《三角線中線的應(yīng)用》課例

1、“三角線中線的應(yīng)用”課例【摘要】：幾何是大多數(shù)學(xué)生感到很難學(xué)的內(nèi)容之一.而要提高幾何的解題能力，除了多 做題，積累解題的經(jīng)驗(yàn)外，總結(jié)方法、找出規(guī)律也是很重要的一方面學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形之 后，充分利用三角形中特殊的線段比如中線、高、角平分線等，圍繞這些條件來(lái)展開(kāi)思考，作 輔助線，掌握相關(guān)規(guī)律，提高解題能力.【關(guān)鍵詞】：教材學(xué)情分析 目標(biāo) 重難點(diǎn) 過(guò)程 反思【正文】：教材學(xué)情分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形、平行四邊形之后，掌握了全等三角形、平行四邊形及特殊的平行四 邊形的相關(guān)性質(zhì)和判定，可以證明簡(jiǎn)單的線段相等和角相等以及相關(guān)的方法.但對(duì)較復(fù)雜的幾 何證明題，大多數(shù)的學(xué)生還是顯得力不從心.有些學(xué)生因此還產(chǎn)

2、生困惑：定義、性質(zhì)、定理都 會(huì)背，就是不會(huì)做題，一遇到稍復(fù)雜的幾何題就無(wú)從下手.通過(guò)深入了解發(fā)現(xiàn)，有很多同學(xué)對(duì) 于幾何證明題中許多輔助線的作法及相關(guān)規(guī)律沒(méi)有掌握，不能靈活應(yīng)用.其實(shí)在幾何中，一些 特殊的線或線段，就能給我們提示思考方法和解題思路，掌握這些特殊線或線段的應(yīng)用，對(duì)于 我們提高解題能力、總結(jié)解題方法、解決實(shí)際問(wèn)題都有很大幫助.“三角形中線的應(yīng)用”就是 巧妙利用三角形中線（有時(shí)候是中點(diǎn)）的性質(zhì)和特點(diǎn)，歸納總結(jié)與三角形中線有關(guān)題型的解題 方法.教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：理解三角形中線的定義、性質(zhì).過(guò)程與方法：讓學(xué)生在解題過(guò)程中掌握三角形中線的應(yīng)用規(guī)律，歸納幾何解題的技巧 情感態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)

3、生在合作交流中，培養(yǎng)有條理的思維方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體 驗(yàn)用中線的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題后的成功感.教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：應(yīng)用三角形中線相關(guān)性質(zhì)解題.難點(diǎn)：結(jié)合不同條件，在具體題目中應(yīng)用中線、中點(diǎn)的特點(diǎn)作輔助線.教學(xué)設(shè)計(jì)思想：三角形的中線，很可能大多數(shù)學(xué)生只知道中線把對(duì)邊分成兩條相等的線段，可能還有部分 學(xué)生會(huì)想到中線分三角形為兩個(gè)面積相等的三角形.本節(jié)課是想讓學(xué)生通過(guò)具體的問(wèn)題，歸納 在特殊的三角形中的中線的特點(diǎn)及其應(yīng)用.有些題目有些難度，在課前把學(xué)案發(fā)給學(xué)生，讓他 們通過(guò)預(yù)習(xí)探究先解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，不能解決的問(wèn)題在課堂上通過(guò)老師的點(diǎn)撥和幾何畫(huà)板的演 示，讓學(xué)生找出解決問(wèn)題的思路和方法，最后進(jìn)行總結(jié)

4、歸納.教學(xué)過(guò)程:復(fù)習(xí)引入：已知MBC中，Q 是中線，你能得到哪些結(jié)論?老師：根據(jù)圖形說(shuō)你能得到哪些結(jié)論，說(shuō)得越多越好.學(xué)生：1、線段8口=線段CD2ABD與AACD的面積相等.以上兩條是學(xué)生最容易想到的，其實(shí)在特殊三角形中，三角形的中線還有很多特殊的性質(zhì)，看來(lái)還是要通過(guò)具體的問(wèn)題，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò) 程中去歸納總結(jié).應(yīng)用精選：1、一根長(zhǎng)為a的木棍AB斜靠在墻上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P,當(dāng)木棍A端下滑時(shí)：點(diǎn)P到點(diǎn)0的距離是否變化，為什么？ TOC o 1-5 h z 當(dāng)木棍滑到什么位置時(shí)，履8。的面積最大？I先讓學(xué)生獨(dú)立思考，第一問(wèn)難度不大，主要是想讓學(xué)生歸納：A在直角三角形中，斜邊上的中線等于

