湖南省十三校2014屆高三第二次聯考(數學理)解析版

1、湖南省2014屆高三十三校聯考 第二次考試理科數學試卷長郡中學;衡陽八中;永州四中;岳陽縣一中;湘潭縣一中;湘西州民中 石門一中;澧縣一中;郴州一中;益陽市一中;桃源縣一中;株洲市二中 麓山國際由 聯合命題總分:150分 時量:120分鐘考試時間:2014年4月12日15:0017:00 得分: 【試卷綜析】 本套試卷是湖南省13校第二次聯考試題，試卷在題型、題量、分值、難度、知識點分布及覆蓋面上都和高考試題比較接近。從整體上看，試卷難度適當，具有較好的區(qū)分度、效度和信度。試題注重考查了基礎知識、基本技能和基本方法，突出了對學生數學能力的考查。例如第6題，第8題，9題都很好地考查了學生的數學能

2、力。在學生熟悉的背景下進行命題，進行創(chuàng)新，這是高考的要求，也是中學教學的要求。在本套試卷中，有所體現，這是一大亮點。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將所選答案填在答題卡中對應位置.1.已知集合，,則( )本題已做修改 A. B. C. D. 【知識點】借助分式不等式和對數不等式考查集合的運算?！敬鸢附馕觥緿 或，所以【思路點撥】解分式不等式時，要時刻注意，移項通分。利用數軸求集合的交集。2.已知,則“”是“復數為虛數單位)為純虛數”的( ) A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必

3、要條件【知識點】本題考查了復數知識和充分必要條件的判斷。開始是輸出k否k=1S100?S=S+2Sk=k+1結束S=1【答案解析】C 復數為虛數單位)為純虛數的充要條件是，所以?！舅悸伏c撥】復數為純虛數，必須保證實部等于0，虛部不等于0. 解決充分必要問題需要先求出充要條件，然后再把充要條件的范圍放大或縮小。3.(2013肇慶二模改編)若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【知識點】程序框圖問題?！敬鸢附馕觥緼 【思路點撥】根據程序框圖的循環(huán)結構，依次求出即可。4.等差數列的前項和為,且,則過點和的直線的斜率是( ) A. 1 B. 2 C

4、. 4 D. 【知識點】 考查等差數列的基本知識，基本量的計算?！敬鸢附馕觥緾 由 求出公差?！舅悸伏c撥】等差數列的通項公式是關于的一次函數形式，其圖像是一些孤立的點，它的斜率就是等差數列的公差。5.若函數的圖象如圖,則函數的圖象大致為( )O、yx、1O、yx、1AO、yx、-1B-22、yx、1DOO、yx、-1C【知識點】本題考查了函數圖象的變換?！敬鸢附馕觥緼 函數 的圖象與的圖象關于軸對稱，再把的圖象向右平移一個單位即可。正視圖側視圖俯視圖4335【思路點撥】函數，先把的圖象作關于軸對稱的圖象，然后再平移?！镜湫涂偨Y】函數圖象的平移，一定要注意把的系數提出。6.(2013嘉興一模)如

5、圖,給定由10個點(任意相鄰兩點距離為1)組成的正三角形點陣,在其中任意取三個點,以這三個點為頂點構成的正三角形的個數是( ) A. 12 B. 13 C. 15 D. 16【知識點】計數問題【答案解析】C 按順序查即可【思路點撥】依次查可得 7.若某棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該棱錐的體積等于( ) A. 10cm3 B. 20cm3 C. 30cm3 B. 40cm3【知識點】計數問題【答案解析】C 按順序查即可【思路點撥】依次查可得 8.已知雙曲線,為實軸頂點,是右焦點,是虛軸端點,若在線段上(不含端點)存在不同的兩點,使得構成以為斜邊的直角三角形,則雙曲線離心率的取值范圍是(

6、 ) A. B. C. D. 【知識點】考查雙曲線的性質和基本量的計算（離心率的求法）?！敬鸢附馕觥緿 ，由題意知，圓心O到直線的距離小于半徑，即，解得。假設點與點重合，求得。故選D?！舅悸伏c撥】根據題意，可以確定點在以為直徑的圓上，再利用特殊點可求。9.(2013金山區(qū)一模改編)若實數a,b,c成等差數列,點在,點,則的最大值是( ) A. B. C. D. 【知識點】等差數列的性質；直線關于點、直線對稱的直線方程?！敬鸢附馕觥緼 2b=a+c，所以a-2b+c=0，可知直線恒過定點（1，-2）。又 在動直線上的射影為,所以，此時圓心（0，-1），?！舅悸伏c撥】此題考查了等差數列的性質，恒過

