北京四中學初三上期中考試數(shù)學試卷含詳細答案

1、2017屆北京四中九年級上學期期中考試數(shù)學試卷（時間：120分鐘總分：120分）姓名：班級：一、選擇題(本題共30分，每小題3分)1剪紙是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，下列剪紙作品中是中心對稱圖形的是（）A B C D2在RtABC中，C90，若BC1，AC2，則sinA的值為（ ） ABCD23將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到的拋物線是（ ）A BC D4如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角ACD為45，則調(diào)整后的樓梯AC的長為（）A2m B2m C（22）m D（22）m5如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過平移得到拋物

2、線，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積是( ) A2 B. 4 C. 8 D. 166如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則ABC的正切值是（）A2BCD7如圖，將線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AB，則A（2，5）的對應點A的坐標是（）A（2，5） B（5，2） C（2，5） D（5，2）8某拋物線的頂點為（2，1），與x軸相交于P、Q兩點，若此拋物線通過（1，a）、（3，b）、（1，c）、（3，d）四點，則a、b、c、d中最大值是（）Aa Bb Cc Dd9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a0）中的x與y的部分對應值如下表：x101

3、3y1353下列結(jié)論：（1）ac0；（2）拋物線頂點坐標為（1，5）；（3）3是方程ax2+（b1）x+c=0的一個根；（4）當1x3時，ax2+（b1）x+c0其中正確的個數(shù)為（）A4個B 3個C 2個D 1個10.二次函數(shù)滿足以下條件：當時，它的圖象位于x軸的下方；當時，它的圖象位于x軸的上方，則m的值為（ ） A8BCD二、填空題（本題共18分，每小題3分）11若,則.12已知拋物線的對稱軸為直線x2，與x軸的一個交點為（1，0），則它與x軸的另一個交點為13長方體底面周長為50cm，高為10cm則長方體體積y關(guān)于底面的一條邊長x的函數(shù)解析式是.其中x的取值范圍是.14將含有30角的直角

4、三角板OAB如圖放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA=2，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75，則點A的對應點A的坐標為_.第14題 第15題15兩個全等的三角尺重疊放在ACB的位置，將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點F已知ACB=DCE=90，B=30，AB=8cm，則CF=_ cm16定義：直線y=ax+b(a0)稱作拋物線y=ax2+bx(a0)的關(guān)聯(lián)直線. 根據(jù)定義回答以下問題：(1)已知拋物線y=ax2+bx(a0)的關(guān)聯(lián)直線為y=x+2, 則該拋物線的頂點坐標為_；(2)當a=1時, 請寫出拋物線y=ax2+bx與其

5、關(guān)聯(lián)直線所共有的特征（寫出一條即可）：_.三、解答題（本題共72分，第23題6分，第26題4分，第27題7分，第28題7分，第29題8分，其余每小題5分）17計算: 20160+sin45+tan6018如圖，在ABC中，AB=12，BC=15，ADBC于點D，BAD=30求tanC的值19如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB=800米，BC=200米，坡角BAF=30，CBE=45（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF（1.414，CF結(jié)果精確到米）20已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點 （1）求二次函數(shù)的解析式；

6、 （2）求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標； （3）將（1）中求得的函數(shù)解析式用配方法化成的形式21如圖，平面直角坐標系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，ABC的三個頂點的坐標分別為A（1，3），B（4，0），C（0，0）（1）畫出將ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的A1B1C1；（2）畫出將ABC繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90得到A2B2O；（3）在x軸上存在一點P，滿足點P到A1與點A2距離之和最小，請直接寫出P點的坐標22已知：如圖，四邊形ABCD中，AC90，D60，AB3，求BC的長23. 某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價

7、是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元. 設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數(shù)），月銷售利潤為y元.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？（3）每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？24. 設(shè)二次函數(shù)的圖象為C1二次函數(shù)的圖象與C1關(guān)于y軸對稱 （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）當0時，直接寫出的取值范圍； （3）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為點A，與y軸的交點為點B，一次函數(shù)( k，m為常數(shù)，k0)的圖象經(jīng)過A，B兩點，當

8、時，直接寫出x的取值范圍25如圖，設(shè)ABC和CDE都是正三角形，且EBD70o，求AEB的度數(shù)。26.閱讀材料，解答問題1231123xy例：用圖象法解一元二次不等式：解：設(shè)，則是的二次函數(shù)拋物線開口向上又當時，解得由此得拋物線的大致圖象如圖所示觀察函數(shù)圖象可知：當或時，的解集是：或（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：的解集是_；（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式： QUOTE 27拋物線（m0）與x軸的交點為A，B（1）求拋物線的頂點坐標；（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點當m1時，求線段AB上整點的個數(shù)；若拋物線在點A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個整

