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1、5數(shù)據(jù)的數(shù)字特征平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差4.2規(guī)范差.問題引航1.如何求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差?2.利用它們進(jìn)行總體估計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)是什么?.1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差出現(xiàn)次數(shù)大小順序中間中間兩個(gè)數(shù)原數(shù)據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式最大值最大值最小值最小值.2.規(guī)范差與方差(1)方差的求法:規(guī)范差的平方s2叫做方差.s2=_,其中,xn是樣本數(shù)據(jù),n是樣本容量, 是樣本平均數(shù).(2)規(guī)范差的求法:規(guī)范差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,普通用s表示.s=_.1.判一判(正確的打“,錯(cuò)誤的打“)(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù).()(2)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)從不同的角度描畫
2、了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).()(3)極差不受極端值的影響.().【解析】(1)錯(cuò)誤.平均數(shù)不能夠大于每一個(gè)數(shù)據(jù).(2)正確.從平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的含義知正確.(3)錯(cuò)誤.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響.答案:(1)(2)(3).2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)某學(xué)校高一年級(jí)男生人數(shù)占該年級(jí)學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中,男、女生平均分?jǐn)?shù)分別是75,80,那么這次考試該年級(jí)學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為_.(2)某射手在一次訓(xùn)練中射擊的成果分別為9.4,9.4,9.4,9.6, 9.7,那么該射手成果的方差是_.(3)一個(gè)樣本按從小到大的順序陳列為10,12,13,x,
3、17,19,21, 24,其中中位數(shù)為16,那么x=_.【解析】(1)平均分?jǐn)?shù)= 75+ 80=78.答案:78(2) = (9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2= (9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2=0.016.答案:0.016(3)由題意知 =16,即x=15.答案:15.【要點(diǎn)探求】知識(shí)點(diǎn)1 對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差的了解極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、極差都是獨(dú)一的,眾數(shù)能夠不獨(dú)一.(2)求中位數(shù)時(shí),應(yīng)將數(shù)據(jù)按大小順序陳列,當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),中間的那個(gè)數(shù)
4、據(jù)就是中位數(shù);當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí),居于中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)才是中位數(shù).可見,中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)值.(3)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有多個(gè).(4)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系,任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的變動(dòng);眾數(shù)的大小只與這組數(shù)據(jù)的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān);中位數(shù)也只與少數(shù)的數(shù)據(jù)有關(guān);極差只與這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值有關(guān).【知識(shí)拓展】極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的作用(1)極差的大小可以反映該組數(shù)據(jù)分散的程度;眾數(shù)表達(dá)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),但它忽視了數(shù)據(jù)信息中的其他數(shù)據(jù);中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,它不受極端值的影響;平均
5、數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均程度,易受極端值的影響.(2)實(shí)踐問題中求得的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)應(yīng)帶上單位.【微思索】(1)在極差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)中哪些是一定出如今知數(shù)據(jù)的數(shù)?哪些不一定出如今知數(shù)據(jù)中?提示:眾數(shù)一定出如今知數(shù)據(jù)中;極差、平均數(shù)、中位數(shù)不一定出如今知數(shù)據(jù)中.(2)在極差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)中哪些反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)?哪些反映了數(shù)據(jù)的分散程度?提示:眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)都反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì);極差反映了數(shù)據(jù)的分散程度.【即時(shí)練】1.假設(shè)某校高一年級(jí)8個(gè)班參與合唱競(jìng)賽的得分如莖葉圖所示,那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是 ( )A91.5和91.5B91.5和92C91和91.
6、5D92和92.2.對(duì)甲、乙二人的學(xué)習(xí)成果進(jìn)展抽樣分析,各抽4門功課,得到的觀測(cè)值如下:問:甲、乙誰(shuí)的平均成果較好?甲65828085乙75657090.【解析】1.選A.中位數(shù)為 (91+92)=91.5;平均數(shù)為 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.2. (65+82+80+85)=78, (75+65+70+90)=75,.知識(shí)點(diǎn)2 對(duì)方差與規(guī)范差的了解規(guī)范差、方差的作用(1)規(guī)范差、方差描畫了一組數(shù)據(jù)圍繞著平均數(shù)動(dòng)搖的大小,規(guī)范差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;規(guī)范差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小(2)規(guī)范差、方差為0時(shí),闡明樣本數(shù)據(jù)全相等,數(shù)據(jù)沒有動(dòng)搖幅度和
7、離散性.【微思索】(1)在處理實(shí)踐問題時(shí),普通采用方差還是規(guī)范差?提示:方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后能夠放大了偏向的程度,所以在實(shí)踐問題中普通采用規(guī)范差.(2)在計(jì)算規(guī)范差時(shí),假設(shè)各樣本數(shù)據(jù)加上或減去一個(gè)常數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差的值會(huì)變化嗎?提示:不變,由于平均值和每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都加上或減去了同一個(gè)常數(shù),所以(xi )2的值不變,所以規(guī)范差不變.【即時(shí)練】1.樣本中共有5個(gè)個(gè)體,其值分別為a,0,1,2,3.假設(shè)該樣本的平均值為1,那么樣本方差為( )2.知一個(gè)樣本為x,1,y,5,其中x,y是方程組的解,那么這個(gè)樣本的規(guī)范差是( ).【解析】1.選D.由題可知樣本的平均值為1,所以 1,解得a1,
8、所以樣本的方差為 (11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.2.選D.由于xy2,x2y210,所以 (x1y5) (xy)62,s2 (x2)2(12)2(y2)2(52)2 (x2y2)4(xy)18 205,所以.【題型示范】類型一 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算及運(yùn)用【典例1】(1)為了普及環(huán)保知識(shí),加強(qiáng)環(huán)保認(rèn)識(shí),某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參與環(huán)保知識(shí)測(cè)試,得分(非常制)如下圖,假設(shè)所得分值的中位數(shù)為me,眾數(shù)為m0,平均值為 ,那么( ).Amem0 Bmem0 Cmem0 Dm0me .(2)據(jù)報(bào)道,某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下:職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)
9、理管理員職員人數(shù)11215320工資5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500.求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從5000元提升到20000元,董事長(zhǎng)的工資從5500元提升到30000元,那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么?(準(zhǔn)確到元)他以為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資程度?結(jié)合此問題談一談他的看法.【解題探求】1.題(1)圖中最高的直條對(duì)應(yīng)的得分是哪個(gè)數(shù)字特征?2.題(2)中3000位于表格中央,3000是不是中位數(shù)?【探求提示】1.是眾數(shù).最高的直條對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是10,其得分為5分,5分是眾數(shù).2.3000不是中位數(shù),應(yīng)該將33個(gè)數(shù)從小到大陳列,中間的數(shù)是中位數(shù).中位數(shù)是1500.【自主解答】(1)選D.由圖可知,30名學(xué)生的得分情況依次為:2個(gè)人得3分,3個(gè)人得4分,10個(gè)人得5分,6個(gè)人得6分,3個(gè)人得7分,2個(gè)人得8分,2個(gè)人得9分,2個(gè)人得10分.中位數(shù)為第15,16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù),即me=5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多,故m0=5, 于是得m0mes乙2,所以乙比甲成果穩(wěn)定,應(yīng)選乙參與競(jìng)賽.【巧妙解法】又根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的分布情況判別乙比甲穩(wěn)定.【方法對(duì)比】 求平均值常規(guī)法是將各個(gè)數(shù)字相加
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