投資的風險和收益的建模

1、投資的風險和收益摘要： 本題是一個優(yōu)化問題，對市場上的多種風險投資和一種無風險資產(chǎn)（存銀行）進行組合投資策略的的設計需要考慮好多因素。投資問題中的投資收益和風險問題，我們總希望 利潤獲要盡可能大而總體風險盡可能小，但是，他并不是意隨人愿，在一定意義上是對立的。模型一應用多目標決策方法建立模型，以投資效益沒目標，對投資問題建立個一個優(yōu)化 模型，不同的投資方式具有不同的風險和效益，該模型根據(jù)優(yōu)化模型的原理，提出了兩個準 則，并從眾多的投資方案中選出若干個，使在投資額一定的條件下，經(jīng)濟效益盡可能大，風 險盡可能小。在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界B即，使最 大的一個風險qx

2、/MWa,可找到相應的投資方案.這樣把多目標規(guī)劃變成一個目標的線性規(guī) 劃模型二若投資者希望總盈利至少達到水平k以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資 組合.固定盈利水平，極小化風險模型三給出了組合投資方案設計的一個線性規(guī)劃模型，主要思想是通過線性加權綜合兩 個設計目標：假設在投資規(guī)模相當大的基礎上，將交易費函數(shù)近似線性化，通過決策變量化 解風險函數(shù)的非線性?！娟P鍵字】：多目標規(guī)劃模型有效投資方案賦權一 問題的提出投資的效益和風險（1998年全國大學生數(shù)學建模競賽A題）市場上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）SJ 1=16供投資者選擇，某公司有數(shù) 額為M的一筆相當大的資金可用作一個時期的投資。公司財務

3、分析人員對這n種資產(chǎn)進行了評估，估算出在這一時期內購買Si的平均收益率為r并預測出購買Sii的風險損失率為q?？紤]到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金i購買若干種資產(chǎn)時，總體風險用所投資的Si中最大的一個風險來度量。購買Si要付交易費，費率為P ,并且當購買額不超過給定值匕時，交易費按購買匕計算。另外，假定同期銀行存款利率是0,且既無交易費又無風險。（r0=5%）已知n = 4時的相關數(shù)據(jù)如下：Sir(%)q（%）P (%)沅（元）Si28i 2.5i 1i 103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金

4、M,有選擇地購買若干種資 產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風險盡可能小。二 模型的假設和符號說明2.1模型的假設：（1）在短時期內所給出的平均收益率,損失率和交易的費率不變。（2）在短時期內所購買的各種資產(chǎn)（如股票，證券等）不進行買賣交易。即在買入后就不 再賣出。（3）每種投資是否收益是相互獨立的。（4）在投資的過程中，無論盈利和否必須先付交易費。2.2符號說明：參數(shù)范圍說明Sii=1,2 n欲購買的第i種資產(chǎn)的種類M相當大公司現(xiàn)有的投資總額xii=1,2 n公司購買Si的金額rii=1,2 n公司購買Si的平均收益率qii=1,2 n公司購買Si的平均損失率Pii=1,2 n公司購買

5、Si超過ui時所付的交易費uii=1,2 nxi ui交易費=1Piuixiw %而題目所給定的定值ui（單位:元）相對總投資M很小,piui更小， TOC o 1-5 h z 可以忽略不計，這樣購買Si的凈收益為億-pi）x.3要使凈收益盡可能大,總體風險盡可能小,這是一個多目標規(guī)劃模型:目標函數(shù)max, minmax qixi約束條件I = M1 1x,三 0i=0,1,., na.在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界限。，使最大的一個 風險qxJ.MWa，可找到相應的投資方案.這樣把多目標規(guī)劃變成一個目標的線性規(guī)劃.模型1 固定風險水平,優(yōu)化收益目標函數(shù)：Q=max

6、約束條件：1qx WaM-工（1 + P ）x M ,xi 三 0i=0,1，niib.若投資者希望總盈利至少達到水平k以上，在風險最小的情況下尋找相應的投資組合.模型2 固定盈利水平,極小化風險目標函數(shù)：R = minmax qixi約束條件：三k，X (1+p )% = M，xi三 0i=0，1，niic.投資者在權衡資產(chǎn)風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合因此對風險、收益賦予權重s (01c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.0

7、15 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.),axis(0 0.1 0 0.5),hold ona=a+0.001;endxlabel(a),ylabel(Q)計算結果：a =0.0030 x = 0.49490.12000.20000.05450.1154Q =0.1266a =0.0060 x = 00.24000.40000.10910.2212Q =0.2019a =0.0080 x =