9、點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍28閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=3 ，PB=4，PC=5，求APB的度數(shù).小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造APC，連接PP，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決請你回答：圖1中APB的度數(shù)等于 . 參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=，PB=1，PD=，求APB的度數(shù)和正方形的邊長；（2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點P，且PA=2，PB=1，PF=，直接寫出APB的度數(shù)等于_，正六邊形的邊長為_29閱讀：我們約定，在平面直角坐

10、標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將OAP沿著OP折疊，點A落在點A的位置，當點A在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？詳細答案部分1.考點

11、：中心對稱與中心對稱圖形試題解析：根據(jù)中心對稱圖形定義判斷即可.答案：C 2.考點：解直角三角形試題解析：根據(jù)勾股定理可求出AB=，再根據(jù)正弦值的定義可求sinA的值為.答案：A 3.考點：二次函數(shù)圖像的平移試題解析：根據(jù)“上加下減，左加右減”的二次函數(shù)平移法則即可.解：將拋物線向右平移1個單位得，再向上平移3個單位得.答案：B 4.考點：解直角三角形試題解析：根據(jù)正弦值的定義可求AD=ABsin60=2，傾斜角ACD為45時AC= =2m答案：B 5.考點：二次函數(shù)圖像的平移試題解析：根據(jù)拋物線解析式計算出的頂點坐標，過點C作CAy軸于A，根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影面積等于矩形ACBO面積，

12、然后求解即可.解：過點C作CAy，頂點C坐標為（2，-2），對稱軸與兩段拋物線圍成的陰影部分面積為：22=4 答案：B 6.考點：直角三角形與勾股定理銳角三角函數(shù)試題解析：連接AC，根據(jù)網(wǎng)格特點和正方形性質(zhì)得到BAC=90，根據(jù)勾股定理求出AC、AB，根據(jù)正切的定義計算即可.解：連接AC，由網(wǎng)格特點和正方形性質(zhì)得到BAC=90，根據(jù)勾股定理得：AC= AB=2則tanABC= 答案：D 7.考點：圖形的旋轉(zhuǎn)試題解析：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知ABOABO， AO=AO，AOA=90，作ACy軸于C，ACx軸于C，可得ACOACO就可得出AC=AC，CO=CO，由A坐標可得結(jié)論.解：線段AB繞點O順時針旋

13、轉(zhuǎn)90得到線段AB，ABOABO，AOA=90，AO=AO，作ACy軸于C，ACx軸于C，AOA=AOC+COA=90，COC=COA+AOC=90AOC=AOC，ACOACO（AAS）AC=AC,CO=COA（2，5）AC=2，CO=5AC=2，CO=5A（5,2） 答案：B 8.考點：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)試題解析：根據(jù)拋物線頂點可知對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱性可知：（1，a）、（3，b）關(guān)于對稱軸x=2對稱，故a=b；由于拋物線與x軸相交于P、Q兩點，故拋物線開口向上，對稱軸的左側(cè)拋物線為減函數(shù)，故點（1，a）、（1，c）、（3，d）在左側(cè)拋物線上，因-3-11，故dca，故a、b、c、d

14、中最大值是d.答案：D 9.考點：二次函數(shù)圖像與a,b,c的關(guān)系試題解析：根據(jù)已知可得拋物線經(jīng)過點（-1，-1）、（0,3）、（1,5）可求拋物線解析式為：y=-x2+2x+3，故可判斷（1）正確，（2）錯誤；由解析式可知a=-1，b=3，c=3，代入方程ax2+（b1）x+c=0，得-x2+2x+3=0，可判斷3是方程的根，（3）正確；由拋物線y=-x2+2x+3開口向下，與x軸交點為-1與3，可知當1x3時，ax2+（b1）x+c0，故（4）正確.（1）（3）（4）正確，故選擇B.答案：B 10.考點：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)試題解析：根據(jù)拋物線的頂點式得到對稱軸為直線x=2，由于在這一段的

15、圖象位于x軸的下方，根據(jù)拋物線的對稱性可知這一段的圖象位于x軸的下方，而當時，它的圖象位于x軸的上方，故拋物線過點（6,0），代入二次函數(shù)可求m=-24.答案：D 11.考點：銳角三角函數(shù)試題解析：設(shè)對邊BC=x，根據(jù)，可知AC=2x，根據(jù)勾股定理可求AB= ，再根據(jù)正弦三角函數(shù)定義可求 答案： 12.考點：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)試題解析：根據(jù)拋物線的對稱性可知另一個交點為2+2-（-1）=5，即另一交點為（5,0）.答案：(5,0) 13.考點：二次函數(shù)表達式的確定試題解析：長方體底面周長為50cm，底面的一條邊長x底面的另一條邊長（25-x），根據(jù)題意得出：,答案：, 14.考點：解直角三

