廣東省屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練：立體幾何

1、廣東省2017屆高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練立體幾何一、選擇、填空題1、（2016年全國(guó)I卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是EQ F(28,3)，則它的表面積是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 2、（2016年全國(guó)I卷）平面過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，則m，n所成角的正弦值為（A） （B） （C） （D）3、（2015年全國(guó)I卷）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意

2、思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛4、（2015年全國(guó)I卷）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（A）1（B）2（C）4（D）85、（2016年全國(guó)II卷）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（A）20 （B）24

3、 （C）28 （D）326、（佛山市2016屆高三二模）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖 2 所示,則該幾何體的體積為( )ABCD27、（廣州市2016屆高三二模）如圖, 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為, 粗實(shí)線畫(huà)出 的是某幾何體的三視圖, 則該幾何體的體積是(A) (B) (C) (D) 8、（茂名市2016屆高三二模）若幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為 ( ) A. B. C D9、（汕頭市2016屆高三二模）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)都為，則它的外接球的體積為 ( )A. B. C. D. 10、（深圳市2016屆高三二模）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三

4、視圖，則它的體積為（ ）A B C D11、（汕頭市2016屆高三上期末）已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列命題：若，則； 若，則； 若，則； 若，且，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是 （ ） A0B1C2D312、（汕尾市2016屆高三上期末）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為 ( )二、解答題1、（2016年全國(guó)I卷）ABFEDC如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是（I）證明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值2、（2016年全國(guó)II卷）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線

5、AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到的位置.（ = 1 * ROMAN I）證明：平面ABCD；（ = 2 * ROMAN II）求二面角的正弦值.3、（2015年全國(guó)I卷）如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）證明：平面AEC平面AFC（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值 4、（2014年全國(guó)I卷）如圖三棱柱中，側(cè)面為菱形，.() 證明：；（）若，AB=BC求二面角的余弦值.5、（佛山市2016屆高三二模）如圖，在直四棱柱中，（1）求證

6、：平面平面；（2）若,直線BC與平面A1BD所成的角能否為45？并說(shuō)明理由6、（廣州市2016屆高三二模）如圖，在多面體中，是等邊三角形，是等腰直角三角形， ，平面平面，平面. ()求證：； ()若，求直線與平面所成角的正弦值.7、（茂名市2016屆高三二模）如圖1，已知四邊形為菱形，且,為 的中點(diǎn)?，F(xiàn)將四邊形沿折起至，如圖2。（I）求證：（II）若二面角的大小為，求平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值。8、（深圳市2016屆高三二模）在三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方體點(diǎn)分別在線段上，且（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值9、（潮州市2016屆高三上期末）如圖，在四棱

7、錐BACDE中，AE平面ABC，CDAE，ABC3BAC90，BFAC于F，AC4CD4，AE3。（I）求證：BEDF；（II）求二面角BDEF的平面角的余弦值。10、（佛山市2016屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一）如圖，三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，為棱的中點(diǎn)，在棱上，面（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值11、（惠州市2016屆高三第三次調(diào)研考試）如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，分別是的中點(diǎn)。（）證明：平面；（）取，若為上的動(dòng)點(diǎn)，與面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。參考答案一、選擇、填空題1、【答案】A【解析】試題分析：由三視圖知：該幾何體是個(gè)球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積

8、是，故選A2、【答案】A如圖所示：，若設(shè)平面平面，則又平面平面，結(jié)合平面平面，故同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小而（均為面對(duì)交線），因此，即故選A3、【答案】B考點(diǎn)：圓錐的體積公式4、【答案】B5、【解析】C幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長(zhǎng)為，圓錐母線長(zhǎng)為，圓柱高為由圖得，由勾股定理得：，故選C6、B 7、B 8、答案A，提示：由幾何體的三視圖知它是底面是正方形且有一側(cè)棱垂于底面的四棱錐，可把它補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，所以，它的外接球表面積為 9、A10.【答案】D【解析】該幾何體的直觀圖，如圖：，11、C12、A二、解答題1、為正方形面面平面平面由知平面

9、平面平面平面面面四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) ，設(shè)面法向量為.，即設(shè)面法向量為.即設(shè)二面角的大小為.二面角的余弦值為2、【解析】證明：，四邊形為菱形，；又，又，面建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)面法向量，由得，取，同理可得面的法向量，3、【答案】（）見(jiàn)解析（），EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F(xiàn)（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 12

10、分考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力4、【解析】：()連結(jié)，交于O，連結(jié)AO因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且O為與的中點(diǎn)又，所以平面，故又，故 6分（）因?yàn)榍襉為的中點(diǎn)，所以AO=CO又因?yàn)锳B=BC，所以故OAOB，從而OA，OB，兩兩互相垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，OB為單位長(zhǎng)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-因?yàn)?，所以為等邊三角形又AB=BC，則，設(shè)是平面的法向量，則，即 所以可取設(shè)是平面的法向量，則，同理可取則，所以二面角的余弦值為.5、【解析】（1）證明：， 為正三角形， ,為公共邊，,四棱柱是直四棱柱，平面，平面平面，平面平面（2） 設(shè)

11、ACBD= O ,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O- xyz 如圖所示,不妨設(shè) AB = 2 , AA1 = h ( h 0 ),則 OA = , OB = OD = OC = 1 ,設(shè)平面 A1 BD 的法向量為 n = ( x, y, z ) ,則若直線BC 與平面 A1 BD 所成的角為45 ,則故直線BC 與平面 A1 BD 所成的角不可能為45 .12 分6、()證明：取的中點(diǎn),連接,. 是等邊三角形， . 1分 是等腰直角三角形， . 2分 平面平面，平面平面，平面， 平面. 3分 平面, . ,四點(diǎn)共面. 4分 ,平面,平面, 平面. 5分 平面, . 6分()解法1: 作,垂足