8、0.00000.32000.53330.12710.0000Q =0.2112a =0.0100 x = 00.40000.584300Q =0.2190a =0.0200 x = 00.80000.188200Q =0.2518a =0.0400 x = 0.00000.99010.000000Q =0.2673結果分析.風險大，收益也大.當投資越分散時，投資者承擔的風險越小，這和題意一致即：冒險的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資.曲線上的任一點都表示該風險水平的最大可能收益和該收益要求的最小風險.對于不同風 險的承受能力，選擇該風險水平下的最優(yōu)投資組合.在許0.006

9、附近有一個轉折點，在這一點左邊，風險增加很少時，利潤增長 很快.在這一點右邊，風險增加很大時，利潤增長很緩慢，所以對于風險和 收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合， 大約是a*=0.6%，Q*=20%，所對應投資方案為：風險度 收益0 x 1%2x 3x40.00600.201900.24000.40000.10910.22124.2模型2的求解令x5= max%,則有x5大于或等于%,中的任意一個，可得模型2為：min f=x5f x +1.01x +1.02x +1.045x +1.065x = 1 TOC o 1-5 h z 012340.05x + 0.27

10、x + 0.19x + 0.185x + 0.185x k012340.025xx 0.tj0.015x - x 00.055x3- x5 00.026x .x 0 x.三0 (i = 0, 1,，4)由于k是任意給定的收益，到底怎樣給定沒有一個準則，不同的投資者有不同的收益我們從k=0開始，以步長k=0.002進行循環(huán)搜索，編制程序如下：k=0;while k0.5c=0 0 0 0 0 1;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;A=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0;0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0

11、0 -1;0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1; b=-k;0;0;0;0;vlb=0,0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); k x=xR=valplot(k,R .) axis(0 0.25 0 0.015) hold onk=k+0.002;endxlabel(k),ylabel(R);計算結果：kRx0 x1x2x3x40.20000.00590.01070.23500.39170.10680.22600.20200.00600.00000.24080.40130.10940.21890.2

12、0400.00640.00000.25780.42970.11720.16800.02060.00690.00000.27480.45810.12490.11710.02080.00730.00000.29190.48640.13270.0662結果分析：有實驗結果和圖可得以下結論：1 收益越大，風險也越大。2當投資越分散時，投資者承擔的風險越小3曲線上任意一點都表示該投資下的最小風險，選擇該投資下的最優(yōu)組合。4在k=0.206附近有一個轉折點，在它的右邊，風險隨投資的變化明顯比左邊的快得多，所 以對于風險和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應該選擇曲線的拐點作為最優(yōu)投資組合， 大約是R*=0.6

13、%，k*=20%，所對應投資方案為：收益風險度x0 x1x2x3x40.20600.00690.00000.27480.45810.12490.11714.3模型3的求解令x5= max%xj則有x5大于或等于3,中的任意一個，可得模型為：Min f=0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s(x0 x1 x2 x3 x4 x5)f x +1.01x +1.02x +1.045x +1.065x = 1012340.025x x 0t 0.015x2-x5 00.055xx 0350.026x .一 x 0各個投資者的投資偏好不一，所

14、以s沒有一個定值，就從s=0開始，以步長k=0.001進行 循環(huán)搜索，編制程序如下：i=1;for s=0.1:0.1:1;f=-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s; A=0 0.025 0 0 0 -1;0 00.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 00.026-1;b=0 0 0 0;aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;lb=zeros(6,1);x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,

15、b,aeq,beq,lb);xy(i)=-fval;i=i+1;endk=0.1:0.1:1;figure(1);plot(k,y,g-);xlabel(s 權因子)；ylabel(y收益)；title(凈收益和風險關于權因子的函數(shù),)計算結果：使用線性加權法分別求解當s=0.11.0時的最優(yōu)決策及風險和收益如下表：Sis=0.1.0.7s=0.8s=0.9s=1.0S10.99010.36900.23760.0000S20.00000.61500.39600.0000S30.00000.00000.10800.0000S40.00000.00000.22840.0000存銀行0.00000.00000.00001.0000凈收益0.26730.21650.20140.0500風險0.02480.00920.00590.0000結果分析1凈收益和風險是s（權因子）的單調下降函數(shù)，即謹慎程度越強，風險越小，但是收益也越 小，具有明確的實際意義。五模型評價模型優(yōu)點（1）本文通過將風險函數(shù)轉化為不等式約束，建立了線性規(guī)劃模型，直接采用程序進行計 算，得出優(yōu)化決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據(jù)投資者的主觀偏好，選擇投資方向。（2）模型一采用線性規(guī)劃模型，將多目標規(guī)劃轉化為單目標規(guī)劃，選取了風險上限值來決 定收益，根據(jù)收益風險圖，投資者可根據(jù)自己的喜好來選擇投資方向。（3）