比例和比例模型

1、量的比例關(guān)系與比例模型1量的比例稱量x和y成比例，如果存在一個非零常數(shù)k，有ykx。記作 x y。其幾何解釋是一條過原點(diǎn)的直線。2物理學(xué)中著名的比例定律牛頓Newton定律：Fma；歐姆Ohm定律： VIR；波義爾Boyle定律：TpV;愛因斯坦Einstein定律： Emc2；開普勒Kepler定律：TcR2/3。3幾何相似性如果兩個物體各點(diǎn)之間存在一個一一對應(yīng)關(guān)系，使得對應(yīng)點(diǎn)之間的距離之比對所有可能的點(diǎn)對都不變（等于一個常數(shù)），則稱這兩個物體是幾何相似的。對于兩個幾何相似物體而言，它們的形狀是一樣的，只是一個物體是另一個物體的簡單放大。我們就可以把幾何相似的物體設(shè)想為互相按比例確定的復(fù)制品

2、。只需知道比例因子k即可。4 10：幾何體中的長度、面積和體積 正立方體 棱長 l0=a，底面周長 l1 = 4a，底面對角線 長 對角線長 表面積 S1 = 6a2，底面面積 S2 = a2， 對角面面積 體積 V1 = a3， 四棱錐體積 V2 = a3/3標(biāo)準(zhǔn)幾何體的相似性5結(jié)論 在簡單的幾何體中， 相應(yīng)部位的面積與相應(yīng)部位長度的平方呈正比； 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位長度的立方呈正比； 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位面積的3/2次方呈正 比； Si = k1 Lj2，V i= k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。620. 長方體 I 有棱長 (a, b, c) 總棱長L1=2(a+b+c),

3、 底面周長 L2=2(a+b), 對角線長 表面積 S1=2(ab+bc+ca), 底面面積 S2= ab, 體積 V1=abc。 四棱錐體積 V2=1/3 abc.7若長方體 II 有棱長(a*, b*, c*), 且 a*/a = b*/b = c*/c = m.則有 L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3; S1*= m2S1, S2*= m2S2; V1*= m3V1, V2*= m3V2.于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2; Vi*/Lk*3=Vi/ Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.即 S=k1L2, V=k2L3, V=k3S3/2.8結(jié)論

4、在相似的幾何體中， 相應(yīng)部位的面積與相應(yīng)部位長度的平方呈正比； 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位長度的立方呈正比； 相應(yīng)部位的體積與相應(yīng)部位面積的3/2次方呈正比； Si = k1 Lj2，Vi = k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。9設(shè)yf(l,S,V)對依賴于某個物體的長度、面積、體積的函數(shù)。如果取其長度為特征量，則有函數(shù)關(guān)系yg(l,l2,l3)包湯圓貨物的包裝成本劃艇比賽的成績1010. 紐約黑鱸的體重W和體長L W(ozs) 17 16 17 23 26 27 41 49 L(in) 12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 L3 1

5、953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 W/L3 .0087 .0079 .0084 .008 .0085 .0089 .008 .0088 生活中的幾何相似性思考題：該數(shù)據(jù)是否可反映兩者成比例？以此假設(shè)建模，并用前面的擬合方法進(jìn)行參數(shù)估計。11W(kg) 12 17 22 35 48 54 66 75L(cm) 86 108 116 135 155 167 178 185L3(103cm3) 636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332W/L3 .0189 .0135 .0141 .0142 .0129 .0116 .01

6、17 .0118 思考題：該數(shù)據(jù)是否可反映兩者成比例？以此假設(shè)建模，試提出其它各種假設(shè)條件建模、進(jìn)行參數(shù)估計，并進(jìn)行比較。四足動物的身長和體重7566595451體重 w（公斤）1.851.781.711.671.63身高 h（米）5048413527體重 w（公斤）1.601.551.511.351.26身高 h（米）2017151210體重 w（公斤）1.121.080.960.860.75身高 h（米）20. 人的體重W和身高L12顯然，運(yùn)動員體重越大，他能舉起的重量也越大，但舉重成績和運(yùn)動員體重到底是怎樣關(guān)系的，不同量級運(yùn)動員的成績又如何比較優(yōu)劣呢？運(yùn)動成績是包括生理條件、心理因素等等

7、眾多相關(guān)因素共同作用的結(jié)果，要建立精確的模型至少現(xiàn)在還無法辦到。但我們擁有大量的比賽成績紀(jì)錄，根據(jù)這些數(shù)據(jù)不妨可以建立一些經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。為簡單起見，我們不妨取表中的?shù)據(jù)為例。思考題 舉重成績的比較舉重是一種一般人都能看懂的運(yùn)動，它共分九個重量級，有兩種主要的比賽方法：抓舉和挺舉。 表中給出了到1977年底為止九個重量級的世界紀(jì)錄。255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺舉（公斤）抓舉（公斤）成績重量級（上限體重）舉重成績的比較13思考題 1. 雨滴勻速下降,空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積