BB6_5幾種常用的二次曲面與空間曲線

1、主講教師: 王升瑞高等數(shù)學 第二十一講1三、幾種常用的空間曲線第五節(jié)一、旋轉曲面 二、柱面幾種常用的二次曲面與空間曲線 第六章 2定義1. 一條平面曲線一、旋轉曲面 繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸 .例如 :3一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸4一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸5一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸6一、旋轉曲面定義

2、以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸7一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸8一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸9一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸10一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸11一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成

3、的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸12一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸13一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸14一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸15一、旋轉曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.這條定直線叫旋轉曲面的軸16下面我們重點討論母線在坐標面,軸是坐標軸的故旋轉曲面方程為當繞 z 軸旋轉時,若點給定 yoz 面上曲線

4、 C: 則有則有該點轉到建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:旋轉曲面.17同理：當曲線繞 y 軸旋轉時得旋轉曲面方程:例1. 旋轉拋物面特點:母線C為拋物線,軸L為拋物線的對稱軸。例如:將yoz平面上的拋物線C:繞z軸旋轉一周所產生的拋物面為:例如:將yoz平面上的拋物線C:繞 y 軸旋轉一周所產生的拋物面為:問:此曲線若繞x軸旋轉所得的是何圖形?18例2:其圖形頂點在z軸上(0,0,1)處,開口向下的旋轉拋物面.例3. 旋轉橢球面特點:母線C為橢圓,軸為橢圓的對稱軸.例如:yoz面上的橢圓:繞z軸旋轉得旋轉曲面方程:繞y軸旋轉得旋轉曲面方程:(0,0,1)注:旋轉曲面的重要特

5、征是其兩個變量的平方項系數(shù)相等.19例4. 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方20例5. 求坐標面 xoz 上的雙曲線分別繞 x軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解:繞 x 軸旋轉繞 z 軸旋轉這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為21二、柱面引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為故在空間過此點作圓柱面.對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點 其上

6、所有點的坐標都滿足此方程,22定義二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.23定義二、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.24定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面25定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面

7、的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面26定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面27定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面28定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面29定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這

8、條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面30定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面31定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面32定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面33定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的

9、曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面34定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.二、柱面35定義二、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準線，動直線 L 叫柱面的母線.36定義2.平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線

10、平行于C 叫做準線, l 叫做母線.37一般地,在三維空間曲面圖形的方程中缺少一個變量,柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線此方程表示柱面方程.其圖形平行于所缺變量對應的數(shù)軸.38注:柱面方程與坐標面上的曲線方程容易混淆,在不同的坐標系中應該注意。一般在xoy面上的曲線，在空間直角坐標系中應該表示為：而在空間坐標系中表示柱面。例如：拋物柱面在xoz平面上的準線L339三、幾種常用的空間曲線三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常

11、見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項系數(shù)不全為 0 )401、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距 .41例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解: (1) 根據(jù)第一方程引入參數(shù) , (2) 將第二方程變形為故所求為得所求為422、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為滿足（1）的數(shù)中的必滿足（2）式。這說明曲線

12、C上所有點都在（2）式所表示的曲面上。求其在 平面上的投影.432、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線 C 的一般方程為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程44例2C 在xoy 面上的投影曲線方程為（1）（2）（3）代入（1）整理得求曲線C在xoy 面上的投影曲線方程。為投影柱面，45例3所圍的立體在xoy 面上的投影上半球面和錐面在 xoy 面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .區(qū)域為:46例4求曲線繞 z 軸旋轉的曲面與平面 的交線在 xoy 平面的投影曲線方程. 解：旋轉曲面方程為交線為此曲線向 xo

13、y 面的投影柱面方程為 此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為 ,它與所給平面的47 (2)(1)展示空間圖形48(3)4950思考:交線情況如何?交線情況如何?5152內容小結1. 空間曲面三元方程 球面 旋轉曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .532. 二次曲面三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 54 空間曲線三元方程組或參數(shù)方程 求投影曲線 (如, 圓柱螺線)3、幾種常用的空間曲線55斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面思考與練習1. 指出下列方程的圖形:56P4