16、角形圖形的旋轉(zhuǎn)試題解析：如圖所示：過點A作ACOB， 將三角板原點O順時針旋轉(zhuǎn)75，AOA=90，OA=OACOA=45OC= ，CA=A坐標為（）答案： 15.考點：圖形的旋轉(zhuǎn)試題解析：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出DC=AC，D=CAB，再利用已知角度得出AFC=90，再利用直角三角形的性質(zhì)得出FC的長.解：將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，DC=AC，D=CAB，ACB=DCE=90，B=30，D=CAB=60， ACF=30，可得AFC=90，AB=8cm，AC=4cmFC=4cos30=2（cm）答案： 16.考點：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)試題解析：

17、拋物線y=ax2+bx(a0)的關(guān)聯(lián)直線為y=x+2,拋物線為：y=x2+2x，y=x2+2x=（x+1）2-1，拋物線的頂點坐標為（-1，-1）（2）拋物線y=ax2+bx與其關(guān)聯(lián)直線恒過點（1,1+b）；拋物線y=ax2+bx與其關(guān)聯(lián)直線恒過點（-b,0）；拋物線y=ax2+bx與其關(guān)聯(lián)直線恒有一個交點在x軸上；當x 時，拋物線y=ax2+bx與其關(guān)聯(lián)直線均是從左到右呈上升趨勢；答案：（1，1）；如：過點（1,1+b）（不唯一） 17.考點：二次函數(shù)圖像的平移試題解析：（1）求出拋物線C1的頂點坐標，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同求出拋物線C2的頂點坐標，然后利用頂點

18、式形式寫出即可；（2）作出函數(shù)圖像，然后根據(jù)圖形寫出y2的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)圖像寫出拋物線C2在直線AB的下方部分的x的取值范圍即可；解：（1）二次函數(shù)圖象的頂點，關(guān)于y軸的對稱點坐標為， 所求的二次函數(shù)的解析式為，即（2）如圖，-3x0時，y2的取值范圍為：3 （3）y2y3時，答案：見解析 18.考點：實數(shù)運算試題解析：原式 答案： 19.考點：解直角三角形試題解析：ADBC于點D，ADB=ADC=90在RtABD中，AB=12，BAD=30，BD=AB=6， AD=ABcosBAD =12cos30=BC=15，CD= BCBD=156=9在RtADC中，tanC= =答案： 20

19、.考點：解直角三角形的實際應用試題解析：（1）作BHAF于H，如圖，在RtABF中根據(jù)正弦定義可算出BH的長從而得到EF的長；（2）先在RtCBE中利用CBE的正弦計算出CE，然后計算CE和EF的和即可.解：（1）作BHAF于H，如圖，在RtABF中，sinBAH=，BH=800sin30=400，EF=BH=400m；（2）在RtCBE中，sinCBE=，CE=200sin45=100141.4，CF=CE+EF=141.4+400541（m）答：AB段山坡高度為400米，山CF的高度約為541米 答案：541米 21.考點：二次函數(shù)的概念及表示方法二次函數(shù)表達式的確定試題解析：（1） 二次

20、函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，5)， 二次函數(shù)的解析式為（2） 令，則有解得， 二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標為和（3） 答案：(1) (2) 和 (3) 22.考點：圖形的旋轉(zhuǎn)圖形的平移試題解析：（1）分別將點A、B、C向上平移1個單位，再向右平移5個單位，然后順次連接；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C以點O為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)90后的對應點，然后順次連接即可；（3）利用最短路徑問題解決，首先作A1點關(guān)于x軸的對稱點A3，再連接A2A3與x軸的交點即為所求.解：（1）如圖所示，A1B1C1為所求做的三角形；（2）如圖所示，A2B2O為所求做的三角形；（3）A2坐標為（3，1），A3坐標為（4，4

21、），A2A3所在直線的解析式為：y=5x+16，令y=0，則x=，P點的坐標（，0） 答案：見解析 23.考點：直角三角形與勾股定理試題解析：延長AD與BC，兩延長線交于點E，由B=D=90，A=60，可得到E=30，在直角三角形CDE中，利用30所對的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)CD的長求出DE的長，同理在直角三角形ABE中，由AB的長求出AE的長，用AE-DE求出AD的長，用BE-CE求出BC的長即可.解：延長AD與BC，兩延長線交于點E，B =90，A=60，E=30，在RtCDE中，CD=1，CE=2CD=2，根據(jù)勾股定理得：DE= 在RtABE中，AB= ，AE=2AB=2，根據(jù)勾股定