12、為,則. 是等邊三角形，, ,. 在Rt中, .7分 是等腰直角三角形， . 8分如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸, 所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,. ,.設(shè)平面的法向量為,由,得 9分令,得,. 是平面的一個(gè)法向量. 10分設(shè)直線與平面所成角為,則. 11分直線與平面所成角的正弦值為. 12分解法2: 作,垂足為,則. 是等邊三角形，, ,. 在Rt中, . 7分 是等腰直角三角形， .8分 由()知， 平面,平面, 平面. 點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.作,垂足為,平面，平面，.平面,平面,平面,且. 9分在Rt中, 在Rt中, 的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由

13、, 得,得. 10分設(shè)直線與平面所成的角為,則. 11分直線與平面所成角的正弦值為. 12分注:求的另法.由,得,得.7、解：(1)證明: 四邊形為菱形，且 1分 又 3分 又4分5分 (注：三個(gè)條件中，每少一個(gè)扣1分)(2)解法一:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以線段所在直線為軸,再以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面且向上的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.平面,為二面角的一個(gè)平面角,6分則,7分則.設(shè),則由得 解得8分那么.設(shè)平面的法向量為,則,即.即. 9分而平面的一個(gè)法向量為. 10分設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為 則. 11分所以平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值為12分解法二:分別取中點(diǎn),連結(jié)

14、.由平面,可知為二面角的平面角,即有.6分 為中點(diǎn),.,平面.則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如右圖.則由條件,易得,.7分再設(shè),而,則由,有,得.由,可得.將帶入,可得,即,8分則.而,設(shè)平面法向量為,則,即.令,得,即.9分而平面的一個(gè)法向量為.10分設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為 則.11分所以平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值為12分解法三:過(guò)點(diǎn)作且至點(diǎn),延長(zhǎng)至點(diǎn),使.連結(jié),則為三棱柱.延長(zhǎng)交于點(diǎn),連結(jié)由三棱柱性質(zhì),易知,則平面.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)作于點(diǎn).平面,平面,即,.,平面,故為平面與平面所成銳二面角的一個(gè)平面角,即為平面與平面所成銳二面角的一個(gè)平面角

15、. 8分易得,即為正三角形.,.,則,故.,.故,11分即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.12分8、【解析】（1）取線段中點(diǎn)，連接， 在正方體中， 在和中， 又， ， 從而， ，即 又， 平面， 平面， ， 在等腰三角形中，又與相交，知平面，平面，平面平面；（2）在等腰三角形中，由知，且，記線段中點(diǎn)為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，從而得到平面的一個(gè)法向量，記直線與平面所成角為，則故直線與平面所成角的正弦值為9、方法一：（）證明：AE平面ABC，平面ABCAEBF，BFAC，BF平面AEC，平面

16、AEC，BFDF，.2分，又，又BFAC，又CDAE，AE平面ABC，CD平面ABC又平面ABCCDAC，又，即DFEF.4分又，BF、平面BEFDF平面BEF，平面BEFDFBE；6分（）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接由（）知BF平面AEC，又平面AEC，(所以又，、平面，所以平面又平面，)所以(三垂線定理)故二面角的平面角8分在中，在中，.9分在中，由得10分在中，在中，11分所以二面角的平面角的余弦值為. .12分方法二：過(guò)F作，由AE平面ABC可知Fz平面ABC，又、平面ABC，于是，又BFAC，BF、AC、Fz兩兩垂直以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）7

17、分由()可得于是，由()知是平面的一個(gè)法向量設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，則 取，得到10分，11分又二面角是銳二面角二面角的平面角的余弦值為. .12分方法二：()證明：過(guò)F作，由AE平面ABC可知Fz平面ABC，又、平面ABC，于是，又BFAC，BF、AC、Fz兩兩垂直 以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A、FB、Fz依次為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）1分， 3分于是， 故 所以DFBE.6分；()由()知，于是，所以，又FBAC 所以是平面的一個(gè)法向量.8分設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，則 取，得到.10分 又二面角是銳二面角 二面角的平面角的余弦值為. 12分10、【解析】向量法()連結(jié),因?yàn)闉檎?/p>

18、角形,為棱的中點(diǎn), 所以,從而,又面面,面面,面,所以面.1分以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,2分不妨設(shè),則,設(shè),則,3分因?yàn)槠矫?平面,所以,所以,解得,即,所以為的中點(diǎn).5分 (), 設(shè)平面的法向量為,則,即,解得, 令,得,9分 顯然平面的一個(gè)法向量為,10分 所以,所以二面角的余弦值為.12分傳統(tǒng)法()設(shè),由,所以,因?yàn)槠矫?平面,所以,從而,所以,所以,故,所以為的中點(diǎn).5分()連結(jié),由可得為正三角形,取中點(diǎn),連結(jié),則, 因?yàn)槊婷?面面,面,所以面.7分作于,連結(jié),則,所以是二面角的平面角.9分經(jīng)計(jì)算得,所以二面角的余弦值為.12分11、解：（）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以（1分） 又，因此 （2分）因?yàn)槠矫?，平面，所?（3分）而平面，平面，所以平面 （5分）（）（法1：為上任意一點(diǎn)，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角 （6分）在中，所以當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大