教學論文-淺析數(shù)學建模思想在初中教學中的滲透

1、數(shù)學建模思想在初中數(shù)學教學中的滲透作者：鄭淼 摘要：在初中數(shù)學教學中逐步滲透數(shù)學建模思想，通過數(shù)學建模模型的學習來解決數(shù)學中的實際問題，從而讓學生認識到數(shù)學這門學科與生活是緊密聯(lián)系的，激發(fā)學生求知欲望，培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識；同時引導學生建立數(shù)學模型能夠有效的提升學生面對新問題時，分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)學建模思想能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性，對促進中學數(shù)學教學改革，全面推進中學數(shù)學素質(zhì)教育有重要意義。關鍵詞：數(shù)學建模 數(shù)學素養(yǎng) 解決問題 轉(zhuǎn)化 能力一、有感數(shù)學建模 本人雖然從事教學工作時間不長，但是在初中數(shù)學教學中非常注重數(shù)學思想方法的教學，大學時期我參加了學校

2、的數(shù)學建模社團從而讓我對數(shù)學建模思想的認識比較深刻。在初中階段數(shù)學中主要的思想方法有是函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、數(shù)學建模等等，我個人認為函數(shù)與方程本質(zhì)上就是一類數(shù)學模型，建模思想在解決實際問題時涵蓋了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化這些思想方法。熟練掌握數(shù)學建模思想可以讓我們在數(shù)學的王國里任意馳騁，對一些實際應用題、綜合創(chuàng)新類題目迎刃而解，學生就不會再害怕遇到新問題。然而建模思想在教學中卻不太容易滲透，很多教師因為自身對建模思想體會有限而并不太重視這一思想方法，還有一些教師能夠意識到這一思想的重要性，但在滲透這一思想時則趨向于形式化，比較空洞。初中數(shù)學的教學本質(zhì)上就是數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，所謂數(shù)學素養(yǎng)就

3、是用數(shù)學的方式去思維，去面對問題解決問題，用數(shù)學的眼光去觀察世界。二、如何在教學中有效滲透數(shù)學建模思想那么如何在教學中有效滲透數(shù)學建模思想？（1）首先應該把握初中階段我們所接觸的常用模型。1、方程（組）模型方程（組）是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系最基本的數(shù)學模型，求解此類問題的關鍵是：針對給出的實際問題，設定合適的未知數(shù)，找出相等關系，但要注意驗證結(jié)果是否符合實際問題的意義。例：某中學組織初一學生春游,原計劃租用45座客車若干輛,但有15人沒有座位;若租用同樣數(shù)量的60座客車,則多出了一輛車,且其余客車恰好坐滿.已知45座客車日租金為每輛220元, 60座客車日租金為每輛300元,試問:(1)初一年級

4、的人數(shù)是多少?原計劃租用45座客車多少輛?(2)若租用同一種車,要使每位同學都有座位,怎樣租用更合算?2、不等式模型現(xiàn)實世界中不等關系是普遍存在的，許多現(xiàn)實問題很難確定（有時也不需要確定）具體的數(shù)值。但可以求出或確定這一問題中某個量的變化范圍，從而對所有研究問題的面貌有一個比較清楚的認識。例：去年城區(qū)平均每天產(chǎn)生垃圾700噸，由甲、乙兩個垃圾處理廠處理。甲廠每小時可處理垃圾55噸，需費用550元；乙廠每小時可處理垃圾45噸，需費用495元。1、由甲乙兩廠同時處理東城區(qū)的垃圾，每天需幾小時完成？2、如果規(guī)定每天用于處理垃圾的費用不得超過7370元，甲廠每天處理垃圾至少需要多少小時？3、幾何模型諸