5、斜邊的一半.在特殊的三角形中，中線還有更特殊的性質(zhì).p學(xué)生一：點(diǎn)P到點(diǎn)0的距離不變，根據(jù)是在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半.C第二問(wèn)有一定的難度，通過(guò)幾何畫(huà)板演示，當(dāng)線段AB在滑動(dòng)的過(guò)程中，AA0B的面積變化情況.同進(jìn)提醒同學(xué)們注意，在0BB線段AB滑動(dòng)過(guò)程中，線段AB是不會(huì)變化的，把它當(dāng)三角形的圖2底邊，觀察AB邊上高0C的變化情況.學(xué)生二：當(dāng)0C與中線0P重合時(shí)，即AB與墻面成450時(shí)，三角形的面積最大.點(diǎn)評(píng)： 本題主要是想讓學(xué)生注意在直角三角形中，斜邊上的中線的特殊性2、在 RtMBC 中，AB=AC，ZBAC=90，0 為 BC 的中點(diǎn)，M、N 是 AB. AC 上的動(dòng)點(diǎn)， 且

6、AN=BM.判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.通過(guò)前一題應(yīng)該有啟發(fā)：有斜邊上的中點(diǎn)，聯(lián)想到斜CN邊上的中線.所以輔助線問(wèn)題應(yīng)該是能夠解決.學(xué)生一：0 是等腰三角形.因?yàn)橛行边吷系闹悬c(diǎn)，連接A0，就可以證明MON與BOM全等，從而得到0M=0N.學(xué)生二：還可以證明ZM0N=900，從而證明AUMN是等腰 直角三角形.點(diǎn)評(píng)：學(xué)生通過(guò)上題可能掌握了直角三角形中斜邊上的中線性質(zhì)， 但在等腰直角三角形中，斜邊上的中線還有“三線合一”的性質(zhì).3、在EBCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，且BD=2AB，E、F分別是OA、BC的中點(diǎn).求證：EF=BF如果AC=BD，G是BD上的一點(diǎn)，且BD： GD=4： 1

7、，試判斷四邊形EBFG的形狀，DBCF并說(shuō)明理由.，老師：本題要充分利用平行四邊形的性質(zhì)，再結(jié)合 E、F是中點(diǎn)這一條件，在相關(guān)三角形中就會(huì)有中線， 再利用三角形中線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.學(xué)生分析思路：學(xué)生一：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以0B=0D，且BD=2AB，得到AB=0B，那么BE為等腰AAB0的底邊上的中線，所以BELA0,進(jìn)一步得到8EC為直角三角形，EF為斜邊BC上的中線， 從而得到：EF=BF學(xué)生二：在平行四邊形基礎(chǔ)上，AC=BD，所以四邊 形ABCD是距形.又因?yàn)锽D： GD=4： 1，可以得到G 點(diǎn)為OD的中點(diǎn)，那么EG AOD的中位線，結(jié)合第一 問(wèn)的結(jié)論，可以得到四邊形EB

8、FG是菱形.點(diǎn)評(píng)： 本題是想充分利用等腰三角形底邊上的中線的性質(zhì)， 得到垂直.同時(shí)也提醒學(xué)生注意，當(dāng)在一個(gè)三角形中有兩邊 的中點(diǎn)時(shí)，就要想到三角形的中位線性質(zhì).4、已知AD為AABC的中線，求證：AB+AO2AD.老師：通過(guò)此題的輔助線的作法，歸納思路.就是利用 中線的特點(diǎn)構(gòu)造全等三角形.學(xué)生：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接CE，得到 ABD全等于AECD，把AB轉(zhuǎn)化到MCE中來(lái)，再 利用三角形三邊之間的關(guān)系可以得到：AB+AO2AD老師：題中的輔助線也可以通過(guò)過(guò)C點(diǎn)作AB的平 行線與AD的延長(zhǎng)線相交得到.探究：菱形ABCD中，ZA=110，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EHCDf 求ZFH

