.DE=CE/1=/2,AE=BEAAD竄ABCEAD=BC從而梯形ABC此等腰梯形，因止匕AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90,BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BR交BD的延長線

53、于點(diǎn)E。求證：BD=2CE證明：延長BACE交于點(diǎn)F,在ABEF和ABEC中，/1=/2,BE=BE/BEF玄BEC=90,.ABE/ABEG.EF=EC從而CF=2CE又/1+/f=/3+/F=90,故/1=/3。在AABD和AACF中，/1=/3,AB=AC顯/BADWCAF瀛=90,.AABDAACFBD=CF.BD=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段可得到全等三角形。例一：如圖4-1:AD為4ABC的中線，且/1=/2,/3=/4,求證：BE+CFEF證明：廷長ED至M,

54、使DM=DE連接CMMF在BDEffiACDh/l,收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除涵7-,再將端點(diǎn)連結(jié)，便BDi/舊M圖41BD=CD中點(diǎn)定義）：/1=/5（對頂角相等）ED=MD輔助線作法）二zBD陷ACDIM（SAJ5又=Z1=Z2,/3=/4（已知）Z1+Z2+Z3+74=180小角的定義）Z3+72=90即：/EDF=90丁./FDM=EDF=90在zED林口AMDFtED=MD輔助線作法）、/EDFWFDM（已證）DF=DF（公共邊）.ED/AMDF（SAS.EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）.在ACM葉,CF+CMM1角形兩邊之和大于第三邊）BE+CFEF上題也可加倍FD,證

55、法同上。而當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時，可通過延長加倍此線段,構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1:AD為4ABC的中線，求證：AB+AC2AD分析：要證AB+AC2AD由圖想至U：AB+BDAD,AC+CDAD以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2A仄邊比要證結(jié)論多BD+CD故不能直接證出此題，而由2AM到要構(gòu)造2AR即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長AD至E,使DE=AD連接BE,CE.AD為ABC的中線（已知）.BD=CD（中線定義）在/XACDBzEBD中BD=CD已證）/1=/2（對頂角相等）AD=ED（輔助線作法）.AC*zEBD（SAS.BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABE中有：AB+BEAE三角形兩邊之和大于第三邊）.AB+AC2AD練習(xí):1如圖，AB=qAC=8D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。2 如圖，AB=CD E為 BC的中點(diǎn)，/ BACW BCA 求證：AD=2AEEC3如圖，AB=ACAD=AEM為BE中點(diǎn)，/BACWDAE=90。求證：AMLD4,已知ABCAD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD5.已知：如圖AD為ABC勺中線，AE=EF