5、如臺風、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算，作物栽培等傳統(tǒng)的應用問題，涉及一定圓形的性質(zhì)，常需要建立相應的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。例：在臺風“麥莎”的襲擊中，一棵大樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處。這棵樹折斷之前有多高？4、函數(shù)模型新課標提出，能用適當?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實際問題中變量之間的關系變化，結(jié)合對函數(shù)關系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進行初步預測，能用一次函數(shù)，二次函數(shù)等來解決簡單的實際問題。在學習了正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，學生的頭腦中已經(jīng)有了這些函數(shù)的模型。因此，一些實際問題就可以通過建立函數(shù)模型來解

6、決。例：如圖的拋物線形拱橋,當水面在 時,拱橋頂離水面 2 m,水面寬 4 m,水面下降 1 m, 此時水面寬度為多少？水面寬度增加多少 ?5、統(tǒng)計模型在當前的經(jīng)濟生活中，統(tǒng)計知識的應用越來越廣泛。而數(shù)學建模思想的應用在統(tǒng)計學方面的研究得到很好的體現(xiàn)。如新課標明確提出：體會用樣本估計總體的思想。統(tǒng)計與概率是數(shù)學在生活，生產(chǎn)中應用的重要方面。在教學中應注重所學內(nèi)容與日常生活，自然等領域的聯(lián)系。 例：在某樹林中100m2的面積上統(tǒng)計有8棵紅楓樹，整個樹林面積為10000m2，你能估計整個樹林共有多少棵楓樹嗎？（2）建立模型要從培養(yǎng)學生的數(shù)學化思維開始建模思想的滲透需要明確向?qū)W生提出數(shù)學化。何謂數(shù)學

7、化？就是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。教師應該引導學生通過閱讀理解將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號語言，這類訓練需要引起重視。有了符號化的概念，選擇合適的模型來解題也很關鍵。下面就以上其中一個例題進行說明。如圖的拋物線形拱橋,當水面在 時,拱橋頂離水面 2 m,水面寬 4 m,水面下降 1 m, 此時水面寬度為多少？水面寬度增加多少 ?此題是一道典型的實際問題，學生要解決這樣提問題，首先就必須把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題數(shù)學化。這一題建立模型非常多樣化，例如： 在解決問題時，要真正培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，必須堅持以學生為主體，調(diào)動學生的主觀能動性，引導學生自主活動，應鼓勵學生大膽提出自己的建模方法，然后再補充。當

8、學生自己找到建模方法后，就會獲得成功的滿足，產(chǎn)生愉快的學習情緒。自學的學習過程中構建教學建模意識，只有這樣才能使學生分析和解決得到找足的進步，也只有這樣才能真正提高學生的創(chuàng)新能力，使學生學到有用的教學。另外教材中有大量讓學生動手操作、制作的問題，我們在教學的過程中就應該讓學生動起來，能讓學生做的、操作的，就給學生動手的機會，讓學生動手做一做，操作著試一試。三、初中數(shù)學建模教學應突出數(shù)學思想方法數(shù)學思想是數(shù)學知識的結(jié)晶，是高度概括的數(shù)學理論數(shù)學方法是數(shù)學思想在數(shù)學活動中的反映和體現(xiàn)，它貫穿在知識的汲取、儲存、加工、運用的全過程在數(shù)學學習活動中，認識問題和解決問題，都是知識與方法相互作用的結(jié)果初中

9、數(shù)學中重要的數(shù)學思想有：字母代數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類的思想、方程與函數(shù)的思想、公理化思想等數(shù)學方法有：類比法、歸納法、演繹法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等這些思想方法相互聯(lián)系，相互滲透，相互補充，將整個數(shù)學知識構成一個有機和諧統(tǒng)一的整體數(shù)學建模教學要重視數(shù)學知識，更應突出數(shù)學思想方法 案例 圓周角定理的建模教學1、背景問題（1）如圖1所示，、是O中的所對的兩個圓周角，分別量出這兩個圓周角的度數(shù)，比較一下它們的大小再變動點在圓周上的位置，這時圓周角的度數(shù)有沒有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？（2）再量出圖中所對的圓心角的度數(shù)，你又有什么發(fā)現(xiàn)?（人教版數(shù)學九年級上冊第