7、定點的直線方程，圓周角定理，線段中點坐標公式，以及兩點間的距離公式，利用等差數列的性質得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本題的突破點10.已知點是的重心,且,則實數的值為( ) A. B. C. D. 【知識點】考查三角形的重心，三角基本關系式?！敬鸢附馕觥緽 以G為坐標原點，以GA、GB分別為x,y軸建立平面直角坐標系。不妨設A(1，0), B(0，1)，依題意，G為的重心，則點C(1，1). 所以可得tanA=tanB=3,tanC=4/3. 可得的值為 ?！舅悸伏c撥】利用點是的重心, 且AG與BG垂直，用特值法，建立平面直角坐標系，再應用重心坐標公式求出tanA=tanB=3,ta

8、nC=4/3.二、填空題:本大題共6小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分,把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上.（一）選做題(請考生在11、12、13三題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分)ACEBFD11.(2011天津卷改編)如圖,已知圓中兩條弦與相交于點是延長線上一點,且,若與圓相切,且,則= .【知識點】相交弦定理，切割線定理【答案解析】 由得,又,得.【思路點撥】應用相交弦定理，切割線定理解題，屬容易題。12.在直角坐標系中,曲線的參數方程為為參數),在以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.則與的交點直角坐標為 .【知識點】考查拋物線的參數方程

9、，參數方程與普通方程的互化，極坐標與直角坐標的互化，直線與拋物線的位置關系。【答案解析】（1,2） 曲線的普通方程為，直線的直角坐標方程是，二者聯立，求出交點坐標?！舅悸伏c撥】把參數方程化為普通方程，極坐標方程化為直角坐標方程，聯立求解。13.設,則的最小值為 .【知識點】考查柯西不等式。【答案解析】9 【思路點撥】根據已知條件湊成柯西不等式的形式。（二）必做題（14 16題）14.定積分的值為 .【知識點】定積分運算【答案解析】0 原式=【思路點撥】記住基本初等函數的導數公式15.(2013昌平區(qū)一模)在中,是的中點,(1) .(2)是的中點,是(包括邊界)內任意一點,則的取值范圍是 .【知

10、識點】向量的數量積運算、線性規(guī)劃【答案解析】（1）2 （2） （1）以C為坐標原點，CA、CB分別為x，y軸建立直角坐標系，則A(4，0), B(0,2)，D(0,1)，;(2) 根據題意知，點P所在的平面區(qū)域為，令，畫出平面區(qū)域，可知。所以的取值范圍是。【思路點撥】根據題意建立直角坐標系，運用向量的坐標運算能使過程簡單、易操作。16.(2013石景山區(qū)一模改編)給定有限單調遞增數列,數列至少有兩項)且xi0（1in），此處已做修改定義集合.若對任意點,存在點使得為坐標原點),則稱數列具有性質.(1)給出下列四個命題,其中正確的是 .(填上所有正確命題的序號) 數列-2,2具有性質; 數列:-

11、2,-1,1,3具有性質; 若數列具有性質,則中一定存在兩項,使得; 若數列具有性質,且,則.(2)若數列只有2014項且具有性質,則的所有項和 .【知識點】等差數列與等比數列的綜合；數列的函數特性本題考查新定義，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，難度較大【答案解析】（1） （2） （1）對于數列xn，若A1（-2，2），則A2（2，2）；若A1（-2，-2）則A2（2，-2）；均滿足OA1OA2，所以具有性質P對于數列yn，當A1（-2，3）若存在A2（x，y）滿足OA1OA2，即-2x+3y=0，即，數列yn中不存在這樣的數x，y，因此不具有性質P取A1（xi，xi），又數列x

12、n具有性質P，所以存在點A2（xi，xj）使得OA1OA2，即xixi+xixj=0，又xi0，所以xi+xj=0。數列xn中一定存在兩項xi，xj使得xi+xj=0；又數列xn是單調遞增數列且x20，所以1為數列xn中的一項假設x21，則存在k（2kn，kN*）有xk=1，所以0 x21此時取A1（x2，xn），數列xn具有性質P，所以存在點A2（xi，xs）使得OA1OA2，所以x2xi+xnxs=0；只有x1，所以當x1=-1時x2=xnxsxsx2，矛盾；當xs=-1時x2=1，矛盾所以x2=1（2）x2=1若數列xn只有2014項且具有性質P，可得x4=4，x5=8，猜想數列xn從第