22、理得：BE= 則BC=BE-CE=3-2=1，AD=AE-DE=2-= 答案：BC= 1，AD= 24.考點：二次函數(shù)與一元二次方程試題解析：(1)根據(jù)利潤=數(shù)量每件的利潤就可以求出關(guān)系式；(2)當y=2520時代入（1）的解析式就可以求出結(jié)論；(3)根據(jù)）（1）的解析式，將其轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.解：（1）依題意得每件玩具售價不能高于40元自變量x的取值范圍是0 x10且x為正整數(shù)；（2）當y=2520時，得解得x1=2，x2=11 因為0 x10，所以x2=11 不合題意，舍去； 當x=2時，30+x=32（元） 所以，每件玩具的售價定為32元時，月銷售利

23、潤恰為2520元；（3） a=-100 當x=6.5時，y有最大值為2722.5 0 x10 (1x10也正確)且x為正整數(shù)當x=6時，30+x=36，y=2720（元）當x=7時，30+x=37，y=2720（元）所以，每件玩具的售價定為36元或37元時，每個月可獲得最大利潤.最大的月利潤是2720元答案：見解析 25.考點：等邊三角形全等三角形的判定試題解析：由題中條件可得ACEBCD，得出DBC=CAE，進而通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出結(jié)論.解：ABC和CDE都是正三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=60，又ACB=ACE+BCE，ECD=BCE+BCD，BCD=ACE，ACEBC

24、D，DBC=CAE，70-EBC=60-BAE，又EBC=60-ABE70-（60-ABE） =60-BAE，ABE+BAE=50AEB=180-（ABE+BAE）=130答案：130 26.考點：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)試題解析：（1）觀察圖像可得一元二次不等式：的解集是1x3（2） ，則是的二次函數(shù).a=-10，拋物線開口向下又當y=0時，解得x1=1，x2=3由此的拋物線的大致圖像為： 當y0時，即，解集為x3.答案：（1）-1x3 （2）x3 27.考點：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)試題解析：（1）利用配方法即可解決問題；（2）m=1代入拋物線解析式，求出A、B兩點坐標即可解決問題根據(jù)題意判斷

25、出點A的位置，利用待定系數(shù)法確定m的范圍.解：（1）將拋物線表達式變?yōu)轫旤c式，則拋物線頂點坐標為（1，-1）；（2）m=1時，拋物線表達式為，因此A、B的坐標分別為（0，0）和（2，0），則線段AB上的整點有（0，0），（1，0），（2，0）共3個； 拋物線頂點為（1，-1），則由線段AB之間的部分及線段AB所圍成的區(qū)域的整點的縱坐標只能為-1或者0，所以即要求AB線段上（含AB兩點）必須有5個整點；又有拋物線表達式，令y=0，則，得到A、B兩點坐標分別為（，0），（，0），即5個整點是以（1，0）為中心向兩側(cè)分散，進而得到， 答案：見解析 28.考點：四邊形綜合題試題解析：閱讀材料：把APB

26、繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到ACP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA=PA，PC=PB，PAP=60，然后求出APP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出PP=PA=3，APP=60，再利用勾股定理逆定理求出PPC=90，然后求出APC，即為APB的度數(shù)；（1）把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到ADP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA=PA，PD=PB，PAP=90，然后判斷出APP是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PP，APP=45，再利用勾股定理逆定理求出PPD=90，然后求出APD，即為APB的度數(shù)；再求出點P、P、B三點共線，過點A作AEPP于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE=PE=PP，然后求

27、出BE，在RtABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；（2）把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得到AFP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA=PA，PF=PB，PAP=120，然后求出APP是底角為30的等腰三角形，過點A作AMPP于M，設(shè)PP與AF相交于N，求出AM=1，再求出PP，APP=30，再利用勾股定理逆定理求出PPF=90，然后求出APF，即為APB的度數(shù)；根據(jù)PF、AM的長度得到PF=AM，利用“角角邊”證明AMN和FPN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=FN，PN=MN，然后求出MN，在RtAMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可解：閱讀材料：把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到ACP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PA=3，PD=PB=4，PAP=60，APP是等邊三角形，PP=PA=3，APP=60，PP2+PC2=32+42=25，PC2=52=25，PP2+PC2=PC2，PPC=90，APC=APP+PPC=60+90=150；故APB=APC=150； （1）如圖3，把APB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到ADP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PA=PA=2，PD=PB=1，PAP=90，APP是等腰直角三角形，PP=PA=2=4，APP=45，PP2+PD2=42+12=17=PD2，PPD=90，APD=APP+PPD=45+90=135，故