10、91頁）2、模型建立（1）模型猜想同弧所對的圓周角的度數(shù)相等，都等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半（2）驗證猜想問題1 你選擇先證明“同弧所對的圓周角相等”，還是先證明“弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半”？說說你的理由？歸納 選擇先證明“弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半” 因為隨著在圓周上的位置發(fā)生變化，得到許多個圓周角，而這條弧所對的圓心角只有一個；如果“弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半”成立，那么“同弧所對的圓周角的度數(shù)相等”自然成立問題2 按照圓心與圓周角的位置關系，變動在圓周上的位置時所得到許多個圓周角可以分成幾種情況？

11、歸納 按照圓心與圓周角的位置關系，圓周角分三種情況：（1）圓心在圓周角的一邊上；（2）圓心在圓周角的內(nèi)部；（3）圓心在圓周角的外部問題3 在這三種情況中，你選擇先證明哪一種情況？說說你的理由歸納 選擇先證明“圓心在圓周角一邊上”的因為此時為圓的直徑，這是一種特殊情況問題4 如圖2所示，圓心在圓周角的一條邊上，你怎樣證明？歸納 轉(zhuǎn)化為證明問題5 如圖3所示，圓心在圓周角的內(nèi)部，你怎樣證明？歸納 因為“圓心在圓周角的一條邊上”時，“弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半”所以作過圓周角的頂點的直徑，將“圓心在圓周角的內(nèi)部”的情況轉(zhuǎn)化為“圓心在圓周角的一條邊上”的情況來證明問題6 如

12、圖4所示，圓心在圓周角的外部，你怎樣證明？歸納 與證明“圓心在圓周角的內(nèi)部” 的情況類似，作過圓周角的頂點的直徑，將“圓心在圓周角的外部”的情況轉(zhuǎn)化為“圓心在圓周角的一條邊上”的情況來證明（3）建立模型 因為在 “圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部”三種情況下，“弧所對的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角度數(shù)的一半”都成立, 所以“同弧所對的圓周角都相等” 問題 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角有怎樣的關系？想一想，在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心周有怎樣的關系？ 圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角的相等，都等于這條

13、弧所對的圓心角的一半3、模型應用應用1 半圓所對的圓周角等于多少度？說說你的理由應用2 的圓周角所對的弦一定是直徑嗎？為什么？應用3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形一定是直角三角形嗎？為什么？應用4 在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等嗎？為什么？應用5 已知O的直徑為，弦為，的平分線交O于，求、的長（圖略）圓周角定理的數(shù)學建模教學中，首先動手實驗，再對實驗進行分析研究，然后才猜測存在的規(guī)律，培養(yǎng)學生實驗、觀察、分析、猜測、推理能力“問題1”對驗證猜想的方法的“研究” ，首先解決主要矛盾（次要矛盾將迎刃而解），滲透辯證法思想 “問題2”引領學生觀察、分

14、析、歸納得出圓心與圓周角的三種情況，滲透分類思想“問題3”滲透算法程序化思想“問題4” 至“問題6”在引領學生驗證猜想，突出分類數(shù)學思想的同時，突出了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想模型應用中前4個問題，實際上是圓周角定理的拓展，體現(xiàn)了公理化思想學生通過觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學學習活動，領會了數(shù)學思想方法，增長了數(shù)學知識，提高了數(shù)學技能數(shù)學建模能力的培養(yǎng)是一個漸進的過程。因此，從七年級開始，就應有意識地逐步滲透建模思想。課本每章開始都配有反映實際問題的插圖，抽象出各章主要的數(shù)學模型，并且概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等數(shù)學基礎知識，一般也是由實際問題出發(fā)抽象出來的，反映了數(shù)學建模思想。作為一種思想方法，數(shù)學建模思想可以與數(shù)學基礎知識的教學相依隨，經(jīng)常滲透，逐漸升華。因此，教學時要充分利用課本知識的特點，重視展示知識的發(fā)生、發(fā)展、抽象、概括和應用過程。 教師應研究在各個教學章節(jié)中