9、C的度數(shù).本題有一定的難度，根據(jù)學(xué)生探究情況，適當(dāng)提示， 連接EF并延長(zhǎng)，與DC的延長(zhǎng)線相交于G點(diǎn).再觀察 有沒(méi)有全等三角形.學(xué)生：連接EF并延長(zhǎng)，與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) G，即可證明EF=GF，而EHLCD，所以在RtAEHG 中，HF為斜邊上的中線，F(xiàn)H=FG，從而把ZFHC轉(zhuǎn) 化到/G上來(lái).再利用菱形的相關(guān)性質(zhì)，得到ZB=700， ZBEF=ZBFE=550，所以ZG=550，ZFHC=550BG老師：本題作輔助線的基本思想是把中線延長(zhǎng)一倍，尋 找全等三角形.但在實(shí)際操作過(guò)程中，可能是通過(guò)延長(zhǎng)來(lái) 達(dá)到這個(gè)目的.所以要靈活掌握，活學(xué)活用.以上幾個(gè)例 題都是充分利用三角形的中線的性質(zhì)，特別是

10、等腰三角形、 直角三角形、等腰直角三角形中線的特點(diǎn)，掌握相關(guān)作輔助線的作法，達(dá)到化難為易的目的 5、已知AD是ABC的中線，BE是ABD的中線.ABC的面積等于20，BD= 5，求E點(diǎn) 到BC的距離.（本題難度不大，學(xué)生應(yīng)該能夠解決.）學(xué)生：因?yàn)锳D是ABC的中線，所以MBD的面積 等于10，又BE是ABD的中線，BDE的面積等于5， 且BD=5,所以圖中BD邊上的高h(yuǎn)=2.而E點(diǎn)到BC的 距離即為h的長(zhǎng)度.點(diǎn)評(píng)： 本題即是利用三角形的中線把三角形的分成兩個(gè) 面積相等的三角形，原理是等底等高.6、已知O點(diǎn)是履。的重心.AOYCO，且AO=3, CO=4，求BO的長(zhǎng).老師：根據(jù)重心的定義及性質(zhì)來(lái)

11、思考.學(xué)生：因三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)， 所以延長(zhǎng)BO與AC邊的交點(diǎn)D就是AC邊的中點(diǎn).且 AOCO, OD就是直角三角形斜邊上的中線，所以15OD=-AC=.根據(jù)重心的性質(zhì)，OB=2OD，所以BO=5.點(diǎn)評(píng)： 本題利用重心的定義及性質(zhì)，結(jié)合直角三角形斜 邊上的中線的特點(diǎn)來(lái)解題.難度并不大.主要是培養(yǎng)學(xué)生 逆向思維的方法，學(xué)生都知道三角形三條中線相交一點(diǎn)，這點(diǎn)叫重心，如果先知道重心，那么 延長(zhǎng)BO與AC邊的交點(diǎn)就應(yīng)當(dāng)是AC邊的中點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的方法.（延長(zhǎng)BO與AC 的交點(diǎn)就是AC邊的中點(diǎn)）歸納小結(jié):復(fù)習(xí)引入時(shí)的提問(wèn)，學(xué)生當(dāng)時(shí)歸納三角形中線的特點(diǎn)肯定有不完整的地方，現(xiàn)在通過(guò) 解

12、決以上的題目，基本上能完整歸納出三角形中線的特點(diǎn).特別是等腰三角形底邊上的中線、 直角三角形斜邊上的中線以及等腰直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，在以上題目中有較多的應(yīng)用. 具體為：1、線段82=線段CD TOC o 1-5 h z 2、 AABD與AACD的面積相等.A3、 等腰三角形中底邊的中線垂直于底邊（三線合一）./4、 直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半.5、 等腰直角三角形斜邊上的中線分原直角三角形為兩個(gè)-L等腰直角三角形.BDC6、 重心的應(yīng)用.圖1課后反思：本節(jié)課是想通精選例題，集中了三角形中線的應(yīng)用，讓學(xué)生掌握中線在解題中的一些技 巧.在復(fù)習(xí)引入時(shí)讓學(xué)生回答由三角形中線得到哪些結(jié)論時(shí)，一般學(xué)生都只能得到中線平分某 一邊，或是中線分三角形得到兩個(gè)面積相等的三角形.這時(shí)老師不必先補(bǔ)充還有哪些性質(zhì)，可 通過(guò)解決精選例題逐步來(lái)回答這些問(wèn)題.圖10本節(jié)課精選的例題要想在一節(jié)課內(nèi)完成有一定的困難， 必須讓學(xué)生在課前通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)分析前三題的解題思 路，