13、二項起是公比為2的等比數列所以S2013=-1+1+2+4+22012=22013-2【思路點撥】利用數列an具有性質P的概念，對數列xn：-2，2與數列yn：-2，-1，1，3分析判斷即可；取A1（xi，xi），數列xn具有性質P，故存在點A2（xi，xj）使得OA1OA2，利用向量的坐標運算整理即可證得xi+xj=0；數列xn中一定存在兩項xi，xj使得xi+xj=0；數列xn是單調遞增數列且x20，1為數列xn中的一項，通過反證法可證得x2=1；若數列xn只有2014項且具有性質P，可得x4=4，x5=8，猜想數列xn從第二項起是公比為2的等比數列，利用等比數列的求和公式計算即可三、解答

14、題:本大題共6小題,共75分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知的三內角分別為,向量,記函數.()若,求的面積;()若關于的方程有兩個不同的實數解,求實數的取值范圍.【知識點】向量的數量積運算、輔助角公式的應用，利用圖形判斷方程解的情況?！敬鸢附馕觥?)由 即, 又因為,所以代入上式得, 由,得,又,所以,且5分 也所以,即,從而為正三角形, 所以8分()由()知,令,Oxy 則方程有兩個不同的實數解等價于在上有兩上不同實根,作出草圖如右, 可知當或時,直線與曲線 有兩個交點,符合題意,故實數的取值范圍為 .12分【思路點撥】熟練應用輔助角公式，正確畫出函數

15、的圖象，利用數形結合解決問題。18. (本小題滿分12分)甲、乙兩人參加某種選拔測試.在備選的10道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙能答對其中5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試,答對一題加10分,答錯一題(不答視為答錯)減5分,至少得15分才能入選.()求乙得分的分布列和數學期望;()求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率.【知識點】概率問題，分布列、數學期望、獨立重復試驗?！敬鸢附馕觥?)設乙答題所得分數為,則的可能取值為.1分-1501530 且 5分 乙的得分的分布列如右表,且8分()由已知甲、乙至少答對2題才能入選, 記甲、乙入選的事件分別為,則由()知,又

16、甲回答3題可以視為獨立重復試驗,故,于是甲、乙至少有一人入選的概率12分【思路點撥】（1）求出的可能取值，并求出其概率，即可得到分布列。（2）是獨立重復試驗問題。利用對立事件求解。19. (本小題滿分12分)ABCDMP如圖,在四棱錐中,平面,且,點在上.()求證:;()若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.yAxBCzDMPE【知識點】空間線面的位置關系、二面角的大小。【答案解析】()如圖,設為的中點,連結, 則,所以四邊形為平行四邊形, 故,又, 所以,故, 又因為平面,所以, 且,所以平面,故有5分()如圖,以為原點,分別以射線 為軸的正半軸,建立空間直角坐標系. 則, 設,易得,

17、設平面的一個法向量為,則, 令得,即. 又平面的一個法向量為, 由題知,解得, 即,而是平面的一個法向量, 設平面與平面所成的角為,則. 故直線與平面所成的角的正弦值為.12分【思路點撥】（1）熟練應用線面平行、垂直的判定定理和性質定理是解此類問題的關鍵。（2）建立平面直角坐標系，用空間向量求出各面的法向量求解。BOxC(A)yDMNP20. (本小題滿分13分)如圖,矩形是一個觀光區(qū)的平面示意圖,建立平面直角坐標系,使頂點在坐標原點分別為軸、軸,(百米),(百米)()觀光區(qū)中間葉形陰影部分是一個人工湖,它的左下方邊緣曲線是函數的圖象的一段.為了便于游客觀光,擬在觀光區(qū)鋪設一條穿越該觀光區(qū)的直

18、路(寬度不計),要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切(切點記為),并把該觀光區(qū)分為兩部分,且直線左下部分建設為花圃.記點到的距離為表示花圃的面積.()求花圃面積的表達式;()求的最小值.【知識點】分段函數、利用導數研究函數的切線方程、判斷單調性、求最值。【答案解析】()由題意可設,又因,所以過點的切線方程為BOxC(A)yDEFMNP,即,切線與軸交于點,與軸交于點,當,即時,切線左下方區(qū)域為直角三角形. 所以;FOxC(A)yDEBMNP當,即時,切線左下方區(qū)域為直角梯形. 所以;FOxC(A)yEDBMN當,即時,切線左下方區(qū)域為直角梯形. 所以;綜上有,7分()當時,當時,;當時, 所以在上遞減,所以, 下面比較與的大小,由于, 所以可知即求.13分【思路點撥】解決實際問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明F1OxMF2yBPN面 A21.(本小題滿分13分)已知分另為橢圓的上、下焦點,是拋物線的焦點,點是與在第二象限的交點, 且()求橢圓的方程;()與圓相切